麦克斯韦电磁理论和电磁波

1. 第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波

2. 8.1 位移电流 由库仑定律和场的叠加原理可得出关于静电场的两条重要定理： （1）电场的高斯定理 （2）静电场的环路定理

3. 由毕奥—萨伐尔定律可得出稳恒磁场的两条重要定理：由毕奥—萨伐尔定律可得出稳恒磁场的两条重要定理： （3）磁场的高斯定理 （4）安培环路定理 （5）法拉第电磁感应定律

4. 麦克斯韦在前人工作的基础上，全面系统地考察了这些规律，并试图把这些规律推广到非稳恒的情况。正如第五章所提到的那样，麦克斯韦首先把电场的环路定理加以推广。他认为感生电动势现象实际上预示着变化的磁场周围产生涡旋电场，因此电场的环路定理在普遍情况下应是：麦克斯韦在前人工作的基础上，全面系统地考察了这些规律，并试图把这些规律推广到非稳恒的情况。正如第五章所提到的那样，麦克斯韦首先把电场的环路定理加以推广。他认为感生电动势现象实际上预示着变化的磁场周围产生涡旋电场，因此电场的环路定理在普遍情况下应是： 静电场的环路定理不过是其特例而已。

5. 对于电场的高斯定理和磁场的高斯定理，当推广到普遍情况时，则没有发现不合理之处，麦克斯韦假定它们对于变化的电场仍然适用。但是，将安培环路定理推广到一般情况时，麦克斯韦遇到了困难。典型的例子是电容器充放电的情况。我们取一环路L，而 和 都是以L为周界的曲面。对于曲面 它与导线相交，因此 但是对于曲面 ，它穿过电 容器两极板之间，故有

6. 这就是说，对同一个闭合回路L， 的值不定，这表示非稳恒情况下，我们在前面写出来的安培环路定理不再适用。 如果再与稳恒情况相比，我们很容易看出，通过以L为周界的任一曲面上的电流强度是相等的，因为根据电流的稳恒条件，对于由 构成的闭合曲面

7. 综合以上分析可以看出稳恒情况下安培环路定理成立是因为此时电流是连续的；而在电容的例子中安培环路定理之所以引出矛盾的结果，其根源在于传导电流在电容器极板间的中断，即在非稳恒的情况下传导电流具有不连续性。综合以上分析可以看出稳恒情况下安培环路定理成立是因为此时电流是连续的；而在电容的例子中安培环路定理之所以引出矛盾的结果，其根源在于传导电流在电容器极板间的中断，即在非稳恒的情况下传导电流具有不连续性。 对于非稳恒情况，电流的稳恒条件虽不成立，但是根据电荷守恒定律： 而

8. 因此可得出 因为是对同一闭合曲面求积分，移项后得 由上式可知，在非稳恒情况下传导电流不连续。但是 这个量永远是连续的，只要边界L相同， 它在不同曲面 上的面积分相等。

9. 令 代表通过某一曲面的电位移通量 则有 麦克斯韦把 这个量叫做位移电流(displacement current)， 是位移电流密度。 传导电流 与位移电流合在一起 称为全电流。 全电流在任何情况下都是连续的。

10. 麦克斯韦还假定在产生磁效应上，位移电流 与传导电流 等效。在非稳恒情况下，磁场环路 定理右面 应由 代替，即： 或者写成 这里S是以L为周界的任意界面。以上便是麦克斯韦的位移电流假说。

11. 在电介质中 位移电流为 在上式中，第二项是极化强度矢量的时间变化率。如果单位体积的介质中有n个偶极子，每一个偶极子为 ，那么当场强变化时，偶极子间的距离也将随之改变，所以 式中v是束缚电荷规则运动引起的，由此可知 正是极化电流密度。

12. (2)式右端第一项是与电场的时间变化率 相联系 的，在真空中 ，在位移电流中就只剩 这一项了。因此，这一项是位移电流的基本组成部分，但是，它与“电荷的流动”无关，它仅仅是变化着的电场，即位移电流是由变化的电场产生的。 如果把(1)式应用于没有传导电流的情形中，则得 它表示不仅传导电流可能激发磁场，变化的电场也能激发涡旋磁场。

13. 8.2 麦克斯韦方程组 麦克斯韦在引入涡旋电场和位移电流两个重要概念之后得到了在普遍情况下电磁场必须满足的方程组 一般情况下，式中有关各量是空间坐标和时间的函数 这便是麦克斯韦方程组(Maxwell equations)的积分形式，在实际应用中，更重要的是麦克斯韦方程组的微分形式。

14. 首先推导高斯定理的微分形式。假定自由电荷是体分布的，电荷的体密度为 ，则高斯定理可写成 式中V是高斯面S所包围的体积 利用矢量分析中的高斯定理可把上式中左端的面积分化为体积分： 上式对任何体积都成立，被积函数本身应处处相等，故有 这就是高斯定理的微分形式。同样可得磁场中的高斯定理的微分形式

15. 对于安培环路定理，我们也假定电流是体分布的，其密度为 则有： 利用斯托克斯定理(Stokes theorem)，把上式左端的线积分化为面积分： 因为上式中积分范围可以任意，被积函数必须相等，故得

16. 对于麦克斯韦方程组积分形式的第二个方程，也可以进行类似以上的处理，最后我们得到如下四式：对于麦克斯韦方程组积分形式的第二个方程，也可以进行类似以上的处理，最后我们得到如下四式： 散度 (divergence) (ⅰ) 旋度 (curl) 以上是麦克斯韦方程组的微分形式。通常所说的麦克斯韦方程组，大都是指它的微分形式。

17. 将麦克斯韦方程组再加上三个物质性质的方程就构成了一组完整的说明电磁场性质的方程组，对于各向同性介质来说这三个方程：将麦克斯韦方程组再加上三个物质性质的方程就构成了一组完整的说明电磁场性质的方程组，对于各向同性介质来说这三个方程： (ⅱ) (ⅰ)和(ⅱ)式是宏观电动力学的基本方程组，应用以上方程，加上 场量应满足的边界条件以及它们的起始条件，就可以定量地得出有关电磁场问题的解。

18. 8.3 电磁波 1.电磁波 由麦克斯韦方程组可以看出，变化的磁场激发涡旋电场，变化的电场（位移电流）激发涡旋磁场。因此空间某一区域存在一变化电场，它将在周围空间产生变化磁场，这变化磁场又在较远处产生一变化电场，这样变化的电场和磁场相互激发，闭合的电力线与磁力线就像链条那样一环套一环，由近及远向外传播，从而形成电磁波。 需要媒介电磁波不

19. 2.电磁波的产生 （1）偶极振子 要产生一个电磁波必须有一个电磁振荡源。在第五章中我们讨论过的LCR电路中的电容器充电后，电荷满足微分方程： 在电阻R较小时，它的解具有阻尼振荡的形式： 这里

20. 当把LCR电路接在电子管或者晶体管上组成振荡器之后，由直流电源不断补充能量，就可以产生持续的电磁振荡。对于这种电路，由于电场和电能都集中在电容元件中，磁场和磁能都集中在自感线圈中，而且振荡的频率不够高，难于有效地把能量发射出去。当把LCR电路接在电子管或者晶体管上组成振荡器之后，由直流电源不断补充能量，就可以产生持续的电磁振荡。对于这种电路，由于电场和电能都集中在电容元件中，磁场和磁能都集中在自感线圈中，而且振荡的频率不够高，难于有效地把能量发射出去。 产生电磁波的条件： （1）电磁场尽量分布于整个空间 （2） 大

21. 按图中a、b、c、d顺序改造LC振荡电路，使电容器的极板面积越来越小，间隔越来越大，同时使自感线圈的匝数越来越少，固有振荡频率越来越大；另外，电路也越来越开放，使电场和磁场分布于空间中去。最后振荡电路逐步演化为一根直导线（d），电流在其中往复振荡，两端出现正负交替的等量异号电荷。这样的电路叫做振荡偶极子（偶极振子(dipole oscillator)），可以有效地向外发射电磁波。广播电台或者电视台的天线都可以看做这类偶极振子。 a c b d

22. (2)赫兹实验(Hertz experiment) 图a是赫兹的实验装置，当充电到一定程度后，间隙间产生火花放电(spark discharge)，振子间就有来回的振荡电流通过，经过多次振荡后振幅逐渐减小。这种振子的振荡频率很高，当火花接通的瞬间，振荡已经进行了几百万次，振动已衰减得非常之小了。感应圈以10——100Hz的频率对振子充电，从而造就一种间歇性的阻尼振荡（图b）。 b a

23. 振子发射出来的电磁波可以用谐振器接受，如图a中的圆形铜环就是赫兹用过的一种谐振器，间隙间的距离可利用螺旋做微小调节。将谐振器放在距振子一定的距离之外，适当地选择其方位，赫兹观察到发射振子的间隙有火花跳过的同时，谐振器的间隙也有火花跳过。赫兹的实验证明了电磁波确能在空间中传播。振子发射出来的电磁波可以用谐振器接受，如图a中的圆形铜环就是赫兹用过的一种谐振器，间隙间的距离可利用螺旋做微小调节。将谐振器放在距振子一定的距离之外，适当地选择其方位，赫兹观察到发射振子的间隙有火花跳过的同时，谐振器的间隙也有火花跳过。赫兹的实验证明了电磁波确能在空间中传播。 赫兹利用这种实验装置还观察到了电磁波与金属面反射回来的电磁波叠加而产生的驻波现象，并测定了波长，证明了这种电磁波与光波一样具有偏振特性，能产生折射、反射、干涉、衍射等现象。赫兹不但令人信服地证明了电磁波的存在，而且初步证实了光波本质上也是电磁波。

24. 8.4 偶极振子发射的电磁波 下图是一偶极振子，假定振子中的电流作正弦变化并设： 则在两端积累的电荷q为 式中K为积分常数。在非稳恒情况下可以不考虑与时间无关的常量，因此可以令K=0。这样电偶极矩为

25. 如果坐标系如图所示，可以分两个区域给出电场和磁场的表达式如果坐标系如图所示，可以分两个区域给出电场和磁场的表达式 （1）离振子中心点的距离r远远小于波长 的区域称为似稳区或近区，这里场量的各分量可表示为： a b

26. 由式子a可以看出， 的表达式与毕奥-萨伐尔定律给出的电流元产生的磁场强度相同；而式子b给出了场强与电偶极矩为 的电偶极子产生的场强相同。 （2） 的区域通常称为辐射区或者远区。这一区域内场强的各分量可表示为： 1 2

27. 上式中v是电磁波传播的速度， 称为相位常数。由上式可以看出，在辐射区，场强的位相滞后于激励源的电源位相，这是由于电磁波以有限的速度传播所表现出来的推迟效应。在辐射区中磁场强度 位于与赤道面平行的平面内而电场强度 位于子午面内，二者相互垂直，且都垂直于半径r（如下图）。

28. 上图中描绘了某一瞬间 线在空间的分布。不管在远区还是在近区， 线的分布都具有轴对称性，在垂直于振子的平面内， 线围绕着振子轴线旋转而成闭合曲线，它们和传导电流及位移电流相互交链且成右手螺旋关系。每隔半个波长， 线的方向变动一次，随着电磁波的向前推移， 线的半径越来越大。

29. 图中表示以振子为轴的子午面上的电场分布。在近区， 线可从正电荷出发终止于负电荷；在远区，电场由变化的磁场产生， 线成为闭合曲线，它和该处的 线交链。图中的“.”和“+”分别表示穿入纸面的 线。由于电场的大小和 成正比，所以在与振子垂直的平面上， 线最密集，而在振子轴线方向上无 线。

30. 8.5 平面电磁波 讨论在自由空间传播的均匀平面电磁波(plane electromagnetic wave)。所谓自由空间是指空间中既没有自由电荷，也没有传导电流，而且空间无限大，可以不考虑边界的影响。空间可以是真空，也可以充满均匀介质。均匀平面波系指等相位面是平面，且等相面上各点的场强都相等的电磁波。 自由空间的麦克斯韦方程组可写为：

31. 它们在直角坐标系中的分量形式为： ⅰ ⅱx ⅱy ⅱz

32. ⅲ ⅳx ⅳy ⅳz

33. 设平面波沿+z轴传播，则波面垂直于z轴，由于均匀平面波的原因，场强与x,y无关，上式中所有对x和y的偏微商全部等于零，于是ⅰ，ⅱZ，ⅲ，ⅳZ四式化简为设平面波沿+z轴传播，则波面垂直于z轴，由于均匀平面波的原因，场强与x,y无关，上式中所有对x和y的偏微商全部等于零，于是ⅰ，ⅱZ，ⅲ，ⅳZ四式化简为 这说明电场矢量和磁场矢量沿波传播方向的分量 和 是与任何的空间变量无关的常量。在波动问题中常数没有意义，因此可令 。可见均匀平面波中的电场和磁场都没有和波传播方向平行的分量，因此都和传播方向垂直，即对传播方向来说，他们都是横向的，即这种电磁波为横波。

34. 其余四式简化后变为： ⅱx ⅱy ⅳx ⅳy

35. 如果我们考虑的是平面偏振波，电矢量的方向始终在xz平面内，可取x轴沿E矢量的方向，则E只剩下 一个分量，而 。这样一来上式中的ⅱx ，ⅳy两式给出： 即 分量也是一与电磁波无关的常量，仍可设 ，于是H矢量也只剩下一个 分量了。由此可见若E矢量沿x方向，H矢量沿y方向，他们彼此垂直。如果用 代表电磁波传播方向的单位矢量，那么电矢量E，磁矢量H和传播方向 三者两两垂直。 经过化简最后只剩ⅱy ，ⅳx两个方程式了，略去下标得： 1

36. 我们将一个式子对z取偏微分，另一个式子对t取偏微分，便可把一个场变量消去。消去H的方程为：我们将一个式子对z取偏微分，另一个式子对t取偏微分，便可把一个场变量消去。消去H的方程为： 2 同理，消去E的方程式为： 3 式2，3是E和H所遵守的波动方程。如果考虑沿z方向传播的简谐波，我们可将其用复数形式表示： 4 其中 和 是角频率和波数，他们与周期T和波长 的关系为

37. 波的传播速度（相速）为： 4式中 和 是复振幅，它们分别为： 分别是E，H的振幅和初位相。现将试探解4式分别代入波动方程2，3式可得出，只要 和 满足如下关系： 得出波速为： 真空中波速：

38. 将4式带入到1式中可以得到复振幅间的关系： 由此可得： 这说明均匀电磁波的电矢量E和磁矢量H同位相，其振幅成比例。

39. 由于我们是按照右旋坐标系来标定E，H，k三个矢量的取向， 表示E和H永远同号，这样在任何时刻，任何地点，三个矢量都成右旋系

40. 8.6 波印亭矢量 麦克斯韦认为，电磁场的能量也是定域于场中的，其能量密度等于电场的能量密度与磁场的能量密度之和，即： 由麦克斯韦方程组知 分别利用H和E点乘以上两式，并将所得两式相减，得： 1

41. 考虑到下列关系： 再应用矢量分析中的恒等式： 式子1可以写成： 2 容易看出上式右端第一项刚好是电磁场能量密度对时间的变化率的负值，即 。我们再把有非静电力K的情况下欧姆定律的微分形式 应用于右端第二项，可得：

42. 式子2可变形为： 现在我们在空间任取一体积V，表面为∑，将上式两边对体积V积分： 由矢量高斯定理可知： 上式变为： 3 式子3右端第二项中 是热功率密度，因此这一 项的意义是体积V内由于传导电流而损耗的热功率。

43. 为了弄清楚式子3中右端第三项的物理意义，我门不妨先考虑一小的电流管的情况，在V内取一小电流管，其截面积为△∑，长为△l，则：为了弄清楚式子3中右端第三项的物理意义，我门不妨先考虑一小的电流管的情况，在V内取一小电流管，其截面积为△∑，长为△l，则： 是单位时间内电流管中的电源所做的功。因此式子3右端第三项的意义应该是体积V内电源所做功的功率。 这样一来我们便有条件讨论式子3的物理意义了。它的右端第一项表示的是单位时间体积V内电磁场能量的减少，第二项是体积V单位时间内焦耳热的损耗，第三项则是体积V内电源所做功的功率。因此，根据能量守恒定律，式子3左端表示的是单位时间内通过体积V的表面∑向外流出的电磁能量。如果体积V内有运流电流存在，式子3右端还应加上电磁场对运动电荷做功的功率。

44. 现在引入新的矢量S，其定义如下： 4 它的大小表示单位时间内流过与之垂直的单位面积的电磁能量，它的方向代表电磁能传递的方向。S称作波印亭矢量(Poynting vector)，它就是电磁能流密度矢量。 由前面对平面电磁波的讨论可知， 是沿着电磁波传播方向k，即能量总是向前传播的。电磁波中E和H都随时间迅速变化，式子4给出的是电磁波的瞬时能流密度(energy-flux density)。在实际中重要的是它在一个周期内的平均值，即平均能流密度。

45. 对于简谐波来说，如同计算交流电的平均功率那样容易得出：对于简谐波来说，如同计算交流电的平均功率那样容易得出： 式中 是E和H的振幅，由于 和 之间存在比例关系： 故： 这说明电磁波的能流密度正比于电场或者磁场振幅的平方。

46. 下面我们回头看一下偶极振子的情况。在辐射区里，S的表达式为：下面我们回头看一下偶极振子的情况。在辐射区里，S的表达式为： 5 可见能量沿着r方向传播，其流动方向即为电磁波的传播方向。由于 ，因此，振子的固有频率越高，能量的辐射越多；在一般的交流电路中，由于频率很低，电磁波的能量辐射可以忽略不计。从5式还可以看出 ，这说明通过任何一个以振子为中心的球面的能量都是相等的，最后，由于 因此偶极振子辐射电磁能量并不是各向同性的，沿着赤道面S最大，r靠近极轴，S越小，到了极轴方向 ， 没有能量沿着该方向发出。

47. 8.7 光的电磁理论 1.光是电磁波 麦克斯韦得出这样的结论：光是一种电磁波，c就是光在真空中的传播速度。 在介质中电磁波传播的速度： 光在透明介质中传播的速度 这里n为折射率 如果光真的是电磁波的话，那么应该有 对于非磁介质， 从而

48. 2.电磁波谱(spectrum of electromagnetic wave) 自从赫兹应用电磁振荡的方法产生了电磁波，并证明了电磁波的性质与光波的性质相同之后，人们又陆续发现X射线和放射性辐射中的 射线都是电磁波。这些电磁波本质上完全相同，只是频率或者波长有很大区别而已。我们按照波长或者频率的顺序把各种电磁波排列起来就得到了所谓的电磁波谱。 习惯上常用真空中的波长 作为电磁波谱的标度 这里c为真空中的光速， 为电磁波的频率

50. 第八章 小结 一、位移电流:由变化的电场产生 二、麦克斯韦方程组 积分形式、微分形式及其物理意义 三、平面电磁波的性质