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直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系. P. M. A. O. B. C. 如图， P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点， M ， O 分别是 PD ， AC 的中点，判断 MO 与平面 PAB 的关系 ．. P. F. M. A. D. E. O. B. C. 如图， P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点， M ， K 分别是 PD ， BC 的中点，判断 MK 与平面 PAB 的关系 ．. P. M. E. A. D. B. C. K. D 1. C 1. A 1. B 1. E. D. C. A. B.

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直线与平面的位置关系

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Presentation Transcript

  1. 直线与平面的位置关系

  2. P M A O B C 如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，O分别是PD，AC的中点，判断MO与平面PAB的关系 ． P F M A D E O B C

  3. 如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，K分别是PD，BC的中点，判断MK与平面PAB的关系 ． P M E A D B C K

  4. D1 C1 A1 B1 E D C A B 如图，E为在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱的中点， 求证：BD1 ∥平面ACE. O

  5. 直线和平面平行的判定定理中三个条件缺一不可，体现了化归的数学思想，将线面平行问题转化为线线平行问题直线和平面平行的判定定理中三个条件缺一不可，体现了化归的数学思想，将线面平行问题转化为线线平行问题 线线平行 线面平行

  6. a b 问题：若线面平行，则直线与平面内的直线的位置关系如何？ 无公共点 平行或异面 何时平行？

  7.  如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

  8.  a∥ ∩=b  a∥b a  线面平行线线平行

  9. 例1 若三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条交线平行，那么第三条交线也和它们平行． 变式：若三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交，那么第三条交线必经过前两条直线的交点．

  10. 例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．

  11. D' P C' A' B' D C A B 3.有一块木料如图所示，已知棱BC平行于面A'C'． (1)要经过木料表面A'B'C'D'内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线和平面AC有什么关系？ F E

  12. 4.填空： (1) 过直线外一点，与这条直线平行的平面有_____个. 另：过直线外一点，与这条直线平行的直线有_____个. (2) 过平面外一点，与这个平面平行的直线有_____条.

  13. (3) 过两条异面直线中的一条可作____个平面与另一条直线平行.  a P b a'

  14. (4) 点P是两条异面直线外一点，过点P可作_____个平面与直线都平行.    a b a P P b b' a' a'

  15. 5．若一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内．5．若一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内． a  A c b 

  16. 6．求证：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行．6．求证：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行． a n m B d c A b  

  17. D1 C1 A1 B1 E D C A B 7．如图，E为在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱的中点， 求证：BD1 ∥平面ACE. O

  18. 如图，正方形ABCD和正方形ADEF不共面，MBD，NAE，且AN＝BM，如图，正方形ABCD和正方形ADEF不共面，MBD，NAE，且AN＝BM， 求证：MN//平面CDE． A B F N M Q D P C E

  19. 8 .如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在 B1D1上,点M在BC1上,且C1M=D1N, 求证:MN//平面AA1B1B. D1 C1 N A1 B1 E M D C A B

  20. 9．已知：四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，DM上取一点G，过AP和G作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH． P M D G C H O A B

  21. 直线与平面垂直 问题：将课本竖放在讲台上，指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直．

  22. A a B  直线与平面垂直 （1）一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，称这条直线和这个平面互相垂直． （2） 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，直线和平面的交点称为垂足. 记作：a ．

  23. 思考（1）定义中“任何”两字能否改为“无数”,为什么？思考（1）定义中“任何”两字能否改为“无数”,为什么？

  24. （2）过空间一点有几条直线与已知平面垂直？（2）过空间一点有几条直线与已知平面垂直？ （3）过空间一点有几个平面与已知直线垂直？ 定理： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直； 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

  25. 例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面． （用定义证明） 有没有更方便的判定方法呢？ 因为a ， a∥ b，所以b ． a 思考：拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，折痕和桌面的位置关系如何？ m n 

  26. 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． a 因为am，an，m∩n=A， m ，n ， m A n  所以a． 线线垂直 线面垂直

  27. 证明直线与平面垂直的方法： 1.用定义证明； 2.用判定定理．

  28. 例 P是菱形ABCD外的一点，且PA＝PC，求证 AC 平面PBD. P A D O B C

  29. 判断： 1.若直线l⊥，b,则l⊥b. 2.若直线l∥m，m∥n，l⊥，则n⊥. 3.若am，an，m ，n ，则a⊥. 4. 过点A垂直于直线的所有直线一定在同一平面内 .

  30. 已知直线l ⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l． 求证：APα. 证明：设AP与l确定的平面为β． 若AP α，则设α∩β=AM． ∵ l ⊥α，∴ l ⊥ AM． 又AP⊥ l，于是在平面β内过点A有两条直线垂直于l，这是不可能的． 所以APα． β l M P A 

  31. 问题：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线的位置关系如何？问题：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线的位置关系如何？

  32. a b O  直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 因为a ，b ，所以a∥ b． b'

  33. A a B  若a ， 则点到平面的距离:AB的长度． 面外一点与这个平面内各点的连结而成的线段中，垂直于平面的线段最短.

  34. l  已知：直线l ∥平面． 求证：直线l上的各点到平面的距离相等．  A B A' B' 直线与平面平行，直线上任何一点到平面的距离叫这条直线到平面的距离．

  35. S F G E C D A B 如图，四边形ABCD是正方形，SA 平面 ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB、 SC、SD于E、F、G， 求证：AESB.

  36. A D B C 已知点A是平面BCD外的一点，ABCD, AC BD,求证：AD BC.

  37. A C H B E D 例：四面体ABCD中，AC＝BC，AD＝BD，BE⊥CD于E，AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD．

  38. P Q  平面的斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线就叫做这个平面的斜线.斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段. 平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条.

  39. 斜线在这个平面内的射影：平面外的一点P向平面引斜线和垂线，过垂足D和斜足Q的直线叫做斜线在平面内的射影（正投影）．斜线在这个平面内的射影：平面外的一点P向平面引斜线和垂线，过垂足D和斜足Q的直线叫做斜线在平面内的射影（正投影）． 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在平面内的射影． P D Q 

  40. P D Q  直线与平面相交时，通过什么量来刻画倾斜程度？ 直线与平面所成的角 （1）平面的一条斜线与它在平面内的射线所成的锐角叫这条斜线与平面所成的角； 因为PD⊥α于点D，PQ与平面α相交于点Q，所以∠PQD是PQ与平面α所成的角． 比较∠PQD与∠PQM大小． M

  41. （2）平面的垂线与平面所成的角是直角； （3）直线与平面平行或在平面内，所成的角是0°角．

  42. 例1 　已知AC，AB分别是平面的垂线与斜线，C，B分别是垂足和斜足，n ， 若 n  AB． 若n  CB. 求证：n  CB. 求证： n  AB． A n B C 

  43. P B A C  例2 已知∠ABC在平面内，P ， ∠PAC＝∠PAB． 求证：点P在内的射影在∠ABC的角平分线上．

  44. D1 C1 1 B1 A1 D C A B 例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求 (1)A1D与平面ABCD所成的角； (2)A1C与平面ABCD所成的角的正弦； (3)A1B与平面A1B1CD所成的角的余弦．

  45. S S F F E E C C D D A A B B 如图，四边形ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于Ｅ，EF⊥SC于F， 求证：（1）AE⊥BC；（2）AF⊥SC．

  46. 已知ΔABC中，AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，平面外一点P到三个顶点的距离都为13，求P到平面ABC的距离．已知ΔABC中，AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，平面外一点P到三个顶点的距离都为13，求P到平面ABC的距离．

  47. 若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是三角形ABC的心．若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是三角形ABC的心． 若PA，PB，PC两两互相垂直，则点P在平面 ABC内的射影是三角形ABC的心．

  48. 若PA，PB，PC每两条的夹角是60 ° ，求 PC与平面PAB所成角的余弦值．

  49. 设a，b是异面直线，它们所成的角时80°． (1)过空间一点P作直线l，使l与a，b所成都是60°,这样的直线有几条？ (2)过空间一点P作直线l，使l与a，b所成都是50°,这样的直线有几条？ (3)过空间一点P作直线l，使l与a，b所成都是45°,这样的直线有几条？ (4)过空间一点P作直线l，使l与a，b所成都是40°,这样的直线有几条？ (5)过空间一点P作直线l，使l与a，b所成都是35°,这样的直线有几条？

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