Геометрія 8 клас

1. Геометрія 8 клас Чотирикутники: Паралелограм Прямокутник Ромб Квадрат Трапеція Вписанійописанічотирикутники

2. Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають,— сторонами чотирикутника.

3. Вершини чотирикутника називаються сусідніми , якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями. В A С D

4. AD В С • Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. • Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. • Периметр чотирикутника — сума довжин усіх його сторін. P=(a+b)2, де a і b – сторони чотирикутника

5. Чотирикутник називається опуклим, ­якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону.На рисунку нижче зліва ABCD — опуклий чотирикутник; AC, BD — його діагоналі. На рисунку справа KMNP — неопуклий чотирикутник; KN, MP — його діагоналі. • Сума кутів чотирикутника дорівнює 360° .

6. Паралелограм • Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні. На рисунку ABCD — паралелограм. AB ΙΙ DC; BC II AD.

7. Властивості паралелограма • Теорема 1. У паралелограма протилежністоронирівні, протилежні кути рівні. АВ=СD, BC=AD <A=<C, <B= <D Теорема 2. У паралелограмі кути, прилеглі до однієїсторони, в сумі дорівнюють : < A+ <B=180 °, <A+ <D=180 °, <B+ <C=180 °, <C+ <D=180 ° Теорема 3. Діагоналіпаралелограмаперетинаютьсяй у точціперетину ділятьсянавпіл. BO=OD, AO=OC

8. ВластивостіпаралелограмаТеорема 4. Діагональпаралелограмаподіляєйого на два рівнітрикутники. На рисунку нижчезліва ABC = CDA На рисунку справа ABD = CDB

9. Властивості паралелограма • Теорема 5. Діагоналі паралелограма розбивають його на дві пари рівних трикутників. На рисунку AOB = COD, BOC = DOA

10. Ознаки паралелограма • Теорема 1. Якщодіагоналічотирикутникаперетинаютьсяй у точціперетинуділятьсянавпіл, то цейчотирикутник — паралелограм.Теорема 2. Якщо в чотирикутникудвісторонипаралельнійрівні, то цейчотирикутник — паралелограм.Теорема 3. Якщо в чотирикутникупротилежністоронирівні, то цейчотирикутник — паралелограм.Теорема 4. Якщо в чотирикутникупротилежні кути рівні, то цейчотирикутник — паралелограм.Теорема 5. Якщо в чотирикутнику кути, що єприлеглими до кожноїізсторін, у сумідорівнюють , то цейчотирикутник — паралелограм.Теорема 6. Якщокожнадіагональподіляєчотирикутник на два рівнітрикутники, то цейчотирикутник— паралелограм.

11. Кут міжвисотамипаралелограма • Висота паралелограма — це відрізок, перпендикулярний до протилежних сторін паралелограма з кінцями на цих сторонах.На рисунку h₁ I h₂— висоти паралелограмa.

12. Найчастішевисотиопускаютьіз вершин паралелограма. Ізкожноївершинипаралелограмаможна провести двівисоти. Кут між ними дорівнюватиме куту паралелограма при сусіднійвершині. -----кут міжвисотами паралелограма, опущенимиз тупого кута, ----------кут міжвисотами,опущеними згострого кута

13. Властивостібісектрискутівпаралелограма 1. Бісектрисисусідніхкутівпаралелограмаперпендикулярні.2. Бісектрисипротилежнихкутівпаралелограмапаралельніабозбігаються (якщопаралелограм — ромб).3. Бісектриса кута паралелограмавідокремлюєвідньогорівнобедренийтрикутник.На рисунку BM II KD; DM II AP; - рівнобедрений; AB=BP;KCD — рівнобедрений, CK=CD .

14. Чотирикутник, що утворився при перетині бісектрис кутів паралелограма,— прямокутник. Якщо через точку перетину діагоналей паралелограма проведено пряму, то відрізок цієї прямої, який розташований між паралельними сторонами, ділиться в цій точці навпіл:

15. Прямокутник Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі.

16. Оскільки прямокутник є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і ще деякі інші.Теорема. Діагоналі прямокутника рівні.На рисунку AO=OC=BO=OD. AC=BD .AOB= COD ; BOC= DOA — рівнобедрені.

17. Ознаки прямокутника • Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі кути рівні, то він є прямокутником.Теорема 2. Якщо в чотирикутнику є три прямі кути, то він є прямокутником.Теорема 3. Якщо в паралелограмі є прямий кут, то паралелограм є прямокутником.Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то він є прямокутником.

18. Ромб • Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

19. Властивості ромба Оскільки ромб єпаралелограмом, вінмаєвсівластивостіпаралелограмаідеякіінші.Теорема 1. Діагоналі ромба перетинаютьсяпід прямим кутом. Діагоналі ромба єбісектрисамийогокутів.На рисунку ABCD — ромб;AB=BC=CD=DA; AC BD;<ABO=<CBO=<ADO<=CDO; <BAO=<DAO=<BCO=<DCO; KO=ON

20. Властивості ромба Теорема 2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники.Теорема 3. Висоти ромба рівні:

21. Ознаки ромба Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, то він є ромбом.Теорема 2. Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то він є ромбом.Теорема 3. Якщо в паралелограмі діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом.Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагональ є бісектрисою кута, то паралелограм є ромбом.

22. Квадрат Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні. A B D C

23. Властивості квадрата Оскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником і ромбом водночас, маємо:1) у квадрата всі сторони рівні;2) у квадрата всі кути рівні;3) діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом, діляться в точці перетину навпіл, є бісектрисами його кутів;

24. Властивості квадрата 4) діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикут­ники.На рисунку ABCD — квадрат. AB = BC =CD=AD; <A=<B=<C=<D; AC=BD ; AOB= BOC= COD= AOD.

25. Ознаки квадрата Теорема 1. Якщо в чотирикутника всі сторони і всі кути рівні, то він є квадратом.Теорема 2. Якщо діагоналі прямокутника перетинаються під прямим кутом, то він є квадратом.Теорема 3. Якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом.

26. Трапеція • Трапецієюназиваєтьсячотирикутник, у якоготількидвіпротилежністоронипаралельні. Цісторониназиваютьсяосновами трапеції, а двіінші — бічними сторонами. • Трапеція, в якоїбічністоронирівні, називаєтьсярівнобічною(див. рисунок нижчезліва). Якщо одна збічнихсторінтрапеції перпендикулярна до основ, трапеціяназиваєтьсяпрямокутною(рисунок нижче справа).

27. Теорема 1. Кути трапеції, які прилеглі до однієї бічної сторони, у сумі дорівнюють 180°Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції.Теорема 2. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.Зверніть увагу: середня лінія не проходить через точку перетину діагоналей трапеції.

28. Рисунок 1Висотою трапеції називається відрізок прямої, перпендикулярної до основ трапеції з кінцями на основах трапеції. Найчастіше висоту проводять через вершини верхньої основи або через точку перетину діагоналей (рисунок 1). Усі висоти трапеції рівні між собою.Бісектриса кута трапеції, якщо вона перетинає основу трапеції, відтинає від неї рівнобедрений трикутник (рисунок 2). Рисунок 2

29. Властивості рівнобічної трапеції • 1. У рівнобічній трапеції кути при основах рівні (рисунок нижче зліва).2. У рівнобічній трапеції діагоналі рівні.3. У рівнобічній трапеції діагоналі створюють з основою рівні кути.4. У рівнобічній трапеції діагоналі, перетинаючись, утворюють два рівнобедрені трикутники, основами яких є основи трапеції (рисунок справа).

30. Додатковіпобудови, що використовуються для розв’язування задач на трапецію • На рисунку AN+MD=AD-BC; MN=BC; BCMN — прямокутник.

31. Додатковіпобудови, що використовуються для розв’язуваннязадач на трапецію Зверніть увагу: якщо AB=CD, то

32. Додатковіпобудови, що використовуються для розв’язуваннязадач на трапецію 2) На рисунку CF II AB; ABCF — паралелограм. <CFD=<A; <DCF=<BCD - <A; FD=AD-BC.

33. Додатковіпобудови, що використовуються для розв’язуваннязадач на трапецію 3) На рисунку CK II BD;BCKD — паралелограм. BC=DK . Сторони ACK: AK=AD+BC; CK=BD . ВисотаCF ACK збігаєтьсязвисотоютрапеції. ЯкщотрапеціяABCDрівнобічна, то ACK — рівнобедрений.

34. Вписанійописанічотирикутники Теорема 1. Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює 180° . На рисунку .

35. Із цього випливає, що коло можна описати навколо прямокутника (рисунок нижче зліва), зокрема квадрата (рисунок справа), його центром буде точка перетину його діагоналей. Радіус — половина діагоналі.

36. Коло можна описати навколо трапеції тоді й тільки тоді, коли вона є рівнобічною (див. рисунок). Центром кола є точка перетину середніх перпендикулярів до сторін. Навколо паралелограма та трапеції загального виду описати коло не можна. (Зокрема, навколо ромба не можна описати коло.)

37. Теорема 2. Чотирикутник тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, якщо суми його протилежних сторін дорівнюють одна ­одній.На рисунку

38. Отже, коло можнавписати в ромб (зокрема у квадрат), але не можна в прямокутникабопаралелограмзагального виду.Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетинудіагоналей (рисунок нижчезліва). Радіус кола дорівнюєполовинівисоти ромба, а у квадраті — половиністорони (рисунок справа). Звернітьувагу: радіусвписаного в ромб кола (ON) — цевисотапрямокутноготрикутникаBOC, яка проведена звершини прямого кута імаєвсівластивостівисотипрямокутноготрикутника, що проведена звершини прямого кута.

39. Теорема 3. Трапеціютодійтількитодіможнаописатинавколо кола, коли сума її основ дорівнюєсумібічнихсторін (рисунок нижчезліва). Центр цього кола — точка перетинубісектрискутівтрапеції. Радіусдорівнюєполовинівисотитрапеції. У випадкурівнобічноїтрапеції центр вписаного кола лежить на серединівисотитрапеції, яка проходить через середини основ (рисунок справа). Бічна сторона трапеції у цьомувипадкудорівнюєїїсереднійлінії.

40. До нових зустрічей! Сподіваюся, ви запам'ятали сьоднішній урок за темою: “Чотирикутники”