与时间有关的电磁场 习题解答（部分）

1. 9-1，9-2，9-3，9-4，9-5，9-6，9-8 与时间有关的电磁场习题解答（部分）

2.                 v a b B 9-1 半径为 R 的半圆形导体在均匀磁场中以匀速运动，已知磁场的磁感应强度为 B，方向垂直于圆环平面，速度 v的方向与圆环直径 ab的夹角为α，求 ab 两端间的动生电动势。

3. B                 j dl v vB α α i a b 解: vB = vB ( - sinαi + cosαj ) εab =  (vB) • dl =  vB ( - sinαi + cosαj )( dx i + dy j ) = -o2RvBsinαdx + oovBcosαdy = - 2 RvB sinα ab 方向：b  a

4. B v  I R a b o l 9-2 一长直导线载有电流 I，在其近旁有一半径为 R的半圆环 ab，半圆环与直导线共 面，且直线 ab与直导线垂直，环心与直导线相距为 l 。当半圆环以速度 v 平行于直导线运动时，求半圆环的端点的电动势εab。 解：B = oI / 2x v  B= vB i = voI/2x i εab=  ( v  B )  dl = v oI / 2x i  dl =  v oI / 2x dx = voI l n[(l+R)/(l-R)]/2 ab 方向：a  b

5.                 a O a A D 2a B C 9-3 半径为 a 的长直螺线管中有 dB/dt > 0 的磁场，一直导线弯成等腰梯 形的闭合回路ABCDA，上底为 a，下底为 2a，试求 AD 段，BC段和闭合回路中的感应电动势。 解：1、AD = AD+ DO+ OA = ADOA= - d/dt  = - B S ADO = - 0.433 Ba2 AD = d(0.433 Ba2)/dt = 0.433 a2 dB/dt AD 方向：A  D

6.                 a O a A D 2a B C 2、BC= BC+ CO+ OA = BCOB = - d/dt  = - B S扇OADO = - a2 B/ 6 BC = d(a2 B/ 6)/dt = ( a2/6 ) dB/dt AD 方向：B  C 3、 ABCD= AB+ BC+ CD + DA =BC + DA =BC - AD = ( 0.433 -  /6 ) a2dB/dt ABCD方向为逆时针.

7. y M × × × × × × C × × × × × × B × × × × × × v × × × × × × θ × × × × × × x 0 D N 9-4 导体 CD以恒守速率在一个三角形的导体框 MON上滑动，v 垂直 CD 向右，磁场 方向垂直纸面向里。当磁场分布为非均匀，且随时间变化的规律为 B = kx cosωt 时， 求任一 时刻 CD运动到 x 处，框架COD内的感应电动势的大小和方向 ( 设 t = 0 时，CD处于原点 x = 0 处。) ， 解：设回路正方向为顺时针，

8. dS tg y × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × dx dx 3 sin x t x cos t 2 3 ω ω ω = x θ B . d dS Φ = B . cos tg dx = k x t x θ ω θ tg cos dx x = k x t 2 θ ω 0 x dx .  dS Φ = B 1 x  tg cos tg cos dx = k x t k x t 2 3 θ θ ω = ω 3 0 d 1 ε Φ tg ( ) = k = θ 3 dt dt 1 tg v sin tg v = k t k cos ω t t t 3 3 3 2 θ θ ω ω 3 感生 动生

9. 1 ε tg v sin tg v = k ω t k cos ω t t ω t 3 3 3 2 θ θ 3 感生 动生 ε B l v tg v = = k cos t ω t 3 2 θ 动 1 ε e Φ tg v sin = k ω t = ω t 3 3 θ t e 3 感 当ε> 0时，感应电动势方向为顺时针； 当ε< 0时，感应电动势方向为逆时针。

10. I I d 9-5 两根无限长的平行直导线，横截面半径均为a，中心相距为 d，通过大小相等而方向相反的电流。若忽略两导线内的磁通量，求： (1)两直线间单位长度的自 感系数； (2)若将直导线 分开到原来距离的两倍，磁场对单位长度直导线所作的功； (3)在分开时单位长度的磁能改变了多少 ? 是增加还是减少 ? 为什么 ?

11. d × B1 1 I I 2 1 B2 × x dx 解：(1)两直线间单位长度的自感系数; B(x) = oI/2x +oI/2(d -x)  = ad-a B(x)dx = ad-a oI/2x dx +ad-a oI/2(d -x)dx = (oI/2)[ln x- ln (d -x)]ad-a = (oI /) ln (d/a -1) 自感系数: L =  / I = ( o / ) ln (d/a -1)

12. 1 2 B1 × F 1 Idl I x (2)若将直导线 分开到原来距离的两倍，磁场对单位长度直导线所作的功; F= 01 Idl  B = IB i = I oI / 2x i = oI2 / 2x i A=  F · dx =  Fdx =d2d oI2 / 2x dx = oI2 ln 2 / 2 > 0 表示磁场对电流作正功

13. (3)在分开时单位长度的磁能改变了多少 ? 是增加还是减少 ? 为什么 ? 相距为 d 时，Ld = ( o / ) ln (d/a -1) 单位长度的磁能： Ed = Ld I2 / 2 = ( o I2 / 2 ) ln (d/a -1) 相距为 2d 时，L2d = ( o / ) ln (2d/a -1) 单位长度的磁能： E2d = L2d I2 / 2 = ( o I2 / 2 ) ln (2d/a -1) E = E2d - Ed = ( oI2/2 ) ln [(2d-a)/(d-a)] > 0 增加 其能量来源于提供并保持电流不变的电源。

14. I I’ dx x b d a 9-6 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为 a ，b，它到直导线的距离为 d。求： (1)导线与线圈间的互感系数； 解：设直导线通电流 I’  = ad+a (oI’/2x) bdx = (oI’b / 2) ln (1+a/d) M =  / I’ = (ob / 2) ln (1+a/d)

15. I b i d a (2)当矩形线圈中通有电流 I = Io sinωt 时，求直导 线中的感应电动势。 解：由于M为正，所以在 导线电动势向下为正。 i = - M dI/dt = - (ob / 2) ln (1+a/d) Ioωcosωt i > 0 , 直导线中的感应电动势方向为  ; i < 0 , 直导线中的感应电动势方向为 。

16. I ω b a B 9-8 一个半径为 a 的小圈线圈( 电阻为 R )，开始时与一个半径为 b 的( b >> a )大圆线圈共面并同心，固定大线圈，在其中维持恒定电流 I，使小线圈绕其直径以匀角速度ω转动 (小线圈的自感可忽略 )，求大线圈中的感应电动势。 解：小线圈处 Bo = oI / 2b t 时刻，通过小线圈的 磁通量 Φa = B ·Sa = oIa2cosωt/2b

17. Φa = oI a2cosωt / 2b 小线圈中感应电流 i = - dΦa /dt R = oI a2ωsinωt / 2bR 大小线圈之间的互感 M =Φ/ I = oa2cosωt / 2b i = - M di/dt - i dM/dt = - (oa2cosωt/2b)(oI a2ω2cosωt/2bR) + (oIa2ωsinωt/2bR)(oa2ωsinωt/2b) = - o2I 2a4ω2 cos 2ωt / 4b2R