要点梳理 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地 , 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ，都 有 _______________ ，那么函数 f （ x ）就叫做偶函数 .

1. 要点梳理 1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有_______________，那么函数f（x）就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有_______________，那么函数f（x）就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴 对称. §2.3函数的奇偶性 基础知识 自主学习 f（-x）=f（x） f（-x）=-f（x）

2. 2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是: （1）考查定义域是否关于______对称； （2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）： 若f（-x）=_______，则f（x）为奇函数； 若f（-x）=________，则f（x）为偶函数； 若f（-x）=_______且f（-x）=________,则f(x)既是 奇函数又是偶函数； 若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既 不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 原点 -f（x） f（x） -f（x） f（x）

3. 3.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填 “相同”、“相反”）. (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶 函数； ②两个偶函数的和、积是_________； ③一个奇函数，一个偶函数的积是_________. 相同 相反 奇函数 偶函数 奇函数

4. 基础自测 1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是 （ ） A.y=2x-3 B.y=-3x2 C.y=ln 5x D.y=-|x|cos x 解析A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数. 设y=f(x)=ln 5x=xln 5,∴f（-x）=-xln 5=-f（x）. C

5. 2.（2008·全国Ⅱ理）函数 的图象关于 （ ） A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 解析 ∵ ∴f（x）是奇函数.∴f（x）的图象关于原点对称. C

6. 3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递 减的函数是 ( ) A.f(x)=sin x B.f(x)=-|x-1| C. D. 解析 ∵函数是奇函数,排除B、C（B中函数是非奇 非偶函数，C中是偶函数）， ∵［-1，1］ ∴f（x）=sin x在[-1,1]上是增函数,排除A,故选D. D

7. 4.已知f(x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数, 那么a+b的值是 （ ） A. B. C. D. 解析 依题意得 B

8. 5.（2008·福建理）函数f（x）=x3+sin x+1 (x∈R), 若f（a）=2，则f（-a）的值为 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析 设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数. ∴f（x）=g（x）+1.∵f（a）=g（a）+1=2， ∴g（a）=1， ∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0. B

9. 题型一 函数奇偶性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性： (1) (2) 判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否 关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等 或相反. 题型分类 深度剖析 思维启迪

10. 解(1) 定义域关于原点对称. 故原函数是奇函数. (2) ≥0且1-x≠0 -1≤x<1, 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.

11. 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条 件: 一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是 有利的; 二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇 偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函 数))是否成立. 探究提高

12. 知能迁移1判断函数f(x)= 的奇偶性. 解 ∵ ∴-2≤x≤2且x≠0, ∴函数f(x)的定义域关于原点对称. ∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数. 4-x2≥0 |x+3|≠3,

13. 题型二 函数奇偶性的应用 【例2】判断下面函数的奇偶性,并求函数的单调区间. 求定义域→判断奇偶性→研究在(0,1) 上的单调性. 解 所以函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1). ∵f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任 意x, 所以f(x)是奇函数. 思维启迪

14. 任取x1,x2∈(0,1),且设x1<x2,则 得f(x1)-f(x2)>0，即f(x)在(0,1)内单调递减. 由于f(x)是奇函数,所以f(x)在(-1,0)内单调递减. ∴f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1).

15. 探究提高 根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间 是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同； 偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶 性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单 调性即可.

16. 知能迁移2已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数. (1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒 成立,求k的取值范围. 解(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，

17. (2)由(1)知 由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k. 即对一切t∈R有3t2-2t-k>0. 从而判别式Δ=4+12k<0,解得k<

18. 题型三 抽象函数的奇偶性与单调性 【例3】(12分)已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y) =f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果x为正实数，f（x）<0,并且f(1)= 试 求f(x)在区间［-2，6］上的最值. (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明, 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇 偶性的应用. 思维启迪

19. (1)证明 ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称. ∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x, ∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. ∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 4分 （2）解 方法一 设x,y∈R+， ∵f（x+y）=f（x）+f（y）， ∴f（x+y）-f（x）=f（y）. ∵x∈R+，f（x）<0, ∴f(x+y)-f(x)<0,

20. ∴f(x+y)<f(x). 6分 ∵x+y>x, ∴f(x)在（0，+∞）上是减函数. 8分 又∵f（x）为奇函数，f（0）=0， ∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数. ∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值. 10分 ∵f(1)= ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2[f（1）+f（2）]=-3. ∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值 为-3. 12分

21. 方法二 设x1<x2,且x1,x2∈R. 则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1) =f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0. 即f(x)在R上单调递减. ∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值. 10分 ∵f（1）= ∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1 f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=-3. ∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值 为-3. 12分

22. 探究提高（1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只 要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数. （2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用 方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.

23. 知能迁移3函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足 对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). （1）求f(1)的值； （2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； （3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在 (0，+∞)上是增函数，求x的取值范围. 解（1）∵对于任意x1,x2∈D, 有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)， ∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.

24. (2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1). ∴f(-1)= f(1)=0. 令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. （3）依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f（16×4）=f（16）+f（4）=3， ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, ∴f((3x+1)(2x-6))≤f(64) (*)

25. ∵f(x)在（0，+∞）上是增函数， ∴(*)等价于不等式组 ∴x的取值范围为

26. 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个 问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函 数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为 了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化 简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x) f(-x)± f(x)=0 =±1(f(x)≠0). 思想方法 感悟提高 方法与技巧

27. 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴 对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象 的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性. 1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否 关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶 性的一个必要条件. 失误与防范

28. 2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x,2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x, 均有f(-x)=-f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对 于偶函数的判断以此类推.

29. 一、选择题 1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数， 那么a+b的值是 ( ) A. B. C. D. 解析 依题意得 定时检测 B

30. 2.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞,0] 上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的取值范围 是 ( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) 解析 ∵f（x）是偶函数且在 (-∞,0]上是减函数，且f（2） =f（-2）=0，可画示意图如图所 示，由图知f(x)<0的解集为（-2，2）. D

31. 3.（2009·辽宁理，9）已知偶函数f(x)在区间［0, +∞）上单调递增，则满足 的x的取 值范围是 （ ） A. B. C. D.

32. 解析 方法一 当2x-1≥0,即x≥ 时，因为f(x)在 ［0，+∞）上单调递增，故需满足 当2x-1<0,即x< 时，由于f(x)是偶函数，故f(x)在 （-∞,0］上单调递减， 此时需满足

33. 方法二 ∵f(x)为偶函数,∴f(2x-1)=f(|2x-1|) 又∵f(x)在区间（0，+∞）上为增函数, ∴不等式等价于

34. 4.(2009·陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对 任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 则 （ ） A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

35. 解析 对任意x1,x2∈［0,+∞)(x1≠x2),有 则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号，因此函 数f(x)在［0，+∞）上是减函数.又f(x)在R上是偶函 数，故f(-2)=f(2),由于3>2>1,故有f(3)<f(-2)<f(1). 答案A

36. 5.函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，且都不是常 数函数，对定义域中任意x，有f(x)+f(-x)=0， g(x)g(-x)=1,且x≠0,g(x)≠1,则F(x)= ( ) A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

37. 解析 由条件知f(-x)=-f(x), 答案B

38. 6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)=1-2-x,则不等式f(x)< 的解集是 （ ） A.(-∞,-1) B.（-∞，-1］ C.（1，+∞） D.［1，+∞）

39. 解析 当x>0时，1-2-x= >0与题意不符， 当x<0时，-x>0，∴f（-x）=1-2x， 又∵f（x）为R上的奇函数， ∴f（-x）=-f（x）， ∴-f（x）=1-2x，∴f（x）=2x-1， ∴f（x）=2x-1< ∴2x< ∴x<-1, ∴不等式 f(x)< 的解集是（-∞，-1）. 答案A

40. 二、填空题 7.已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)- f(-3)=____. 解析 ∵f(x)为奇函数且f(3)-f(2)=1， ∴f(-2)-f(-3)=f(3)-f(2)=1. 1

41. 8.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0，5]时, 函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的 取值集合为______________. 解析 由原函数是奇函数,所以 y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐 标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上 的图象，得它在[-5，0]上的图 象,如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集 合为(-2,0)∪(2,5). (-2,0)∪(2,5)

42. 9.（2009·山东理，16）已知定义在R上的奇函数f(x)9.（2009·山东理，16）已知定义在R上的奇函数f(x) 满足f(x-4)=-f(x)，且在区间［0，2］上是增函数， 若方程f(x)=m(m>0)，在区间［-8,8］上有四个不同 的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________. 解析 因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x), 所以f(4-x)=f(x).因此，函数图象关于直线x=2对称 且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x).又因为f(x) 在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间［-2,0］ 上也是增函数,

43. 如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间［-8，8］上如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间［-8，8］上 有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4.由对称 性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 答案 -8

44. 三、解答题 10.设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3), (1)证明f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区 间上f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数的值域. (1)证明∵x∈[-3,3], ∴f(x)的定义域关于原点对称。 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.

45. (2)解 当x≥0时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2， 当x<0时，f(x)=x2+2x-1 =(x+1)2-2, 即f(x)= (x-1)2-2 (0≤x≤3) (x+1)2-2 (-3≤x<0). 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图.

46. (3)解 函数f(x)的单调区间为 [-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3]. f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数, 在[-1,0),[1,3]上为增函数. (4)解 当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2, 最大值为f(3)=2； 当x<0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2，最大值 为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为［-2，2］.

47. 11.已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时， f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解 ∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 当x>0时，-x<0,由已知f(-x)=xlg(2+x), ∴-f（x）=xlg（2+x）， 即f（x）=-xlg（2+x） （x>0）. ∴f(x)= 即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).

48. 12.已知函数(x≠0,常数a∈R). (1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）若函数f(x)在［2，+∞）上为增函数，求实数a 的取值范围.

49. 解 （1）当a=0时，f（x）=x2对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)， 有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),∴f(x)为偶函数. 当a≠0时，(x≠0,常数a∈R)， 若x=±1，则f(-1)+f(1)=2≠0； ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数； 当a≠0时，f（x)为非奇非偶函数.

50. （2）设2≤x1<x2, 要使函数f(x)在x∈［2,+∞）上为增函数， 必须f(x1)-f(x2)<0恒成立. ∵x1-x2<0,x1x2>4, 即a<x1x2(x1+x2)恒成立. 又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16, ∴a的取值范围是（-∞，16］. 返回