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Inferenz in Prädikatenlogik

Inferenz in Prädikatenlogik. Überblick. Reduktion prädikatenlogischer (PL) Inferenz auf aussagenlogische (AL) Inferenz Generalisierter Modus Ponens Unifikation Vorwärtsverkettung Rückwärtsverkettung Resolution. Universelle Instantiierung (UI).

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Inferenz in Prädikatenlogik

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  1. Inferenz in Prädikatenlogik

  2. Überblick • Reduktion prädikatenlogischer (PL) Inferenz auf aussagenlogische (AL) Inferenz • Generalisierter Modus Ponens • Unifikation • Vorwärtsverkettung • Rückwärtsverkettung • Resolution KI 9-Inferenz in PL

  3. Universelle Instantiierung (UI) • Aus einem universell quantifizierten Satz folgen alle seine Instantiierungen: vαSubst({v/g}, α) für jede Variable v und jeden Grundterm g (Grundterm = Term ohne Variablen). • Z.B. Aus  x König(x) Gierig(x)  Böse(x) folgt: König(John) Gierig(John) Böse(John) König(Richard) Gierig(Richard)  Böse(Richard) König(Vater(John)) Gierig(Vater(John)) Böse(Vater(John)) … KI 9-Inferenz in PL

  4. Existentielle Instantiierung (EI) • Für jeden Satz α, jede Variable v, und jedes Konstantensymbol k, das nicht an anderer Stelle in der WB auftritt, gilt:  vα Subst({v/k}, α) •  vα heißt, dass es ein v gibt, das α erfüllt. Diesem v kann man einen Namen geben, der noch nicht in der WB vorkommt. • Z.B.  xKrone(x) AufKopf(x,John) ergibt: Krone(C1) AufKopf(C1,John) wobei C1 eine neues Konstantensymbol ist, genannt Skolem-Konstante. KI 9-Inferenz in PL

  5. Existentielle Instantiierung (EI) • Beachte: UI wird mehrmals angewendet, EI nur einmal. • Danach wird existentiell quantifizierter Satz aus WB entfernt. • Bsp.: • WB enthält:  x Ehefrau(x, Paul) • Füge EI zu WB hinzu: Ehefrau(Anne, Paul). • Entferne Satz  x Ehefrau(x, Paul) aus WB. • Neue WB ist nicht logisch äquivalent zur alten, denn diese hätte z.B. Ehefrau(Petra, Paul) zugelassen (vorausgesetzt Petra kommt nicht in WB vor). • Neue WB ist aber inferentiell äquivalent zu alter WB. KI 9-Inferenz in PL

  6. Reduktion auf aussagenlogische Inferenz • Idee: Wir sparen uns Inferenzmechanismen für PL, reduzieren einfach auf AL und verwenden die bekannten! • Bsp.: WB enthält nur die folgenden Sätze:  x König(x)  Gierig(x)  Böse(x) König(John) Gierig(John) Bruder(Richard,John) • Instantiiere (UI) ersten Satz mit allen möglichen Substitutionen, erhalte neue WB: König(John)  Gierig(John)  Böse(John) König(Richard)  Gierig(Richard)  Böse(Richard) König(John) Gierig(John) Bruder(Richard,John) • Betrachte atomare Sätze Gierig(John) etc. als Aussagensymbole. • Neue WB ist damit rein aussagenlogisch.

  7. Reduktion • Jede PL-WB kann so in eine aussagenlogische WB umgewandelt werden, dass die logische Konsequenz erhalten bleibt. • Problem: Für Funktionssymbole gibt es unendlich viele Grundterme, z.B. Vater(Vater(Vater(John))) KI 9-Inferenz in PL

  8. Reduktion Theorem (Herbrand, 1930): Wenn ein Satz α Konsequenz einer PL-WB ist, ist er Konsequenz einer endlichen Untermenge der aussagenlogischen WB. Idee: For n = 0 to ∞ do Erzeuge aussagenlogische WB durch Instantiierung mit Termen der Tiefe n. Prüfe ob α Konsequenz dieser WB ist. Problem: Klappt, falls α aus WB folgt; Schleife falls α nicht folgt ! Theorem (Turing,1936; Church, 1936): Konsequenz ist für PL semientscheidbar: • Es gibt Algorithmen, die jeden aus der WB beweisbaren Satz beweisen. • Aber es gibt keine Algorithmen, die beweisen, dass ein Satz nicht Konsequenz der WB ist. • Bekannt als Halteproblem der Turing-Maschine!

  9. Probleme der Umwandlung in AL • Umwandlung von PL nach AL generiert viele irrelevante Sätze. • Bsp.  x König(x)  Gierig(x)  Böse(x) König(John)  y Gierig(y) Bruder(Richard,John) Es ist offensichtlich Böse(John), aber Umwandlung in AL produziert zahlreiche irrelevante Fakten wie Gierig(Richard). • Mit p k-stelligen Prädikaten und n Konstanten, gibt es p·nk Instantiierungen. • Suche „Lifting“ der AL-Inferenzregeln zur PL-Tauglichkeit. KI 9-Inferenz in PL

  10. Unifikation • WB:  x König(x)  Gierig(x)  Böse(x) König(John) Gierig(Richard) Gierig(John) • Folgere Böse(John): • Idee: Suche x, so dass König(x) und Gierig(x), folgere Böse(John). • Formal: Suche Substitutionθ: {x / John}. • Andere WB:  x König(x)  Gierig(x)  Böse(x) König(John) • y Gierig(y) • Folgere Böse(John):  Suche Substitution für zwei Variable: {x / John, y / John}. KI 9-Inferenz in PL

  11. Unifikation • Böse(John) kann direkt inferiert werden, wenn wir eine Substitution θ finden, so dass König(x) und Gierig(x) zu König(John) und Gierig(y) passen. θ = {x/John, y/John} funktioniert. • Ersetzungsprozess heißt Unifikation. • Suche Unifikationsalgorithmus: Unify(p,q) = θ wenn pθ = qθ. Beispiele: p q θ Kennt(John,x) Kennt(John,Jane) {x / Jane} Kennt(John,x) Kennt(y,Richard) {x / Richard, y / John} Kennt(John,x) Kennt(y,Mutter(y)) {y / John, x / Mutter(John)} Kennt(John,x) Kennt(x,Richard) { } KI 9-Inferenz in PL

  12. Unifikation Problem: p q θ Kennt(John,x) Kennt(x,Richard) { } • Offenbar entsteht das Problem durch ungünstige Variablen-Benennung. • Standardisierung eliminiert Konflikt der Variablen, z.B. Kennt(z,Richard). KI 9-Inferenz in PL

  13. Allgemeinster Unifikator • Kennt(John,x) und Kennt(y,z) kann auf verschiedene Arten substituiert werden: • θ = {y/John, x/z }, Ergebnis: Kennt(John,z), Kennt(John,z) • θ = {x/John, y/John, z/John}, Ergebnis: Kennt(John,John), Kennt(John,John) • Der erste Unifikator ist allgemeiner als der zweite. • Es gibt für jedes Paar von Ausdrücken nur einen allgemeinsten Unifikator (MGU, most general unifier) der eindeutig ist (bis auf Umbenennung von Variablen). MGU = { y/John, x/z } KI 9-Inferenz in PL

  14. Unifikationsalgorithmus • Unify(x,y,θ) • Vergleicht x und y stückweise • Parallel wird Unifikator θ aufgebaut • Problem: Vergleich einer Variablen var mit komplexem Term x • Occur-Check löst Problem durch Test, ob var in x vorkommt. Wenn ja, failure. KI 9-Inferenz in PL

  15. Unifikationsalgorithmus KI 9-Inferenz in PL

  16. Unifikationsalgorithmus KI 9-Inferenz in PL

  17. Generalisierter Modus Ponens (GMP) Modus Ponens der AL: p1 , p2 , … , pn , ( p1 p2 …  pn q) q KI 9-Inferenz in PL

  18. Generalisierter Modus Ponens (GMP) Allgemein: p1', p2', … , pn', ( p1 p2 …  pn q) qθ wobei pi'θ = piθ für alle i KI 9-Inferenz in PL

  19. Generalisierter Modus Ponens (GMP) Allgemein: p1', p2', … , pn', ( p1 p2 …  pn q) qθ p1' ist König(John) p1 ist König(x) p2' ist Gierig(y) p2 ist Gierig(x) θ ist {x/John,y/John} q ist Böse(x) q θ ist Böse(John) • GMP wird verwendet für WB mit definiten Klauseln (genau ein positives Literal). • Es wird angenommen, dass alle Variablen universell quantifiziert sind. wobei pi'θ = piθ für alle i KI 9-Inferenz in PL

  20. Definite Klauseln erster Stufe • Disjunktion von Literalen, wobei genau eins positiv ist, bzw. • Implikation der Form (Konjunktion positiver Literale)  positives Literal • Unterschied zu AL: Literale dürfen Variable enthalten, • diese sind implizit universell quantifiziert. KI 9-Inferenz in PL

  21. Beispiel • WB: • Gesetz: Jeder Amerikaner, der Waffen an feindliche Nationen verkauft, ist ein Verbrecher. • Das Land Nono gehört zu den Feinden Amerikas, … • … und hat Raketen. • Alle Raketen des Landes Nono wurden von Colonel West verkauft, ... • … der Amerikaner ist. • Beweise, dass Col. West ein Verbrecher ist! KI 9-Inferenz in PL

  22. Beispiel Jeder Amerikaner, der Waffen an feindliche Nationen verkauft, ist ein Verbrecher: Amerikaner(x)  Waffe(y)  Verkauft(x,y,z)  Feindlich(z)  Verbrecher(x) Das Land Nono gehört zu den Feinden Amerikas … Feind(Nono,Amerika) … und hat Raketen: x Hat(Nono,x)Rakete(x):Hat(Nono,R1)  Rakete(R1) Alle Raketen des Landes Nono wurden von Colonel West verkauft, ... Rakete(x)  Hat(Nono,x)  Verkauft(West,x,Nono) … der Amerikaner ist. Amerikaner(West) KI 9-Inferenz in PL

  23. Beispiel Jeder Amerikaner, der Waffen an feindliche Nationen verkauft, ist ein Verbrecher: Amerikaner(x)  Waffe(y)  Verkauft(x,y,z)  Feindlich(z)  Verbrecher(x) Das Land Nono gehört zu den Feinden Amerikas … Feind(Nono,Amerika) … und hat Raketen: x Hat(Nono,x)Rakete(x):Hat(Nono,R1)  Rakete(R1) Alle Raketen des Landes Nono wurden von Colonel West verkauft, ... Rakete(x)  Hat(Nono,x)  Verkauft(West,x,Nono) … der Amerikaner ist. Amerikaner(West) Was fehlt ?? KI 9-Inferenz in PL

  24. Beispiel Jeder Amerikaner, der Waffen an feindliche Nationen verkauft, ist ein Verbrecher: Amerikaner(x)  Waffe(y)  Verkauft(x,y,z)  Feindlich(z)  Verbrecher(x) Das Land Nono gehört zu den Feinden Amerikas … Feind(Nono,Amerika) … und hat Raketen: x Hat(Nono,x)Rakete(x):Hat(Nono,R1)  Rakete(R1) Alle Raketen des Landes Nono wurden von Colonel West verkauft, ... Rakete(x)  Hat(Nono,x)  Verkauft(West,x,Nono) … der Amerikaner ist. Amerikaner(West) Ein Feind von Amerika ist feindlich: Feind(x,Amerika)  Feindlich(x) Raketen sind Waffen: Rakete(x)  Waffe(x) KI 9-Inferenz in PL

  25. Vorwärtsverkettung: Algorithmus • Gegeben: WB in Form definiter Klauseln • Idee: Verwende Vorwärtsverkettung, um nacheinander passende Ersetzung(en) zu finden, so dass aus bekannten Fakten neue abgeleitet werden können. • Prinzip: • Sammle alle bekannten Fakten. • Alle Regeln ausführen, deren Prämissen erfüllt sind. • Schlüsse den bekannten Fakten hinzufügen. • Falls zu beweisender Satz dabei: Erfolg, Ende. • Falls keine neuen Fakten: Failure, Ende. • Goto 2. KI 9-Inferenz in PL

  26. Vorwärtsverkettung: Algorithmus KI 9-Inferenz in PL

  27. WB des Beispiels • Amerikaner(x)  Waffe(y)  Verkauft(x,y,z)  Feindlich(z)  Verbrecher(x) • Feind(Nono,Amerika) • Hat(Nono,R1)  Rakete(R1) • Rakete(x)  Hat(Nono,x)  Verkauft(West,x,Nono) • Amerikaner(West) • Feind(x,Amerika)  Feindlich(x) • Rakete(x)  Waffe(x) KI 9-Inferenz in PL

  28. WB des Beispiels • Amerikaner(x)  Waffe(y)  Verkauft(x,y,z)  Feindlich(z)  Verbrecher(x) • Feind(Nono,Amerika) • Hat(Nono,R1)Rakete(R1) • Rakete(x)  Hat(Nono,x)  Verkauft(West,x,Nono) • Amerikaner(West) • Feind(x,Amerika)  Feindlich(x) • Rakete(x)  Waffe(x) KI 9-Inferenz in PL

  29. Vorwärtsverkettung Beispiel KI 9-Inferenz in PL

  30. WB des Beispiels • Amerikaner(x)  Waffe(y)  Verkauft(x,y,z)  Feindlich(z)  Verbrecher(x) • Feind(Nono,Amerika) • Hat(Nono,R1)Rakete(R1) • Rakete(x)  Hat(Nono,x) Verkauft(West,x,Nono) • Amerikaner(West) • Feind(x,Amerika) Feindlich(x) • Rakete(x) Waffe(x) KI 9-Inferenz in PL

  31. Vorwärtsverkettung Beispiel KI 9-Inferenz in PL

  32. Vorwärtsverkettung Beispiel KI 9-Inferenz in PL

  33. WB des Beispiels • Amerikaner(x)  Waffe(y)  Verkauft(x,y,z)  Feindlich(z) Verbrecher(x) • Feind(Nono,Amerika) • Hat(Nono,R1)Rakete(R1) • Rakete(x)  Hat(Nono,x) Verkauft(West,x,Nono) • Amerikaner(West) • Feind(x,Amerika) Feindlich(x) • Rakete(x) Waffe(x) KI 9-Inferenz in PL

  34. Vorwärtsverkettung Beispiel KI 9-Inferenz in PL

  35. Eigenschaften der Vorwärtsverkettung • Korrekt und vollständig für definite Klauseln 1. Stufe. • Datalog • Datenbank-Programmiersprache • Definite Klauseln 1. Stufe, aber keine Funktionen • Keine Anwendungen • Vorwärtsverkettung terminiert für Datalog nach endlicher Zahl von Iterationen. • Terminiert u.U. nicht, falls α keine Konsequenz ist, denn • Konsequenz ist für definite Klauseln nur halbentscheidbar. KI 9-Inferenz in PL

  36. Effiziente Vorwärtsverkettung: Beschränkung der Regelkomplexität • Problem: Reihenfolge bei Auswertung von Konjunkten • Bsp.: Rakete(x)  Hat(Nono,x)  Verkauft(West,x,Nono) • Teste für alle Raketen, ob Nono sie besitzt; oder: • Teste für alle Objekte, die Nono sie besitzt, ob sie Raketen sind. Reihenfolge 1 besser, falls es weniger Raketen gibt, als Nono Objekte besitzt. • Ermittlung optimaler Reihenfolge NP-hart. • Abhilfe: • Heuristiken wie most constrained variable • Beschränkung der Länge der Regeln und Stelligkeit der Prädikate. KI 9-Inferenz in PL

  37. Effiziente Vorwärtsverkettung: Inkrementelle Vorwärtsverkettung • Problem: Regeln werden wiederholt verglichen. • Idee: „Inkrementelle Vorwärtsverkettung“ • Bei Iteration k muss eine Regel nicht verglichen werden, wenn nicht eine ihrer Prämissen bei Iteration k-1 hinzugefügt wurde. KI 9-Inferenz in PL

  38. Rückwärtsverkettung: Algorithmus SUBST(COMPOSE(θ1, θ2), p) = SUBST(θ2, SUBST(θ1, p)) KI 9-Inferenz in PL

  39. Rückwärtsverkettung: Beispiel KI 9-Inferenz in PL

  40. Rückwärtsverkettung: Beispiel KI 9-Inferenz in PL

  41. Rückwärtsverkettung: Beispiel KI 9-Inferenz in PL

  42. Rückwärtsverkettung: Beispiel KI 9-Inferenz in PL

  43. Rückwärtsverkettung: Beispiel KI 9-Inferenz in PL

  44. Rückwärtsverkettung: Beispiel KI 9-Inferenz in PL

  45. Rückwärtsverkettung: Beispiel KI 9-Inferenz in PL

  46. Eigenschaften der Rückwärtsverkettung • Tiefensuche zum Beweis eines Satzes: Speicherbedarf linear in Beweisgröße • Unvollständig, da u.U. Endlosschleifen: • Abhilfe: Vergleiche gegenwärtiges Ziel mit allen Zielen auf Stack. • Ineffizient, da Wiederholung der Teilziele (sowohl bei Erfolg als auch failure) • Abhilfe: Caching früherer Resultate. • Weit verbreitet für Logikprogrammierung. KI 9-Inferenz in PL

  47. Logikprogrammierung: Prolog • Programming in Logic • Weit verbreitet in Europa und Japan (Basis des 5th Generation Project) • Programm = Menge von Hornklauseln = Kopf :- Literal1, … Literaln. Verbrecher(X) :- Amerikaner(X), Waffe(Y), Verkauft(X,Y,Z), Feindlich(Z). • Anfragen an die WB werden durch Tiefensuche und links-nach-rechts Rückwärtsverkettung beantwortet. • Eingebaute Prädikate für Arithmetik etc., z.B. X is Y*Z+3 • Eingebaute Prädikate mit Nebeneffekten (z.B. Eingabe- und Ausgabe-Prädikate, assert/retract zur Veränderung der WB) • Closed-world assumption: Alles, was nicht als wahr deklariert ist oder bewiesen werden kann, ist falsch (Gegensatz zu PL!). KI 9-Inferenz in PL

  48. Prolog • Da Kontrolle durch Schleifen (for, while etc.) fehlt, werden Schleifen durch Rekursion auf Listen programmiert. • Verkettung zweier Listen zu einer dritten: append([],Y,Y). append([X|L],Y,[X|Z]) :- append(L,Y,Z). • Anfrage: append(A,B,[1,2]) ? • Antworten: A=[] B=[1,2] A=[1] B=[2] A=[1,2] B=[] KI 9-Inferenz in PL

  49. Resolution • PL-Version: l1···lk, m1···mn Subst(θ, l1···li-1li+1 ···lkm1···mj-1mj+1···mn) wobei Unify(li, mj) = θ. • Die zwei Klauseln müssen dabei standardisiert sein, d.h. keine gemeinsame Variable haben. • Bsp.: Reich(x) Unglücklich(x) , Reich(Ken) Unglücklich(Ken) mit θ = {x/Ken} • Anwendung der Resolution analog AL: KNF(WB α) KI 9-Inferenz in PL

  50. Konversion nach KNF Jeder, der alle Tiere liebt, wird von jemand geliebt: x [y Tier(y) Liebt(x,y)]  [y Liebt(y,x)] 1. Eliminiere Bikonditionale und Implikationen: x [y Tier(y) Liebt(x,y)]  [yLiebt(y,x)] 2. Schiebe  nach innen (x p ≡x p,  x p ≡x p): x [y (Tier(y) Liebt(x,y))]  [y Liebt(y,x)] x [y Tier(y) Liebt(x,y)]  [y Liebt(y,x)] x [y Tier(y) Liebt(x,y)]  [y Liebt(y,x)] 3. Standardisiere Variable: Jeder Quantor muss andere Variable verwenden x [y Tier(y) Liebt(x,y)]  [z Liebt(z,x)] KI 9-Inferenz in PL

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