数列与类比

数列与类比 ---等差数列与等比数列的区别与联系上海市嘉定区封浜中学：杜正荣电话：021-52790446 Email:duyunchao@sohu.com

个别到一般的推广类比 某种特性的推广类比 类比思想低维到高维的类比 方法上的类比

类比：是依据两个或两类对象之间存在着某些相同或相似的属性，推出他们还存在其他相同或相似的属性的思维方法。比较是类比的基础，类比是比较的发展。类比：是依据两个或两类对象之间存在着某些相同或相似的属性，推出他们还存在其他相同或相似的属性的思维方法。比较是类比的基础，类比是比较的发展。（1）类比模式1 S对象具有属性a、b、c、d S*对象具有属性a’、b’、c’ a’、b’、c’分别与a、b、c相同或相似 S*对象可能具有属性d’

（2）类比模式2 A类似于B B能用方法M解决 A可能也可用方法M解决一、等差数列与等比数列的类比

1.等差数列与等比数列在形式上的“类比” 定义的类似：定义中的“差”与“比”改动一下即可互推定义. 运算符号的类比： “加号”与“乘号”的互换；“倍乘”与“乘方”的互换，通项公式及相关性质可互推. 2.等差数列与等比数列在解题思想方法上的“类比” 等差数列与等比数列在“求和”与“求积”可以互换推导. 等距的部分和构成的新数列的类比.

等差数列与等比数列的区别与联系 类比方法: (1)差—商（2）和—积（3）倍数—指数等差数列等比数列定义 an+1-an=d an-am=(n-m)d an+1/an=q an/am=qn-m   b2=a·c  an2=am-n ·am+n  2b=a+c 2an=am-n + am+n  等差（比）中项 a1 ·an=a2 · an-1=…= ak · an-k  a1+an=a2+ an-1=…= ak+ an-k  am ·an=ap · aq m±n=p±q am ± an=ap ± aq   m±n=p±q  am /an=ap /aq 距首末两项等距的和相等距首末两项等距的积相等通项公式 an=a1+(n-1)d(叠代法、叠加法） an=a1 ·qn-1(叠代法、叠乘法） an=am+(n-m)d  an=am ·qn-m  q= = 公差（比） d= = (an ·am>0,+号; an ·am<0, -号）几何意义：斜率不变  lgq=

a1=a a1=a na1+ nam+ T2n-1=(a1a2n-1) Sn= ·a中 Tn= a1nq = (a1an) 递推公式 an+1=an+d (nN) an+1=q·an (nN) a1=a a1=a   an+1=p·an+d (nN,p0 ) an+1=q·anp (nN,q 0 ) na1 (q=1）错位相减法 = Sn= = = an2+bn  =  求和公式 = = =   Sn-Sm-1= Sn-Sm-1=   an2n-1 = 积 S2n-1=  (2n-1)an = 倒序求和法   Sn=n·a中 n为奇数等差、等比数列中Sn、S2n- Sn、S3n- S2n亦成等差、等比数列。  n为偶数

an=dn+p ,n的一次函数，坐标(n,an) an=p·qn ,n的指数型函数，坐标(n,an) C= =an+b ,n的一次函数，坐标(n, ) 若{an}、{bn}是等比数列，则{pan·mbn},{c·an},{an-1},{ank},{|an|}, {akn+b}, 仍成等比数列.而{lgpank}成等差数列.若{an}是等差数列，则，，成等比数列. { } { } 若an、bn是等差数列，则{pan+mbn}, {man}, {akn-an},{kanb},{akn+b} , 仍成等差数列. { } { } { } { } Sn=C ·qn-C,同上. Sn= an2+bn ,n的二次函数，坐标( n,Sn).  a1 >0 a1 <0 或递增；函数与方程 0 < q <1 q >1 a1 <0 a1 >0 或递减； q >1 d>0,递增；d=0,不增不减；d < 0，递减. 0 < q <1 q=1或q < 0，不增不减. a1 、d、n、an、Sn五个量中，知3求2。 a1 、d、n为基本量 a1 、q、n、an、Sn五个量中，知3求2。 a1 、q、n为基本量 am=a ,bn=b ,m  n, am+n= am=a ,bn=b ,m  n, am+n= am=a ,bn=b , am+n=0; sm=sn,sm+n=0 sm=n ,sn=m sm+n= -(m+n) n=2k+1,S奇-S偶=ak+1(中项）性质推广 n=2k,S奇-S偶=kd;

二、例题 例1.在等差数列{an}中，若a10=0,则有等式a1+ a2+ a3+…+ an= a1+ a2+ a3+ …+ a19-n(n<19, n N)成立。类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9=1,则有等式成立。（上海2000年高考试题） b1·b2·b3… ·bn= b1·b2·b3· … · b17-n [思路分析]：先从题设中找到等差数列{an}的性质： am +an=ap + aq，其中m+n=p+q，因为a10=0,所以a1+a9=a2+ a8=…= a4+ a6= a10=0,所以当n=10时， a1+ a2+ … + a9 + a10= 0，而a1+ a2+ a3+ …+ a19-n= a1+ a2+ … + a9 + a10= 0；以此类比，等比数列{bn}中，若b9=1,利用等比数列的性质bm ·bn=bp · bq,其中m+n=p+q，可推出所求等式。 [解1]如上分析知，等比数列{bn}中，若b9=1,由等比数列的性质：bm ·bn=bp · bq,其中m+n=p+q，有b1·b8= b2·b7= …= b9=1.所以有 b1·b2b3· … · b8·b9= （b1 · b8)(b2b7)…b9=1. b1·b2·b3… ·b17-9= b1·b2b3· … · b8 = （b1 · b8)(b2b7)(b3 · b6)(b4b5)=1. 通过类比所求等式是b1·b2·b3… ·bn= b1·b2·b3· … · b17-n .

[解2] 运用类比推理，对于等差数列{an}和等比数列{bn}：诸ai之和诸bi之积; 由an+0= an与bn·1= bn ,有a10=0  b9=1,于是 2×10-1=19  2 ×9-1=17. 故应填 b1·b2·b3… ·bn= b1·b2·b3· … · b17-n .

练习1. 在等差数列{an}中，若a20=0,则有等式a1+ a2+ a3+…+ an= a1+ a2+ a3+ …+ a39-n(n38, n N)成立。类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b10=1,则有等式成立. b1·b2·b3… ·bn= b1·b2·b3· … · b19-n 在等差数列{an}中，若a10=0,则有等式a1+ a2+ a3+…+ an= a1+ a2+ a3+ …+ a19-n(n<19, n N)成立。类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若bN=1,则有等式成立. b1·b2·b3… ·bn= b1·b2·b3· … · b2N-n 在等差数列{an}中，若a10=0,则有等式a1+ a2+ a3+…+ an= a1+ a2+ a3+ …+ a19-n(n<19, n N)成立。若aN=0, 则有等式成立.

练习2. (s+t) (1)在等差数列{an}中,设 a1+ a2+ a3+…+ a10=s,an-9+ an-8+ an-7+…+ an=t (n>9),s,t为常数. 求证： a1+ a2+ a3+…+ an= （2）类比上述性质，相应地写出正数等比数列{bn}中一个类似的真命题，并加以证明。

练习3. 在等差数列{an}中, 公差为d，Sn、S2n- Sn、S3n- S2n，… 成数列，其公差为. 在等比数列{bn}中, 公比为q，Sn、S2n- Sn、S3n- S2n，… 成数列，其公比为. 练习4. 在等差数列{an} 中，当ar=as ,(sr)时， {an} 必定是常数数列。然而在等比数列 {an}中，对某些正整数s、r，(sr)当ar=as 时，非常数数列{an}的一个例子是____________. (04上海春季高考）

设f(x)= 利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(-5）+ f(-4）+ …+ f(0）+…+ f(5）+ f(6）的值为. 已知函数，那么练习5. 练习6. 上海市嘉定区封浜中学：杜正荣电话：021-52790446 Email:duyunchao@sohu.com

数列与类比

数列与类比

Presentation Transcript