Download
1 / 16
160 likes | 407 Views
732G22 Grunder i statistisk metodik. FL5. Mängdlära. Inom statistiken oftast en metod för att hantera och åskådliggöra sannolikheter, men ur ett bredare perspektiv en viktig byggsten inom matematik och logik. S = grundmängd
E N D
732G22 Grunder i statistisk metodik FL5
Mängdlära Inom statistiken oftast en metod för att hantera och åskådliggöra sannolikheter, men ur ett bredare perspektiv en viktig byggsten inom matematik och logik. S = grundmängd Om mängden A ingår i S säger vi att A är en delmängd av S och tecknar detta som A S. En mängd består av ett eller flera element.
Venndiagram Union av A och B Snitt av A och B Låt A och B vara två delmängder till S. Snitt Snittet ger oss de element som tillhör både A och B Union Unionen ger oss de element som tillhör A eller B (eller båda)
Disjunkta händelser Oberoende händelser När sannolikheten för att den ena händelsen ska inträffa inte påverkar sannolikheten för den andra händelsen ska inträffa. Skillnad mellan disjunkta och oberoende händelser Om A och B är disjunkta är de inte oberoende! Detta eftersom att när A inträffat så vet vi att B inte kan inträffa. Alltså påverkar de varandra, och följaktligen är de inte oberoende.
1. Multiplikationsprincipen Multiplikationsprincipen används när vi i tur och ordning ska utföra k operationer, och undrar hur många sätt dessa kan utföras på. Multiplikationsprincipen åskådliggörs ofta i träddiagram Exempel: Antag att en bilfabrikant låter kunderna välja på 4 olika färger på lacken, 3 olika inredningar och 2 olika fälgar. På hur många sätt kan en presumtiv bilspekulant komponera sin bil?
2. Permutationer När vi har n olika element och undrar på hur många sätt de kan ordnas, då heter med statistiskt språkbruk varje sådan ordningsföljd en permutation. n olika element kan permuteras på n! olika sätt. Exempel: Vi har fyra personer och en rad med fyra stolar. På hur många olika sätt kan personerna placera sig bredvid varandra?
3. Permutationer när vissa element är lika Antalet permutationer av n element när k1 st är av en typ, k2 st är av en annan typ, osv, är Exempel: Hur många olika bokstavsföljder kan man bilda av ordet MISSISSIPPI?
4. Kombinationer Antalet kombinationer när n element väljs ut bland N är Exempel: En förening består av 4 personer, varav 2 ska väljas ut för ett förtroendeuppdrag. På hur många sätt kan det ske?
5. Ordnade delmängder När vi har en mängd bestående av N element och ur denna vill välja ut n element i en viss ordningsföljd, så talar vi om en ordnad delmängd. Antalet ordnade delmängder när n element väljs ut bland N är Exempel: Låt oss fortsätta betrakta samma förening med 4 medlemmar. 2 personer ska nu väljas ut men dessutom rangordnas. På hur många sätt kan det ske?
Introduktion till sannolikhetslära Slumpvariabel = variabel vars värden bestäms av slumpen Sannolikhet = numeriskt värde på hur troligt det är att en viss händelse ska inträffa vid ett experiment Utfallsrum = S = förteckning över vilka värden slumpvariabeln kan anta Tre lagar för sannolikhet • En sannolikhet ligger alltid mellan 0 och 1 • Sannolikheten för alla händelser som kan inträffa vid ett experiment summerar tillsammans till 1 • Sannolikheten för att en händelse inte ska inträffa = 1 – sannolikheten för att den ska inträffa
Odds Oddset för händelsen A beräknas som Exempel: Vad är oddset för sexa när vi kastar tärning?
Sannolikhetslärans additionssats för disjunkta händelser För två händelser A och B som är disjunkta, så gäller att sannolikheten för att A eller B ska inträffa Exempel: Antag att vi drar ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att kortet vi drar är ett hjärter eller ett spader?
Sannolikhetslärans additionssats för icke disjunkta händelser Exempel: Antag att vi drar ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att kortet vi drar är ett hjärter eller en sjua?
Multiplikationssatsen för oberoende händelser Vad är sannolikheten för att två händelser A och B ska inträffa samtidigt (dvs hur räknar vi ut sannolikheten för det överlappande området (snittet) i ett Venn-diagram)? Kan illustreras i träddiagram. Exempel: Vi singlar slant två gånger. Vad är sannolikheten för två krona i rad?
Betingade sannolikheter Sannolikheten för att händelsen A ska inträffa givet att B redan inträffat beräknas Om Pr(B|A) = Pr(B) är B oberoende av händelsen A. Exempel : Vid ett företag är 40% ingenjörer och 55% kvinnor. 25% är kvinnliga ingenjörer. En person väljs slumpmässigt ut. Vad är sannolikheten att den valda personen är ingenjör om vi vet att det var en kvinna?
