Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens

Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens DFT e Sinais Aleatórios Mestrado de Instrumentaçãodo CBPF Profs: Marcelo Portes de Albuquerque e Márcio Portes de Albuquerque Aula 04

Transformada de Fourier Discreta - DFT • A Transformada de Fourier Discreta tem um papel importante em várias aplicações do PDS • Filtragem linear • Análise de correlação • Análise espectral • Alguns algoritmos para calcular a DFT são muito eficientes • Um algoritmo importante é chamado de FFT porque computa a DFT quando o tamanho N da sequência é uma potência de 2 A4

Transformada de Fourier Discreta - DFT A DFT e algumas de suas propriedades A4 A04

Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT A4 A04

Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT Multiplication of Two DFTs and Circular Convolution A4 A04

Transformada de Fourier Discreta - DFT Exemplo: Multiplication of Two DFTs and Circular Convolution Algumas propriedades da DFT A4 6 A04

Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT Exemplo ilustrando o cálculo de x3(n) através da DFT e da IDFT A4 A04

Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT A4

Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT A4 A04

Transformada de Fourier Discreta - DFT Filtragem Linear Baseada na DFT • DFT provides a discrete frequency representation of a Finite Duration sequence • We can explore its use as a computational tool for linear system analysis and for linear filtering • A system with frequency response H(), when excited with an input signal X(), possesses an outup spectrum Y()= H()X() • The output sequence y(n) is determined from its spectrum via the inverse Fourier transform • The DFT allow us a computation of the TF on a digital computer • We will see a computational procedure that serves as an alternative to time domain convolution A4

Transformada de Fourier Discreta - DFT Uso da DFT na Filtragem Linear A4 A04

Transformada de Fourier Discreta - DFT Exemplo: DFT na Filtragem Linear A4 12 A04

Transformada de Fourier Discreta - DFT Exemplo: DFT na Filtragem Linear A4

Transformada de Fourier Discreta - DFT Exemplo: DFT na Filtragem Linear A4 A04

Sinais Aleatórios Fenômenos Aleatórios • Muitos fenômenos físicos encontrados na natureza são caracterizados de forma mais adequada por funções estatísticas • Exemplo: fenômenos meteorológicos como a temperatura do ar e a pressão atmosférica variando aleatóriamente como uma função do tempo • Os sinais aleatórios são modelizados como sinais de duração infinita e energia infinita A4

Sinais Aleatórios Função de Distribuição de Probabilidade • Uma variável aleatória X é uma variável que pode ter valores aleatórios • Uma variável aleatória pode ser pensada como sendo a saída de algum exerimento aleatório • A maneira de especificarmos a probabilidade para os diferentes valores obtidos por uma variável aleatória é através da utilização da função de distribuição de probabilidade F(x) F(x) = Pr(X  x) • Ou pela função de densidade de probabilidade f(x) f(x) = dF(x) / dx A4

Sinais Aleatórios Função de Distribuição de Probabilidade • A relação inversa da função de densidade de probabilidade f(x) é: F(x) = -x f(u) du • Uma característica evidente da função de densidade de probabilidade é F() = - f(u) du = 1 função de densidade de probabilidade função de distribuição de probabilidade A4

Sinais Aleatórios Esperança de uma Variável Aleatória A esperança de uma variável aleatória é definida como sendo a soma de todas os valores que esta pode ter ponderada pela probabilidade destes valores E[X] = - x f(x) dx Esta esperança é tambem chamada de média de X, ou média da distribuição de X ou ainda o primeiro momento de X Isto é definido como sendo o número para o qual X “tende” quando o número de observações aumenta A4

Sinais Aleatórios Valor Médio Quadrático de uma Variável Aleatória Um outro parâmetro estatistico importante que descreve a distribuição de X é o seu valor médio quadrático O valor esperado do quadrado de X é: E[X2] = - x2 f(x) dx E[X2] também é chamado de segundo momento de X O valor RMS (root mean square) de X é a raiz quadrada de E[X2] A variância de uma variável aleatória é o desvio médio quadrático da variável aleatória de sua média O desvio padrão de uma variável aleatória é a raiz quadrada da variância O valor RMS e o desvio padrão são iguais somente para variáveis aleatórias de média zero A4

Sinais Aleatórios Soma e Produto de Variáveis Aleatórias Outras funções de interesse povêm da soma ou do produto de variáveis aleatórias O valor esperado da soma de variáveis aleatórias é a soma dos valores esperados sendo ou não as variáveis independentes O valor esperado do produto de variáveis aleatória é igual ao produto dos valores esperados somente se as variáveis forem independentes A variância da soma de variáveis aleatórias é a soma das variâncias se as variáveis forem independentes A4

Sinais Aleatórios Correlação Estatística entre Variáveis Aleatórias • Um conceito importante é a correlação estatística entre variáveis aleatórias • A covâriancia é a indicação parcial do nível de realação entre variáveis aleatórias • O termo E[XY] é o segundo momento de X e Y A4

Sinais Aleatórios Covariância Normalizada • A covariância normalizada pelos desvios padrões de X e Y é chamada de coeficiente de correlação • O coeficiente de correlação é a medida do grau de dependência linear entre X e Y • Se X e Y são independentes =0 • Se Y é uma função linear de X, =1 A4

Sinais Aleatórios Função de Distribuição de Probabilidade Normal e Uniforme A4 A04

Sinais Aleatórios Processos Aleatórios • Um processo aleatório pode ser pensado como um conjunto (ensemble) de funções no tempo • A notação {x(t)} é um conjunto de funções • Uma função do conjunto é x(t) • O valor observado de uma função em um conjunto no determindado tempo é x(t1) • A probabilidade de x(t1) assumir um valor em um intervalo é dada pela função de distribuição de probabilidade • Neste caso a dependencia do tempo é evidenciada F(x1, t1 )= Pr[x(t1)  x1 ] A4

Sinais Aleatórios Processos Aleatórios • As funções de probabilidade são utilizadas na definição do intervalo de amplitude que o processo aleatório pode apresentar • A função de distribuição de probabilidade de segunda ordem é definida como F(x1, t1 ; x2, t2 )= Pr[x(t1)  x1 and x(t2)  x2 ] • Função de distribuição de probabilidade conjunta de ordem superior pode ser estendida usando a formula acima para t3, t4,... • Entretanto estas funções são raramente utilizadas A4

Sinais Aleatórios Função de Correlação A4

Sinais Aleatórios Processos Estacionários • Processos estacionários são aqueles que as propriedades estatísitcas são invariantes no tempo • Isto implica que a função de densidade de probabilidade do processo F(x1, t1) é independente do tempo de observação t1 • Todos os momento desta distribuição, como por exemplo E[x(t1)] e E[x2(t1)] são constantes • A função de densidade de probabilidade de segunda ordem, neste caso é independente do valor absoluto dos tempos de observação t1 e t2, porém é dependente da diferença entre eles A4

Sinais Aleatórios Processos Ergódicos Anothermember member • Um conceito associado a processos aleatórios e estacionários é a hipotése de ergodicidade • A média dos membros em um determinado tempo pode ser calculada pela média de uma representação em todo tempo • Uma única função representa o todo • Se um função particular do experimento representa estatísticamente o todo, esta deve mostrar em vários pontos no tempo todo o intervalo de amplitude, taxa de variação da amplitude etc. O que também é encontrada dentre todos os membros do experimento A4

Sinais Aleatórios Exemplo de um Processo Estacionário e Ergódico A4 A04

Sinais Aleatórios Densidade Espectral de Potência A4 A04

Sinais Aleatórios RuídoBranco A4 A04

Resumo • A DFT tem um papel importante no Processamento Digital de Sinais • Vimos que a multiplicação de duas DFTs tem como conseqüência uma convolução circular • Filtragem Linear Baseada na DFT • Apresentamos a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição de probabilidade • Introduzimos os conceitos de processos aleatórios, estacionários e ergódicos. • Ruído Branco e sua DSP A4

Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens