סימולציות ממוחשבות בחומר רך

1. סימולציות ממוחשבות בחומר רך שימוש בממשק Easy Java simulations

2. תיאוריה (קשר בין משתנים שמאפשר את חיזוי התופעה) דגם (ייצוג פשטני של התופעה לאור התיאוריה) הסבר לתופעה לאור תאוריה דוגמן שרטוט של אדריכל הסבר לתנועת כוכב לכת סביב השמש חוק שני ניוטון תורת הקוונטים האור כזרם חלקיקים מה עולה לנו בראש כשאומרים מודל?

3. מהו מודל? מודל הוא ייצוג (representation) של מערכת אשר מפשט אותה ומתמקד בהיבטים המרכזיים שלה, כך שיסביר וינבא תופעות המתגלות במערכת. דוגמה: המודל הגלי של האור. מסביר את תופעת ההתאבכות בקרני אור. מודל יכול לנבא תופעות שטרם נצפו. דוגמה: תורת היחסות של איינשטיין צפתה כיפוף של קרני אור על יד שדה כבידה של כוכבים מסיביים. התופעה נצפתה רק מספר שנים לאחר מכן.

4. 2. תיאוריה – קשר בין משתנים מקשר גדלים רלוונטיים לתיאור התופעה (בדרך כלל על ידי נוסחה מתמטית) E=mc2←האנרגיה העצומה המשתחררת בביקוע גרעיני. ניתן ליישום בחיזוי מגוון גדול של תופעות מופשט, קשה להבנה מובנים שונים של מודל • דגם - חזותי לא מתמטי • ציור מקל-כדור של מולקולות מים ← מבנה מיקרוסקופי של מים • מוחשי • מצומצם, הזנחה של גורמים לא רלוונטיים לתיאוריה • לא מכיל מנגנון סיבתי מובנה שניתן לקשר בעזרתו גורמים שונים, ולנבא תופעות

5. הקשר בין תיאוריה לדגם תיאוריה דגם של התופעה הסבר לתופעה

6. חקירה של תופעה בניסוי תיאוריה מדידות של התופעה המשתנים שההסבר נתן לגביהם חיזוי אישוש או הפרכה של הסבר לתופעה: התאמה של התיאוריה לאילוצים של תופעה ספציפית, חיזוי: חישוב מתמטי של הערכים שיקבלו המשתנים בתנאים מסוימים

7. חקירה של תופעה בעזרת סימולציה • מתי בכלל צריך סימולציה? • כאשר לא ניתן לבצע חיזוי מדויק של ערכים מסוימים, וניתן לחשב את הערכים רק באמצעות המחשב. • למשל: קיימים אינטגרלים שלא ניתן לפתור, כמו: וניתן לחשב אותם רק באמצעות חישוב נומרי. (חישוב שטח מתחת לפונקציה על ידי קירוב) • בפיתוח של טכנולוגיות חדשות כמו שבבי מחשב או מערכות טילים, בודקים קודם כל בעזרת סימולציה אם זה בכלל אפשרי. • איך מסתייעים בסימולציה לחקר תופעות טבע? • מבצעים מדידה על מערכת ניסויית ומשווים להתנהגות הסימולציה (בדיקת הסימולציה) • חוזים תופעות לא מוכרות בתנאים אחרים של אותה מערכת.

8. פעילות : חקירת סימולציה • ניתוח הסימולציה שראינו: • מהי התופעה שחקרנו? • ערבוב והפרדת פאזות של חומרים שונים בטמפרטורות שונות. • מהי התיאוריה שמסבירה את התופעה? • מצב המערכת נקבע על פי האנרגיה החופשית שלה שמחברת בין הנטייה להגדיל את האנטרופיה ובין הצורך להקטין את אנרגית האינטראקציה • איזה דברים מצאתם למצוא בעזרת הסימולציה? • התפתחות של אזורים (domains) בדרך להפרדה מלאה • ערכים של מדויקים יותר של Jc ושל Tcמאשר בקירוב השדה הממוצע • מה דעתכם? האם הסימולציה מסייעת בהבנת התיאוריה? לא בהכרח. אפשר לשחק בסימולציה ולא להבין שום דבר. לשם הבנה טובה יותר של התיאוריה, צריך להבין איך תכננו ובנו את הסימולציה

9. בנית מודל בסימולציות מחשב המודל: • הגדרת המשתנים הרלוונטיים. • הגדרת הקשר בין המשתנים. למשל, איך מחשבים את האנרגיה של המערכת על פי פרמטר האינטראקציה? • אתחול התוכנית על ידי מתן ערכים התחלתיים למשתנים. למשל, על ידי פיזור החלקיקים בשריג באופן אקראי. • פתיחת חלונות עם תבניות או גרפים לתיאור המשתנים. התפתחות המודל - האלגוריתם: • ביצוע שינוי במערכת על פי קריטריון שקבענו מראש. למשל, שינוי במיקום של גוף מסוים. • בדיקה של המערכת לאחר השינוי, אם השינוי מתקבל אז: שרטוט שלה בתבנית ויזואלית או בגרף. אם לא • חזרה לסעיף 1.

10. מה זה Easy Java Simulations? Easy Java Simulations היא סביבת עריכה שתוכננה במיוחד ליצירת הדמיות אינטראקטיביות בשפת התכנות Java

11. סביבת העבודה של ה-EJS • התכנות מתבצע במערכת חלונות: • מצד ימין יש כפתורים לשמירה,פתיחה והרצה של תוכניות • למעלה נמצאים חלונות עם כלי התכנות • למטה נכתבות הודעות למשל הודעות שגיאה.

12. סביבת העבודה בEJS- מוגדרים מראש החלונות הבאים: • חלון הגדרת המשתנים • חלון האתחול(initialization) • חלון יצירת הצעד להתפתחות המודל(evolution) • חלון עם אובייקט גרפי: למשל, ציור של סריג או גרפים • חלון לכתיבת פונקציות בקוד JAVAלשימוש במהלך התוכנית.

13. הגדרת המשתנים בסימולציה • קיימים משתנים מסוגים שונים: (מספרים שלמים, משתנים בינאריים,טבלאות ועוד)

14. סביבת העבודה ב-EJS • בEJS- מוגדרים מראש החלונות הבאים: • חלון הגדרת המשתנים • חלון האתחול(initialization) • חלון יצירת הצעד להתפתחות המודל(evolution) • חלון עם אובייקט גרפי: למשל, ציור של סריג או גרפים • חלון לכתיבת פונקציות בקוד JAVAלשימוש במהלך התוכנית.

15. חלון אתחול המודל • חלון בו כותבים פקודות שיופעלו עם הפעלת התוכנית על ידי מתן ערכים התחלתיים למשתנים

16. סביבת העבודה בEJS- • בEJS- מוגדרים מראש החלונות הבאים: • חלון הגדרת המשתנים • חלון האתחול(initialization) • חלון יצירת הצעד להתפתחות המודל(evolution) • חלון עם אובייקט גרפי: למשל, ציור של סריג או גרפים • חלון לכתיבת פונקציות בקוד JAVAלשימוש במהלך התוכנית.

17. חלון התפתחות המודל • ביצוע שינוי במערכת על פי אלגוריתם. • אלגוריתם הוא "מתכון להתפתחות המודל" כלומר דרך שיטתית לקידום שינויים במערכת.

18. סביבת העבודה בEJS- • בEJS- מוגדרים מראש החלונות הבאים: • חלון הגדרת המשתנים • חלון האתחול(initialization) • חלון יצירת הצעד להתפתחות המודל(evolution) • חלון עם אובייקט גרפי: למשל, ציור של סריג או גרפים • חלון לכתיבת פונקציות בקוד JAVAלשימוש במהלך התוכנית.

19. חלון האלמנטים הגרפיים • בחלון זה בוחרים את אופן התצוגה הגרפי בו תשתמש הסימולציה. בחלון זה כפתורים שונים להתאמה אישית גרפים ואלמנטים גרפיים כמו סריג, סרט, היסטוגרמות וכו' כפתורים, שדות טקסט, sliders אובייקטים גרפיים דו מימדיים אובייקטים גרפיים תלת מימדיים

20. סביבת העבודה בEJS- • בEJS- מוגדרים מראש החלונות הבאים: • חלון הגדרת המשתנים • חלון האתחול(initialization) • חלון יצירת הצעד להתפתחות המודל(evolution) • חלון עם אובייקט גרפי: למשל, ציור של סריג או גרפים • חלון לכתיבת פונקציות בקוד JAVAלשימוש במהלך התוכנית.

21. חלון פונקציות JAVA המבצעות פעולות על המשתנים • השלב האחרון בבניית מודל הוא השלב בו כותבים פונקציות המתארות כיצד ערכו של משתנה מסוים תלוי בערכם של משתנים אחרים. • למשל, במודל שלנו הפונקציה calcEnergy מחשבת את האנרגיה הכוללת של המערכת על ידי סכימה של כל האינטראקציות בין זוגות שכנים קרובים: • E=E11*(No of 11 pairs)+E21 *(No of 21 pairs)+E22 *(No of 21 pairs)

22. מבנה התוכנית שלנו- אלגוריתם מטרופוליס • אלגוריתם - הדרך ליצירת ייצוג של התפתחות המודל • האלגוריתם בו השתמשנו נקרא אלגוריתם "מטרופוליס" על שם ניקולס מטרופוליס - חוקר מתחום מדעי הפיסיקה ומדעי המחשב שהגה אותו לראשונה. • העקרון המרכזי של האלגוריתם הוא שהמערכת צריכה להתקדם לעבר מצב בו האנרגיה החופשית שלה מינימלית. איך עושים זאת? • מתחילים ממצב ההתחלתי שבו החלקיקים מפוזרים על פני הסריג • התוכנית מחליפה באופן אקראי בין שני חלקיקים על הסריג, ובודקת אם אנרגית האינטראקציה של החלקיקים עם שכניהם קטנה בעקבות ההחלפה.

23. ? שלב האתחול: מה עושה התוכנה שלנו? • התוכנה בודקת אם המשתמש רוצה להתחיל במצב מופרד או במצב מעורבב על פי הכפתור randomize. • התוכנה מפעילה פונקציה בשם initialization שמפזרת את החלקיקים בסריג. • התוכנה מחשבת את אנרגית האינטראקציה הכוללת של החלקיקים, על ידי בדיקה של אינטראקציה של כל חלקיק עם שכניו הקרובים. אנחנו לא משתמשים ב"קירוב השדה הממוצע" אלא מודדים את האינטראקציות של כל הסריג, לכן הניבוי של הסימולציה יותר מדויק!

24. דינאמיקה של שינוי האנרגיה החופשית • ניזכר בביטוי לאנרגיה החופשית: ∆F = ∆Finteraction+ ∆Fentropy • מדוע לא חישבנו את השינוי באנטרופיה בעקבות ההחלפה? • כי קשה מאד לאפיין אם צעד קטן "משתלם" מבחינה אנטרופית. מפני שאפיון השוני בין המצבים המאקרוסקופיים שאליהם שייכים המצבים המיקרוסקופיים של המערכת לפני ההחלפה ואחריה קשה מאד. • האנטרופיה מכניסה שיקולים אקראיים למערכת, איך אפשר להכניס שיקולים של אקראיות למערכת ללא חישוב האנטרופיה?

25. הוספת מימד אקראי לאנרגיה • למרות שהאנרגיה החופשית של המערכת שואפת למינימום, היא עלולה לגדול מידי פעם באופן אקראי. • כיצד גדלה האנרגיה החופשית של המערכת? • המערכת שלנו אינה מבודדת ומחליפה אנרגיה עם הסביבה, מכיוון שהטמפרטורה של הסביבה לא משתנה באופן משמעותי אנו קוראים לה "מאגר חום" • כאשר אנרגיה עוברת ממאגר החום אל המערכת, האנרגיה של המערכת גדלה. • מה ההסתברות שאנרגיה תעבור מהמאגר למערכת?

26. פיזור אנרגיה בין שני גופים במגע תרמי ראינו שכאשר שני גופים נמצאים במגע תרמי, עוברת אנרגיה ביניהם, וקיים פיזור בו מספר האפשרויות הסידור הוא הגבוה ביותר, עם זאת ניתן למצוא את המערכת במצב שאינו המצב המסתבר ביותר. למשל: מהי ההסתברות למציאת המערכת עם אנרגיה q1=2 מסוימת? p=Ω(q1=2)/ Ωtotal p=30/120=0.25 מה ההסתברות שמערכת תעבור ממצב של אנרגיה E2 למצב עם אנרגיה E1? ההסתברות למעבר היא היחס בין ההסתברויות השונות: במקרה שלנו מה ההסתברות שהמערכת תעבור ממצב שבו q1=1 למצב שבו q2=2?

27. הסתברות ואנטרופיה • אנטרופיה מוגדרת על ידי: • מכיוון שאם ln(x)=y אז y=exנכתוב: • יחס ההסתברויות שווה ליחס מספר המצבים לכן: • בשיעור על האנרגיה החופשית למדנו שכאשר מערכת צמודה למאגר חום,ניתן להביע את השינוי של האנטרופיה של מאגר החום בעזרת השינוי באנרגיה של המאגר: • מכאן שיחס ההסתברויות של מצבים 1 ו 2 תלוי בהפרש האנרגיה ביניהם ובטמפרטורה של המערכת. • ביטוי זה נקרא "פקטור בולצמן" השינוי באנרגיה טמפרטורה השינוי באנטרופיה של המערכת של המאגר במקרה, אני הוא "פקטור בולצמן".

28. היחס בין ההסתברויות -פקטור בולצמן • פקטור בולצמן מגדיר את ההסתברות שהמערכת תגדיל את האנרגיה שלה. • פקטור בולצמן מושפע מהטמפרטורה: ככל שהטמפרטורה גבוהה יותר, היחס בין ההסתברויות קרוב יותר לאחד ← ההסתברות שהמערכת תהיה עם כל אחת מהאנרגיות שווה. • איך נשתמש בזה בתוכנית? • נגריל מספר בין אפס לאחד, ונבדוק אם פקטור בולצמן גדול מהמספר. • אם הוא גדול, ההסתברות להחלפה גדולה, ולכן נקבל את השינוי באנרגיה למרות שהיא גדלה!

29. סיכום: תרשים זרימה של התוכנית שלנו צעד לקידום המודל החלפה בין שני חלקיקים בסריג באופן אקראי. חישוב אנרגית האינטראקציה של שני החלקיקים לפני ואחרי ההחלפה בדיקה אתחול פיזור החלקיקים בסריג וחישוב אנרגית האינטראקציה הכוללת האם אנרגית האינטראקציה נמוכה יותר אחרי ההחלפה? לא! לא! האם נוכל לקבל את העלייה באנרגיה באופן אקראי? כן!! כן!! מעדכנים את אנרגית המערכת על פי השינוי וההחלפה מתקבלת

30. E1 E2 E2 E1 סיכום: אלגוריתם מטרופוליס • כיצד מתבצע הצעד בתוכנית? • נבצע החלפה של שני חלקיקים שונים באופן אקראי ונחשב את אנרגית האינטראקציה של החלקיקים לפני ואחרי ההחלפה • אם ההחלפה גורמת לאנרגיה • לרדת – נקבל את המצב החדש אם האנרגיה הכוללת עלתה, נקבל את המצב החדשאם: כאשר הוא מספר אקראי בין 0 ל 1.

31. יתרונות וחסרונות של החלפה אקראית בין חלקיקים • החלפה אקראית אינה נותנת תמונה מדוייקת, כי חלקיקים קופצים ממקום למקום ללא התחשבות בתווך שמעליו קפצו. • עדיף היה להחליף בין חלקיקים שנמצאים על התווך שבין שני סוגים החומרים. הדבר מסובך שכן מיקום התווך משתנה כל הזמן וצריך לבדוק איפה הוא, מה שגורם לזמן חישוב ארוך.

32. איך משפיע פקטור בולצמן? • בטמפרטורה גבוהה, ההסתברות לעבור מאנרגיה לאנרגיה גבוהה, הרבה החלפות יתקבלו והמערכת לא תהיה קפואה ומופרדת. • בטמפרטורה נמוכה, ההסתברות לעבור מאנרגיה נמוכה לגבוהה – קטנה יותר לכן פחות החלפות יתקבלו

33. אילוץ נוסף: תנאי שפה • לחלקיקים שנמצאים בקצה הסריג חסרים שכנים קרובים. איך נחשב את אנרגית האינטראקציה שלהם? • תלוי מה אנחנו רוצים למדל? אם רוצים מודל של עומק החומר או של אזור של • נגדיר תנאי שפה, קיימים מספר סוגים: • תנאי שפה מחזוריים – יוצרים "קיפול" של הסריג כך שהקצה הימני מחובר לקצה השמאלי, והקצה העליון מחובר לתחתון. • תנאי שפה קבועים – למשל, אנרגית האינטראקציה של חלקיק בקצה הסריג עם שכן "מעבר לקצה" היא אפס

34. חקירת הסימולציה שלנו: המשתנים במודל המשתנים בסימולציה שראינו. גודל הסריג (אורך ורוחב): n אנרגיה כוללת של מערכת: Etotal אנרגיות אינטראקציה: E11,E22,E21 מיקום חלקיק במערך: x,y טמפרטורה: temperature טבלה של חלקיקים: particles צעד זמן:t מצב התחלתי (מופרד או מפוזר):start

35. מה אנחנו מצפים לראות בחלון הסריג? אם פרמטר האינטראקציה גדול מJCתהיה הפרדת פאזות לפני הגעה להפרדה מלאה תהיה הפרדה מקומית

36. רעיונות לפרוייקט סימולציה בחומר רך • איזה מערכות אפשר לחקור? • מערכת שבה לחלקיקים יש מבנה של דיפול • מערכת של חלקיקים בעלי גדלים שונים • מערכת של מולקולות סבון במים או בשמן • רעיונות שלכם