12.3 角的平分线的性质（第 2 课时）

12.3 角的平分线的性质 （第2课时）

A D 1 P O 2 C E B 复习角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等用数学语言表述： ∵OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD＝PE

S 思考如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：20000）

探究我们知道，角的平分线上的点到角的两边距离相等，那么，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：到角的两边距离相等的点在角的平分线上自己证一证。根据此结论，你知道集贸市场建在何处吗？

证明: ∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， 　∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边）QD=QE∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）　∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．

结论到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用数学语言表示为： ∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE

知识应用 例如图，△ABC的角的平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. A 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ N M P B C

如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M G ∵点F在∠BCE的平分线上，　　　　FG⊥AE， FM⊥BC M ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上，　　　　FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上　　　

小结：用角的平分线的性质可证两条线段相等；用本节所学知识可判定一个点是否在一个角的平分线上。小结：用角的平分线的性质可证两条线段相等；用本节所学知识可判定一个点是否在一个角的平分线上。

利用结论，解决问题 练一练1. 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建? 想一想在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?

2. 直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ).A.一处 B.两处 C.三处 D.四处拓展与延伸分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。

M C D F N E B A A A A A A A A 拓展与延伸 3. 已知:BD⊥AM于D,CE⊥AN于E,BD,CE相交于点 F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.

思考：如图，∠B= ∠C=90°,E是BC中点，DE平分 ∠ADC。求证：AE是 ∠DAB的平分线。 D C • E B A

再见

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