Понятие объема. Объем призмы.

1. Понятие объема.Объем призмы. Геометрия, 11 класс Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

2. 1 ед.отр. 1 ед.отр. 1 ед.отр. Любое геометрическое тело в пространстве характеризуется величиной, называемой ОБЪЕМОМ. Так что же такое – объем пространственной фигуры? V=1 куб.ед. V1=V2 V=V1+V2+V3 • Под объемом пространственной фигуры понимается положительная величина, обладающая следующими свойствами: • равные фигуры имеют равные объемы; • объем фигуры равен сумме объемов ее частей; • объем куба с ребром единичной длины равен одной кубической единице.

3. Самым естественным образом определяется объем прямоугольного параллелепипеда, как геометрического тела составленного из определенного количества единичных кубов. А значит, его объем определяется как сумма объемов этих единичных кубов. a b c=H abc

4. Эту же формулу объема прямоугольного параллелепипеда можно получить пользуясь понятием бесконечной интегральной суммы. Объем прямоугольного параллелепипеда можно понимать как бесконечную сумму площадей основания, взятых вдоль его высоты. x a b x c=H 0 x[ 0; H ]

5. Рассмотрим произвольную треугольную прямую призму ABCA1B1C1. 1) Разобьем призму на две прямые треугольные призмы ABMA1B1M1и BCMB1C1M1 плоскостью, проходящей через высоту основания B1M1и боковое ребро BB1. M1 A1 C1 E1 D1 B1 M A C D E B 2) Достроим данную призму до прямоугольного параллелепипеда ADECA1D1C1E1. 3) Получили ещё две прямые треугольные призмы ADBA1D1B1и BECB1E1C1.

6. M1 M1 A1 C1 Объясните самостоятельно: F1 D1 E1 B1 B1  H  M M A C F D B B E Нетрудно заметить, что объем треугольной призмы в два раза меньше объема прямоугольного параллелепипеда, т.е.

7. Пусть дана наклонная треугольная призма. Построим сечение, перпендикулярное боковому ребру (BKC). Примем KAF=за угол наклона бокового ребра к основанию призмы, аKFA=β– за угол между плоскостями основания и сечения. Очевидно, что +β=900. Сечение (KBC) разбивает призму на две пространственные фигуры – треугольную пирамиду KABC и многогранник KBCA1B1C1. По свойству объема фигуры объем призмы равен сумме объемов этих частей. A1 C1 Вспомним, что: β B1 m H K   A β C F B

8. Перемещая соответствующим образом одну из частей можно получить прямую треугольную призму, равную по объему данной наклонной призме. Тогда: , где Sсеч.– площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру и m –длина бокового ребра. K1 A1 C1 B1 m K A C B

9. С учетом вспомненных соотношений, получим: K1 C1 B1 m K C B

10. Если применить метод бесконечных интегральных сумм, то получится: x A1 C1 B1 x[ 0; H ] x H A C 0 B

11. B2 B1 Bn H A2 A1 An Рассмотрим произвольную n-угольную призму A1A2…An B1B2…Bn.Разобьем её на (n–2) треугольные призмы, полученные при проведении диагональных сечений из вершины A1. По свойству объема:

12. Итак, для любой n-угольной призмы: ИЛИ ,где Sосн. – площадь основания призмы, Sсеч. – площадь перпендикулярного сечения, H – высота призмы, m – длина бокового ребра призмы.