Системи лінійних рівнянь

1. Системи лінійних рівнянь Підготували студенти І курсу 6 групи Атаманенко Олена, Кучер Богдан, Мах Валерія

2. Лінійне рівняння – це рівняння, у якому невідомі величини мають перший степінь і між собою не перемножуються. Система лінійних рівнянь має вигляд:

3. Розв’язок системи – це множина дійсних чисел а1, а2,… аn, підстановка яких у систему замість невідомих х1, х2, …,хn, перетворює кожне рівняння системи у тотожність. Система лінійних алгебраїчних рівнянь, що має хоча б один розв’язок називається сумісною, а система, що не має розв’язку називається несумісною.

4. Метод Крамера– це спосіб розв’язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці. , Він визначається за формулою: – допоміжний визначник, який одержують з основного визначника ∆ (A)шляхом – заміни його k-го стовпця стовпцем вільних членів системи Метод було створено Габріелем Крамером у 1750.

5. Габріель Крамер( 31 липня 1704 – 4 січня 1752) –швейцарський математик, учень і друг Йоганна Бернулі, один з творців лінійної алгебри.

6. Правило Крамера. Якщо основний визначник неоднорідної системи n в лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходять за формулами Де - допоміжний визначник, який одержують з основного визначника Δ(A)шляхом – заміни його k-го стовпця стовпцем членів системи.

7. Приклад. Розв’язуємо за правилом Крамара систему рівнянь Розв’язання. Задана неоднорідна система 3 лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими. Основний визначник цієї системи

8. Тому, згідно з правилом Крамара, задана система має єдиний розв’язок, який знайдемо за формулами Спочатку знайдемо допоміжні визначники:

9. Тепер за цією ж формулою знаходимо: Отже, розв’язком цієї системи буде ( -3;2;1 )

10. Матричний метод то згідно з правилом множення матриць та умовою рівності матриць одержимо запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь Якщо позначити у матричній формі: AX = B Якщо матриця А квадратна порядку nі її визначник ∆ (A) не дорівнює нулю, тоді, існуєобернена до А матрицяА-1 , тому можна рівність АХ=В помножити на А-1зліва. Одержимо А-1Х= А-1В.

11. За означенням оберненої матриці маємо: A-1A=E, Тому А-1Х= А-1В прийме вигляд: ЕХ= A-1B. Але множення матриці-стовпця Х на матрицю Е не змінює Х, тобто ЕХ=Х. Таким чином, одержуємо формулу: Х=А-1В. за якою і знаходять розв’язок системи матричним методом. Отже, матричний метод можна застосувати у випадку, коли квадратна матриця А має не рівний нулю визначник.

12. Для розв’язування неоднорідної системи з n невідомими матричним методом доцільно здійснювати такий порядок дій: 1)Записати основну матрицю системи А і знайти її визначник ∆(А).Якщо ∆(А)=0, то система розв’язку не має. 2)Якщо ∆(А)≠0, тоді знайти обернену матрицю А-1 до матриці А. 3)Помножити обернену матрицю А-1 на матрицю-стовпець вільних членів системи. Одержаний при цьому стовпець згідно з формулою Х=А-1В і буде розв’язкомсистеми.

13. Приклад: знаходимо розвязок заданої системи матричним методом Розв’язання .Основною матрицею заданоїсистемибудуематриця

14. Визначник цієї матриці Для запису оберненої матриці знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці A:

15. Отже, Тепер за формулою знаходимо розв’язок заданої системи:

16. Дякуємо за увагу !