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第五章 貨幣時間價值

第五章 貨幣時間價值. 第一節 單筆金額之現值與未來值. 第二節 年金之現值與未來值. 第三節 非等額現金之計算. 第四節 複利之計算. 第五節 貨幣時間價值之應用. 第一節 單筆金額之現值與未來值. < 例 1> 張君今年年初存了 $1,000, 年利率為 10%, 未來 4 年內 , 該筆存款每年年底的金額為何 ?. 第一節 單筆金額之現值與未來值. 複利的計算 (Compounding Interest Rates).

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第五章 貨幣時間價值

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  1. 第五章 貨幣時間價值 第一節 單筆金額之現值與未來值 第二節 年金之現值與未來值 第三節 非等額現金之計算 第四節 複利之計算 第五節 貨幣時間價值之應用

  2. 第一節 單筆金額之現值與未來值 • <例1> 張君今年年初存了$1,000, 年利率為10%,未來4年內, 該筆存款每年年底的金額為何?

  3. 第一節 單筆金額之現值與未來值 複利的計算(Compounding Interest Rates) 期別 0 1 2 3 4 ├─────┼─────┼─────┼─────┤利率 10% 金額 -$1,000 1,100 1,210 1,331 1,464 └─────┘└────┘└────┘└────┘ 利率1.1  1.1  1.1  1.1 └─────────┬───────→ 現值 $1,000 (1.1)4 =未來值 $1,464 $1,000 (1.1)4 = $1,464。 PV‧(1+i)n = FVn。 PV‧(FVIFi,n) = FVn。 現值× 終值利率因子＝終值

  4. 複利示意圖

  5. 圖 5-3 未來值的變動

  6. 貨幣時間價值的計算方式： 利用公式  查表 財務計算機：如 Casio FC-200 或 HP 10B。 電腦軟體：如 EXCEL。

  7. <例2>某人目前在銀行存入$5,000, 年利率為5%, 則其3 年後有存款？

  8. 未來值(FV)vs.現值(PV) <例3> 若年利率固定為 6%，某人希望 5 年後有 $50,000 收入，則目前應存入的金額為何？ 0 1 2 3 4 5 ├──┼──┼──┼──┼──┤ 利率 = 6% PV $50,000

  9. 現值與未來值的關係可以利用現值利率因子(Present Value Interest Factor, PVIF)來表達: PV= FVn*[ ]= FVn * (PVIFi,n) PV = FV PVIF 6%,5 = $50,000  0.7473 = $37,365。

  10. 圖 6-4 現值的變動

  11. <例4>目前若存入$6,830於台銀, 以年利率複利計算, 4年後會有$10,000之收入,則台銀之年利率為? (i=10%)

  12. <例5> H先生現以固定年利率 7% 存$50,835, n年之後可提出 $100,000作為子女教育經費,試求n=?

  13. 第一節 複習 • 現值 (Present Value, ) • 未來值、終值 (Future Value, ) • 現值利率因子(Present Value Interest Factor, ) • 終值利率因子(Future Value Interest Factor, )

  14. 複利終值在理財規劃的應用 • 求存款本利和 • 100萬存銀行3年定存，利率3%，到期一次領取本息之本利和為? 1092727元 • 期間愈長，單利與複利計算出來的利息差距愈大，稱之為複利效果 • 估算整筆投資到期值可累積的目標額 • 將年終獎金10萬元，投資基金，平均報酬率為12% ，5年以後可累積的金額為? 17.62 萬元

  15. 計算通貨膨脹效果：維持同樣購買力需累積的金額計算通貨膨脹效果：維持同樣購買力需累積的金額 • 假設通貨膨脹率為4%，20年後要準備的名目貨幣金額為2,191萬元，才相當於現在的1,000萬元的購買力 • 計算躉繳儲蓄險的報酬率 • 躉繳儲蓄險10萬元，20年後還本可拿15萬元，則報酬率約為2% • 10*FVIF(20,r)=15 FVIF(20,r)=1.5

  16. 複利現值在理財規劃的應用 1.已知目標額與年限、報酬率，現在應該投入多少錢來準備 • 若確定20年後退休需要準備1千萬元，若以平均複利10%為目標，現在應存多少錢到退休金信託帳戶?

  17. 計算零息債券的目前價值 • 零息債券面額100萬元，5年到期，市場殖利率為4% ，請問其現在市價為? 82.2萬元 • 計算貨幣過去的購買力 • 20年前麵包一個5元，現在一個20元，其平均價格上漲率達7.18% • 整合未來各項目標值時，需先折算為現值後才能相加 • 5年後購屋需300萬元，10年後子女教育基金需200萬元，20年後退休金1千萬元，若實質投資報酬率為5%，現在手邊應有?才能達成目標? 735萬元

  18. 第二節 年金(定期的收入或支出)之未來值與現值 1. 一般年金 (Ordinary Annuity) 0 1 2 3 ... n ├──┼──┼──┼────────┤ 利率 = i PMTPMTPMT ... PMT PVAnFVAn PMT：Payments 一般年金示意圖 未來值

  19. 現值 例、[年金之現值] 年金共 5 期，PMT = $100，i = 10%。 一般金年現值示意圖

  20. 年金利率因子的三種計算方式 • 公式 • 查表： FVIFA 6%,10= PVIFA 6%,10= • 財務計算機

  21. 例、<例6> 某房東每年年底必須花費 $10,000 整修房屋，租賃契約 4 年，以整存零付的方式支付整修費，若年利率固定為 8%，則目前應存入多少？ 0 1 2 3 4 ├───┼───┼───┼───┤ 利率 = 8% PV -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 PVA = PMT  PVIFA 8%,4 = $10,000  3.3121 = $33,121。

  22. 例、 <例7> L商店老闆為自己設立退休金:每年年底存款 $50,000 ，年利率固定為 6%，共存10 年。在第10年年底L商店老闆的退休金總額為多少？ 0 1 2 … 10 ├───┼───┼───┼───┤ 利率 = 6% -50,000 -50,000 -50,000 -50,000 FVA =PMT FVIFA 6%,10 = $50,000  13.181 = $659,050。

  23. 2. 期初年金 (Annuity Due) ：每期期初有收入或支出 0 1 2 3 ... n -1 n ├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = iPMTPMTPMTPMT ... PMT 0 PVAnFVAn 期初年金示意圖

  24. 例、 <例8>每年年初買進一張 (1,000 股) K公司股票 (面額 $10) ， 並不賣出；如果 K公司每年發放股票股利 $2，到了第 5 年年底會擁有多少K公司的股票？ 0 1 2 3 4 5 ├───┼───┼───┼───┼───┤ i = 20% -1,000-1,000 -1,000 -1,000 -1,000 FVA FVA = 1,000  FVIFA 20%,5  1.2 = 1,000  7.4416  1.2 = 8,930。

  25. 3. 分期付款 (Amortization) 例、 <例9>以固定利率 9% 向銀行貸款 $2 百萬，為期 10 年，每年年底須支付相同金額。 每年應還金額為何？ 若第三年年底想償還所有貸款，則應還金額多少？ 0 1 2 3 ... 910 ├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = 9% $2百萬PMTPMTPMT ... PMT PMT $2 百萬 = PMT PVIFA 9%,10 = PMT  6.4177， PMT =$311,638。

  26. 第三年年底應還金額： 第三年年底應償還 $311,640.18 + 1,568,470.33 = $1,880,110.51。 第三年年底應償還 $311,640.18 + 311,640*PVIFA 9%,7

  27. 4. 永續年金 (Perpetuity) : 指無限期的年金 例、 <例10>大大公司發行特別股(每張1000股)，每年支付股利 $2,000，必要報酬率 10%，則其理論股價應為何？

  28. 第三節 非等額現金之計算:每期收支金額非固定額度 0 1 2 3 ... 910 ├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i CF1 CF2CF3 ... CFn-1CFn PVFV

  29.  例、 <例11>每年年初購買海外共同基金， 5 年來購買金額分別為 $5、4、8、6、7 萬，期末價值 $44 萬，平均年報酬率為何？ 0 1 2 3 45 ├──┼──┼──┼──┼──┤ -$5萬 -4萬 -8萬 -6萬 -7萬 $44萬 $44 萬 = $5萬‧(1+i)5 + 4萬‧(1+i)4 + 8萬‧(1+i)3 + 6萬‧(1+i)2 + 7萬‧(1+i)， i =14%。

  30. 年金終值在理財規劃的應用 • 定期定額投資的計算 • 每月投資5千元，1年共6萬元，若30年的平均報酬率為6%，屆時(30年後)累積的退休金為 474萬元 • 已知年繳保費與滿期金，求儲蓄報酬率 • 年繳保費10萬元(期初繳)，繳期10年，屆時可領回120萬元，隱含報酬率為? 3.29%

  31. 年金現值在理財規劃的應用 1. 計算退休後生活費用總額 • 每月生活費5萬元，1年60萬元，若至終老前還有20年，折現率 6% ，其退休當年應累積之退休金為? 688萬元

  32. 貸款本利攤還的計算 (購屋規劃章節) • 年繳保費折算躉繳保費 • 年繳保費5萬，計20年；躉繳保費60萬元，若存款利率為4%, 何者划算 • 債券現值的計算 • 票面利率6%，面額100萬, 5年到期,市場利率為5%, 求債券現值? 104.4萬元

  33. 第四節 複利之計算 名目年利率 (Nominal Annual Rate)：inom，掛牌利率。 每期利率 (Periodic Interest Rate)：inom/m， m為計算次數。 有效年利率 (Effective Annual Rate)：EAR (ieff)，實際年利率。 例、 <例12>某信用卡的名目年利率為 18%，則其「有效年利率」為何？

  34. <例13> A銀行定期存款年利率7% ，以單利計算; B銀行年利率6.9% ，每季計息; C銀行年利率6.8% ，每月計息。以 「有效年利率」作比較，哪一個銀行的利率最高？

  35. 2. 無限次數的有效年利率

  36. <例14> X銀行定期存款年利率6.6% ，每季計息; Y銀行年利率6.5% ，計息無限次。以 「有效年利率」作比較，哪一個銀行的利率最高？

  37. 第五節 貨幣時間價值之應用 例、[單一金額未來值之應用]   甲國的年經濟成長率為 2%。 乙國的年經濟成長率為 12%。 甲國目前的國民生產毛額為乙國的五倍，乙國多少年之後國民生產毛額將會超過甲國？ 0 n ├────────┤ PV=1 FV=5 GNP甲‧(1.02)n GNP乙‧(1.12)n， 5 GNP乙‧(1.02)n GNP乙‧(1.12)n， 5 ‧(1.02)n (1.12)n， 5  (1.12/1.02)n 5  (1.098)n， n = 17.21。 Casio FC-200 計算機 (-) 1 → PV 5 → FV 9.8 → i% COMP n EXE → 17.21

  38. 例、分期付款年金利率之比較新車，現金售價 $120 萬：  甲公司－交車一個月後每個月月底應付 $73,178 (無頭期款)，共付一年六個月(18 期)。  乙公司－交車兩個月後每二個月月底應付 $132,198 (無頭期款)，共付 10 期。 甲或乙公司之分期付款對消費者較有利？ 甲公司： $1,200,000 = ($73,178)  PVIFAi,18，一個月利率= 1% 有效年利率 = (1.01)12- 1 = 12.68%。 乙公司： $1,200,000 = ($132,198)  PVIFAi,10，二個月利率= 1.8% 有效年利率 = (1.018)6- 1 = 11.30%。 乙公司利率較低，應選擇乙公司。

  39.  例、[保險的報酬率] 30 歲要保人之壽險 $1,000,000 保額，每年年初需繳費 $12,368，20 年後期滿。 如果要保人繳滿保險金 5 年之後 (第 24 年底) 死亡，則其投保的「年平均報酬率」為多少？  以平均壽命 70 歲計算，忽略作業成本，則該保險公司推出該契約的成本 (百分比) 約為多少？ 0 1 2 3 ... 1920 24 ├──┼──┼──┼──────┼──┼────┤ -12,368-12,368-12,368-12,368... -12,3680 1,000,000 FV = PMTFVIFAi,20 (1+i)5， $1,000,000 = ($12,368) FVIFAi,20 (1+i)5， 利用財務計算機得到 i = 9.17%。

  40. (續前題) 0 1 2 3 ... 1920 ... 38 39 ├──┼──┼──┼──────┼──┼────┼──┤ -12,368-12,368-12,368-12,368... -12,3680 ... 0 1,000,000 FV = PMTFVIFAi,20 (1+i)20， $1,000,000 = $12,368 FVIFAi,20 (1+i)20， 利用財務計算機得到 i = 4.72%。

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