9 장 . IIR 디지털필터의 설계

1. 9장. IIR 디지털필터의 설계 9.1 IIR 디지털필터의 개요 9.2 아날로그필터 설계 9.3 간접 설계 9.4 직접 설계 9.5 IIR 디지털필터의 구성 Circuits & Systems Lab.

2. 9.1 IIR 디지털필터의 개요 • 입출력관계 (9-1) • 전달함수 (9-2) 분모다항식이 존재하므로 필터의 안정성이 문제된다 => 극이 항상 z평면상의 단위원내에 오도록 설계 Circuits & Systems Lab.

3. 9.1 IIR 디지털필터의 개요 • 전달함수 결정 • 간접설계(indirect design) -. 회로망이론에서 취급하는 아날로그필터 설계이론을 이용 -. H(s)를 구한 후 s-z 변환법을 이용하여 H(z)를 구한다 -. s-z 변환법 : impulse invariant design, bilinear z transform • 직접설계(direct design) -. magnitude squared function를 이용 -. H(s)를 거치지 않고 처음부터 디지털 영역인 z영역상에서 H(z)를 구한다 Circuits & Systems Lab.

4. Butterworth lowpass filter 1) 버터워스 필터의 특성 : 진폭특성이 통과역에서는 거의 평탄하고(맥동이 존재하지 않고) 차단주파수를 지나면 감소 는 N차 함수 는 차단주파수 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) (9-3) Circuits & Systems Lab.

5. (9-4) ① , 직류 이득은 1이고 0[dB]이다. ② 로 되는 주파수, 즉 를 차단주파수라 한다. ③ ④ 가 커지면(높은 주파수), 는 단조로운 감소특성을 보인다. ⑤ 가 적어지면(낮은 주파수), 식 (9.4)를 Taylor 급수로 전개하면 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) Circuits & Systems Lab.

6. 로 되어 직류점 에서 도함수를 계산하면 다음과 같이 된다. 따라서 버터워스 필터의 특징은 2N-1차까지 도함수가 모두 0이다 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) Circuits & Systems Lab.

7. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 그림 9.1 버터워스 특성 Circuits & Systems Lab.

8. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 2) 버터워스 필터의 극 전달함수 가 복소수일 경우 이때, 를 대입하여 변형하면 이 때 분모다항식의 근, 즉 필터의 극 는 s평면의 단위원상에서 등간격으로 배치되고 그 위상은 다음과 같이 주어진다. (9-5) Circuits & Systems Lab.

9. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) • 안정된 버터워스 필터를 얻기 위해서는 식 (9.5)의 극배치에서 s평면의 좌반평면에 있는 것을 선택 • N=3차의 경우 차수가 홀수이므로 식 (9.5)의 위의 식을 택하면 된다. Circuits & Systems Lab.

10. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 따라서 다음과 같이 좌반평면에 있는 극를 택하면 된다. 이 때, 전달함수는 다음과 같이 주어진다. Circuits & Systems Lab.

11. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) • 버터워스 필터 전달함수의 일반식 [N이 짝수일 경우] (9-6) [N이 홀수일 경우] (9-7) Circuits & Systems Lab.

12. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) [N이 짝수일 경우] (9-8) [N이 홀수일 경우] (9-9) Circuits & Systems Lab.

13. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 2) 버터워스 저역통과 필터의 설계법 저지역 통과역 그림 9.2 설계 스펙 Circuits & Systems Lab.

14. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 통과역 : 저지역 : (9-10) (9-11) 으로 되지만 에서 각각 등식의 조건이 성립하면 설계스펙을 만족한다. 따라서 식 (9.10)과 (9.11)은 통과역 : 저지역 : 로 된다. 식 (9.3)을 이용하여 위의 식을 변형하면 통과역 : 저지역 : (9-12) (9-13) Circuits & Systems Lab.

15. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 로 된다. 식 (9.12)와 (9.13)을 N과 의 연립방정식으로 보고 식 (9.13)을 (9.12)로 나누면 (9-14) 로 된다. 대수를 취하면 차수 N은 다음 식과 같이 주어진다. (9-15) 한편 차단주파수 는 차수 N을 식 (9.12)와 (9.13)에 대입하면 (9-16) (9-17) Circuits & Systems Lab.

16. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 그림 9.3 차단주파수의 결정 (9-18) Circuits & Systems Lab.

17. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) • 버터워스 저역통과 필터의 설계 순서 step 1 : 필터의 스펙이 주어진다. 즉, 이 주어진다. step 2 : 식 (9.15)로부터 차수 N을 구한다. 이 때의 값이 정수로 되지 않을 경우에는 그 값 보다 큰 값의 정수를 차수로 한다. step 3 : 식 (9.18)로부터 차단주파수 를 선택한다. step 4 : 식 (9.8) 혹은 식 (9.9)로부터 필터의 전달함수 H(s)를 구한다. Circuits & Systems Lab.

18. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) <예제 9.1> 다음과 같은 스펙을 만족하는 버터워스 필터를 설계하라 [풀이]우선, 주파수 을 각주파수 로 표현하면 로 된다. 따라서 식(9.15)로부터 차수 N을 구하면, 로 되어 차수 N은 5차로 하면 된다. 그리고 식(9.16) 및 식 (9.17)로부터 로 되기 때문에 식(9.18)을 만족하는 값으로 로 하면 버터워스 필터의 전달함수 는 다음과 같이 주어진다 Circuits & Systems Lab.

19. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 2. Chebyshev lowpass filter 그림 9.4 각종 체브체프 특성 (a) 체브체프 특성(체브체프 I 형) (b) 역체브체프 특성(체브체프 II형) (c) 연립체브체프 특성 Circuits & Systems Lab.

20. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 1) 체브체프 필터의 특성 : 통과 대역의 진폭특성이 약간의 맥동이 있지만 비교적 평탄한 특성을 갖고 같은 차수의 경우 버터워스 필터보다 급준한 차단 특성을 가진다 (9-19) 은 통과대역내의 진폭손실이고 는 정규화 되어있음 Circuits & Systems Lab.

21. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) • 체브체프 함수 는 다음과 같이 주어진다 (9-20) 단, 구체적으로는 Circuits & Systems Lab.

22. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 그림 9.5 체브체프 다항식 Circuits & Systems Lab.

23. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) • 통과역에서는 일 때, 이므로 (9-21) • 저지역에서는 (9-22) 따라서 식 (9.22)에 식 (9.20)의 아래 식과 식 (9.21)을 각각 대입하면 로 되어 와 같이 주어지고, 이식을 차수 N에 대하여 정리하면 (9-23) 식 (9.23)의 값은 일반적으로 정수가 되지 않기 때문에 큰 쪽의 정수값을 N으로 한다. Circuits & Systems Lab.

24. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) • 체브체프 필터의 극 식(9.19)에서 를 대입하여 변형하면 (9-24) 위 식에서 분모를 0이라고 하면 의 경우를 고려하면 식(9.20)으로부터 분모는 다음과 같이 된다. 이 때 로 두고 로 하면 로 된다. (9-25) Circuits & Systems Lab.

25. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 따라서 로 되어 는 (9-26) 로 표시된다. 그리고 식(9.25)로부터 로 된다. 위의 식으로부터 로 주어진다 이 때 또는 이므로 로 된다. Circuits & Systems Lab.

26. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 따라서 (9-27) 로 된다. 그리고 이므로 다음과 같이 주어진다 (9-28) 식(9.26), (9.27) 및 식(9.28)로부터 극배치를 표시하는 실수부 와 허수부 는 각각 다음과 같이 주어진다 (9-29) 따라서 극배치는 N과 이 주어지면 결정된다 Circuits & Systems Lab.

27. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 그런데 이므로 식(9.28)과 (9.29)에 의해 (9-30) 안정된체브체프필터를 얻기 위해서는 s평면의 좌반 평면에 있는 것을 선택 그림 9.6 체브체프 필터의 극배치 Circuits & Systems Lab.

28. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) <예제 9.2> 체브체프 저역필터에서 필터의 차수 N=3차이고, 인 경우의 전달함수를 구하라 [풀이]로 주어지므로 로 된다 식(9.29)를 이용하면 s평면에서의 극배치를 구할 수 있다. 그 결과 6개의 극이 구해지는데 s평면의 좌반 평면에 있는 극을 선택하면 로 되기 때문에 전달함수는 Circuits & Systems Lab.

29. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 2) 역체브체프 필터의 특성 : 통과 대역에서는 맥동을 가지지 않고 저지역에서 맥동을 갖는다 Step 1 [체브체프 진폭특성에서 양변을 제곱] Step 2 [위의 식을 1에서 뺀다] Step 3 [ 를 로 치환] (9-32) Circuits & Systems Lab.

30. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 그림 9.7 역체브체프 필터 특성 Circuits & Systems Lab.

31. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) • 버터워스, 체브체프, 역체브체프의 특성 비교 • 버터워스 특성 : (직류) 부근의 주파수에서 이상특성과의 • 오차를 가능한 적게 할 목적으로 유도 • 체브체프 특성 : 통과대역 전체에 걸쳐서 이상특성과의 오차를 • 거의 동일하게 되도록 분배해서 천이역을 좁혀 • 급준한 차단특성을 갖도록 하였다 • => 버터워스 필터보다 통과역의 특성이 많이 • 개선되지만 저지역의 특성은 별로 차이가 없다 • 역체브체프 특성 : 저지역에 맥동을 갖도록하여 감쇠량을 동일하게 • 하고 통과역에서는 최대평탄으로 되어 버터워스 • 특성보다 급준한 경사를 가지는 것이 특징이다 Circuits & Systems Lab.

32. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 3) 연립체브체프 필터(타원필터) : 통과역과 저지역에 다같이 맥동을 두어 두 대역의 특성을 모두 개선 예) 저역필터 설계스펙이 다음과 같다면 버터워스 필터 : N=17차 체브체프 필터 : N=8차 역체브체프 필터 : N=8차 연립체브체프 필터 : N=5차 그림 9.8 연립체브체프 필터 특성 Circuits & Systems Lab.

33. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 3. Bessel lowpass filter : 위상특성에 역점을 둠으로써 통과영역에서 주파수에 대하여 위상이 직선적으로 변한다 즉, 지연특성이 평탄 베쎌 필터의 전달함수 단, 여기서, B(s)는 베쎌 다항식이다 Circuits & Systems Lab.

34. 9.3 간접 설계 H(s) : 아날로그 필터의 전달함수 s-z 변환법 (임펄스 불변법, 쌍 1차 z변환법) H(z) : 디지털 필터의 전달함수 Circuits & Systems Lab.

35. 9.3 간접 설계 (impulse invariant design) 1. Impulse invariant design 프로토타입 필터의 임펄스응답 h(t)의 샘플값을 구하고자 하는 디지털필터의 임펄스응답 h(nT) 와 동일하게 하도록 한다. 즉, 로 한다 이와 같이 t=nT의 시점(표본화 시점)에서 임펄스응답을 동일하게한다는 의미에서 이 설계법을 임펄스 불변법이라고 부른다 Circuits & Systems Lab.

36. 9.3 간접 설계 (impulse invariant design) 아날로그필터의 전달함수가 와 같이 주어질 때 임펄스응답은 라플라스 역변환에 의해 로 된다. 따라서 구하고자 하는 디지털필터의 임펄스응답은 로 주어지고 Z 변환하면 Circuits & Systems Lab.

37. 9.3 간접 설계 (impulse invariant design) • 임펄스 불변법을 이용한 s-z 변환순서 Step 1 : 먼저 H(s)를 부분분수로 전개하여 임펄스응답 h(t)를 구한다 Step 2 : 주기 T로 표본화한다 Step 3 : 표본화된 임펄스응답 h(nT)를 z변환 한다 Circuits & Systems Lab.

38. 9.3 간접 설계 (impulse invariant design) • 연속신호 h(t)가 로 대역제한되어 있을 경우, 즉 가 성립할 경우 => 아날로그필터와 디지털필터의 주파수특성은 일치 • 연속신호 h(t)가 로 대역제한되어 있지 않은 경우 => 에일리어싱이 발생 따라서 이 변환법은 대역이 제한된 필터, 예를 들면 협대역(narrow band) 저역필터의 설계에는 이용되지만 고역이나 대역저지 필터의 설계에는 적당하지 않다. 광대역필터(wide band filter)를 설계하고자 하는 경우는 다음에 설명하는 쌍 1차 z변환법이 적당하다. Circuits & Systems Lab.

39. 9.3 간접 설계 (impulse invariant design) <예제 9.3> 다음과 같은 전달함수로 주어지는 아날로그 프로토타입 필터에 대응하는 디지털필터의 전달함수 H(z)를 임펄스 불변법을 이용하여 구하라 [풀이] 따라서 임펄스 불변법을 이용하면 다음과 같이 주어진다 Circuits & Systems Lab.

40. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) 2. Bilinear z transform 아날로그필터와 디지털필터에서 사용되는 주파수를 구별하는 의미에서 복소변수 s를 로 쓰고, 를 아날로그필터의 각주파수라고 하자. 또한 요구되는 디지털필터에 대해서 (9-35) 이것은 프로토타입 필터의 복소변수 를 의 쌍곡선함수로 치환하는 것을 표시하는 것으로 위의 식에 를 대입하면 (9-36) => 아날로그필터와 디지털필터의 주파수 관계를 나타냄 Circuits & Systems Lab.

41. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) 그림 9.9 아날로그필터와 디지털필터의 주파수 관계 • 아날로그필터의 주파수 가 라고 해도 대응하는 디지털 필터 는 로 제한된다 Circuits & Systems Lab.

42. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) 식(9.35)는 이므로 를 대입하면 (9-37) : 쌍 1차 변환(bilinear transform) 이와 같이 쌍 1차 변환에서는 로 변환하는 것에 의해, 아날로그필터가 대역제한되어 있지 않아도 일단 이내의 주파수로 변환한 후에 z변환을 적용함으로 에일리어싱 오차는 발생하지 않는다. Circuits & Systems Lab.

43. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) • 왜곡효과(warping effect) : 아날로그필터의 주파수 의 눈금이 등간격일 때도 이에 대응하는 의 눈금에는 왜곡을 가져오는 현상 => 사전왜곡 과정의 도입으로 제거 가능 • 사전왜곡(prewarping) 과정 아날로그필터의 통과역 및 저지역의 단부(edge) 주파수를 , 이에 대응하는 디지털필터의 단부주파수를 라 하면 식 (9.36)에 의하여 (9-38) 만약, 디지털필터에서 원하는 통과역 및 저지역의 단부주파수를 라 하면 이에 대응하는 아날로그필터의 단부주파수 가 다음 관계를 만족하도록 아날로그필터를 설계하여야 한다. (9-39) Circuits & Systems Lab.

44. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) <예제9.4> 다음과 같은 스펙을 만족하고 체브체프 특성을 갖는 저역 디지털필터를 설계하라 그림 9.10 설계 스펙 Circuits & Systems Lab.

45. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) [풀이]우선 디지털필터의 스펙에 대응하는 아날로그필터를 설계해야 한다. 식 (9.36)에 대입하면 이와 같은 스펙을 만족하는 아날로그필터의 최소 차수를 식 (9.23)으로부터 구하면 N=2차로 된다. 따라서 극배치에 의해 아날로그필터의 전달함수 H(s)는 로 주어진다 Circuits & Systems Lab.

46. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) 다음으로 쌍 1차 z 변환, 즉 을 적용하면 디지털필터의 전달함수 H(z)는 그림 9.11 쌍 1차 z 변환에 의한 설계 Circuits & Systems Lab.

47. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) • 쌍 1차 z변환법을 이용한 s-z 변환순서 Step 1 : 디지털필터의 스펙이 주어진다 Step 2 : 식(9.36)에 의해 대응하는 아날로그필터 스펙으로 고친다 Step 3 : 버터워스 특성 혹은 체브체프 특성의 아날로그필터를 설계 한다 즉, 전달함수 H(s)를 구한다 Step 4 : 식(9.37)에 의해 디지털필터 전달함수 H(z)를 구한다 Circuits & Systems Lab.

48. 9.3 간접 설계 (주파수 변환) 3. 주파수 변환 Step 1 : 디지털필터 스펙을 이용하여 적합한 저역필터를 결정. Step 2 : 사전왜곡을 과정을 고려하여 디지털필터의 한계주파수를 결정. 저역필터/고역필터의 한계주파수는 band edge 혹은 차단주파수. 대역통/대역저지의 경우에는 하한주파수와 상한주파수. Step 3 : 요구되는 필터에 따라 다음 변환 중 한 개를 이용하여 전달함수 H(s)에서 s를 다음식으로 치환한다 저역 => 저역 저역 => 고역 저역 => 대역통과 단, 저역 => 대역저지 Step 4 : 새로운 전달함수 H(s)를 쌍 1차 z변환법을 이용하여 H(z)을 구한다 Circuits & Systems Lab.

49. 9.3 간접 설계 (주파수 변환) <예제 9.5> 2차 버터워스 저역필터에 기초를 두고 아래의 설계스펙을 만족하는 디지털필터의 전달함수 H(z)을 구하라. 단, 쌍 1차 z 변환법을 사용한다. [풀이]프로토타입 필터의 규격화 저역필터는 다음과 같이 주어진다 이 때 아날로그필터의 차단주파수는 (저역 => 저역) (쌍 1차 z 변환 적용) Circuits & Systems Lab.

50. 9.4 직접 설계 • 일반적으로 디지털필터의 전달함수는 유리함수로 표현되고, 진폭자승함수는 삼각함수를 변수로 하는 유리함수로 된다. • 이 때 디지털필터의 임펄스 응답이나 전달함수 혹은 주파수특성이 어떠한 조건에서는 희망특성을 실현하기 좋은 형태로 되는 것을 이용하여 디지털필터의 전달함수를 직접 근사할 수 있다. • 직접근사란 디지털필터의 전달함수 H(z)을 z의 함수로 필터의 계수를 직접 계산하는 것을 의미 Circuits & Systems Lab.