MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

1. MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Septième cours ACT2025 - Cours 7

2. Rappel: • Méthode de bissection ACT2025 - Cours 7

3. Rappel: • Méthode de bissection • Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » ACT2025 - Cours 7

4. Rappel: • Méthode de bissection • Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » • Annuités simples ACT2025 - Cours 7

5. Rappel: • Méthode de bissection • Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » • Annuités simples • Période de paiement ACT2025 - Cours 7

6. Rappel: • Méthode de bissection • Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » • Annuités simples • Période de paiement • Annuité simple constante de fin de période (« annuities-immediate ») ACT2025 - Cours 7

7. Nous avons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. Rappel: ACT2025 - Cours 7

8. Nous avons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.La valeur actuelle de cette annuité (c’est-à-dire au début de la première période) est notée Rappel: ACT2025 - Cours 7

9. Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: Rappel: ACT2025 - Cours 7

10. Rappel: Nous avons montré que où = (1 + i)-1 ACT2025 - Cours 7

11. Exemple 1: Yorick a hérité de 80000$ qu’il a placé au taux nominal d’intérêt i(2) = 6% par année capitalisé semestriellement (c’est-à-dire à tous les six mois). Il retirera R dollars à la fin de chaque semestre en débutant avec le premier semestre et il fera ces retraits pendant 15 ans. À la fin de ces 15 ans, il aura complètement utilisé son capital. ACT2025 - Cours 7

12. Exemple 1: Yorick a hérité de 80000$ qu’il a placé au taux nominal d’intérêt i(2) = 6% par année capitalisé semestriellement (c’est-à-dire à tous les six mois). Il retirera R dollars à la fin de chaque semestre en débutant avec le premier semestre et il fera ces retraits pendant 15 ans. À la fin de ces 15 ans, il aura complètement utilisé son capital. (a) Quel sera le montant semestriel R retiré? ACT2025 - Cours 7

13. Exemple 1: Yorick a hérité de 80000$ qu’il a placé au taux nominal d’intérêt i(2) = 6% par année capitalisé semestriellement (c’est-à-dire à tous les six mois). Il retirera R dollars à la fin de chaque semestre en débutant avec le premier semestre et il fera ces retraits pendant 15 ans. À la fin de ces 15 ans, il aura complètement utilisé son capital. (a) Quel sera le montant semestriel R retiré? (b) Quel sera le montant d’intérêt gagné dans ce placement? ACT2025 - Cours 7

14. Exemple 1: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est où le retrait semestriel est noté par R ACT2025 - Cours 7

15. Exemple 1: (suite) Dans le diagramme, le temps est mesuré en semestres. Ceci est la période de paiement de l’annuité. ACT2025 - Cours 7

16. Exemple 1: (suite) Le taux d’intérêt par semestre est Dans le diagramme, le temps est mesuré en semestres. Ceci est la période de paiement de l’annuité. ACT2025 - Cours 7

17. Exemple 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est ACT2025 - Cours 7

18. Exemple 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est c’est-à-dire ACT2025 - Cours 7

19. Exemple 1: (suite) Le montant d’intérêt gagné par Yorick est 30R - 80 000 = 30(4081.54) - 80 000 = 42 446.20$ ACT2025 - Cours 7

20. Interprétation de la formule: ou plutôt ACT2025 - Cours 7

21. Interprétation (suite): Ceci correspond à l’équation de valeur à t = 0 de 1 dollar investi pour n périodes de capitalisation pendant lesquelles ce 1 dollar rapporte de i dollars d’intérêt à la fin de chaque période et qu’à la fin de la ne période 1 dollar est remboursé. ACT2025 - Cours 7

22. Interprétation (suite): Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant: ACT2025 - Cours 7

23. Revenons à notre annuité, à savoir celle pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. ACT2025 - Cours 7

24. La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la ne période (c’est-à-dire au temps t = n) est notée Notation: ACT2025 - Cours 7

25. Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT2025 - Cours 7

26. Alors ACT2025 - Cours 7

27. Alors En utilisant la formule connue: ACT2025 - Cours 7

28. Alors En utilisant la formule connue: nous obtenons ACT2025 - Cours 7

29. Exemple 2: Alex veut accumuler un capital de 20000$ en faisant des versements mensuels de R dollars pour obtenir ce 20000$ après 5 ans. Le taux d’intérêt est le taux nominal i(12) = 4% par année capitalisé mensuellement. Les versements sont faits à la fin de chaque mois. ACT2025 - Cours 7

30. Exemple 2: Alex veut accumuler un capital de 20000$ en faisant des versements mensuels de R dollars pour obtenir ce 20000$ après 5 ans. Le taux d’intérêt est le taux nominal i(12) = 4% par année capitalisé mensuellement. Les versements sont faits à la fin de chaque mois. (a) Quel sera le montant mensuel R déposé? ACT2025 - Cours 7

31. Exemple 2: Alex veut accumuler un capital de 20000$ en faisant des versements mensuels de R dollars pour obtenir ce 20000$ après 5 ans. Le taux d’intérêt est le taux nominal i(12) = 4% par année capitalisé mensuellement. Les versements sont faits à la fin de chaque mois. (a) Quel sera le montant mensuel R déposé? (b) Quel sera le montant total d’intérêt gagné dans ce placement? ACT2025 - Cours 7

32. Exemple 2: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est où le dépôt mensuel est noté par R ACT2025 - Cours 7

33. Exemple 2: (suite) Dans le diagramme, le temps est mesuré en mois. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 5 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 60 périodes de paiement. ACT2025 - Cours 7

34. Exemple 2: (suite) Dans le diagramme, le temps est mesuré en mois. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 5 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 60 périodes de paiement. Le taux d’intérêt par mois est ACT2025 - Cours 7

35. Exemple 2: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 60 mois est ACT2025 - Cours 7

36. Exemple 2: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 60 mois est c’est-à-dire ACT2025 - Cours 7

37. Exemple 2: (suite) Le montant total d’intérêt gagné par Alex est 20 000 - 60 R = 20 000 - 60(301.66) = 1900.40 $ ACT2025 - Cours 7

38. Exemple 3: Bobby a déposé à la fin de chaque trimestre 1000$ dans un compte de banque rémunéré au taux nominal d’intérêt i(4) = 6% par année capitalisé à tous les trois mois. Quel sera le montant accumulé dans ce compte après 7 ans? ACT2025 - Cours 7

39. Exemple 3: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est où X est le montant accumulé à la fin de la 7e année ACT2025 - Cours 7

40. Exemple 3: (suite) Dans le diagramme, le temps est mesuré en trimestre. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 7 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 28 périodes de paiement. ACT2025 - Cours 7

41. Exemple 3: (suite) Dans le diagramme, le temps est mesuré en trimestre. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 7 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 28 périodes de paiement. Le taux d’intérêt par trimestre est ACT2025 - Cours 7

42. Exemple 3: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 28 trimestres est ACT2025 - Cours 7

43. Exemple 3: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 28 trimestres est c’est-à-dire ACT2025 - Cours 7

44. Nous allons maintenant relier les valeurs actuelles et accumulées d’une même annuité. ACT2025 - Cours 7

45. Formule 1: ACT2025 - Cours 7

46. Formule 1: Formule 2: ACT2025 - Cours 7

47. Formule 1: Formule 2: Cette dernière formule a une interprétation avec les concepts d’amortissement et de fonds d’amortissement. ACT2025 - Cours 7

48. Considérons maintenant une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits au début de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.Nous dirons que c’est une annuité simple constante de début de période. En anglais, ceci est dénommé « annuities-due ». Définition: ACT2025 - Cours 7

49. La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période (c’est-à-dire au temps t = 0 ou encore au moment du premier paiement) est notée Notation: ACT2025 - Cours 7

50. Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: Notation: (suite) ACT2025 - Cours 7