C ｰ 2 　受動性に基づく３次元視覚フィードバック制御に関する研究

C ｰ 2　受動性に基づく３次元視覚フィードバック制御に関する研究 Passivity-Based Visual Feedback Control of Nonlinear Mechanical Systems February 15, 2001 金沢大学大学院　自然科学研究科電子情報システム専攻　河合宏之

視覚フィードバック制御とは ? カメラからの視覚情報をフィードバックして，ダイナミカルシステムを 3 次元空間 SE(3)を移動する対象物に追従させるように実時間制御すること Camera = (位置)× (姿勢) Image カメラからの情報をもとに相対位置姿勢　　を目標位置姿勢に一致させる Target

従来研究 • ２次元の平面マニピュレータにおける受動性に基づく • 視覚フィードバック制御の安定性や制御性能解析（丸山, 藤田） • ３次元の視覚フィードバック制御の安定性解析（Kelly ら） SE(3) 上で定義される誤差関数を用いてエネルギー関数を構成受動性に基づく３次元の視覚フィードバック制御の安定性や制御性能解析

発表の流れ • はじめに • 剛体運動のモデリングと安定性 • 非線形オブザーバの構成と安定性 • 視覚フィードバック制御の安定性と制御性能 • シミュレーション • おわりに

相対位置姿勢運動モデル（1） 相対位置姿勢 (1) (2) カメラと観測対象の運動モデル相対位置姿勢カメラ位置姿勢 (3) (4) 対象位置姿勢 : 並進速度 : 角速度 (vee) (wedge)

相対位置姿勢運動モデル（2） 相対位置姿勢の運動並進速度角速度並進速度角速度カメラ(マニピュレータ)の速度（入力）観測対象の速度（外乱）相対位置姿勢運動モデル (5) 相対位置姿勢　　　　　を目標位置姿勢　　　　　　に一致させるようにカメラの速度を決定する

剛体運動モデルの相対位置姿勢制御 (9) 制御誤差目標位置姿勢（一定値）制御誤差の状態方程式 (10) 相対位置姿勢制御則 (11) 相対位置姿勢誤差制御ゲイン： : 回転誤差ベクトル

剛体運動モデルの安定性解析 　　　　　制御ゲイン　　が正定行列であり，観測対象が静止しているとする．このとき（10）式の状態方程式と（11）式の制御則からなる閉ループ系において，平衡点　　　　　は漸近安定となる．補題 1 Proof: リアプノフ関数候補 (12) 解軌道に沿った時間微分：回転の誤差関数 (13) 平衡点以外のすべての点で　　　　　が成り立つことから平衡点は漸近安定である．

(w.r.t. ) (w.r.t. ) カメラモデル観測対象の特徴点カメラ相対的な特徴点観測対象 : 画像面までの距離透視変換モデル図：ピンホール型カメラカメラから得られる視覚情報 (15) 直接,　相対位置姿勢を観測することはできない

観測方程式 相対位置姿勢の推定値　　　　近傍で視覚情報 fを近似 : 推定誤差ベクトル : 回転誤差ベクトル J : 画像ヤコビアン観測出力ベクトル (16) (17) w : 近似誤差, 量子化誤差

の推定値　　　　を fから構成する 相対位置姿勢推定 (14) ucはカメラ速度,ueは推定値を真値へ収束させるために視覚情報 fから計算される推定入力ベクトル (18) 推定誤差推定誤差の状態方程式 (19) 推定則 (20) 推定ゲイン：

非線形オブザーバの内部安定性 　　　　　推定ゲイン　　を正定行列とする．観測対象が静止しており観測雑音も存在しない, すなわち, 外乱　　　　　　　　　　　　とする．このとき（19）式の状態方程式と（20）式の制御則からなる閉ループ系において, 平衡点　　　　　は漸近安定となる．補題 2 リアプノフ関数候補 Proof: (21) 解軌道に沿った時間微分 (22) 平衡点以外のすべての点で　　　　　が成り立つことから平衡点は漸近安定である．

視覚フィードバック制御の状態方程式 制御誤差 (9) (18) 推定誤差目標位置姿勢（一定値）状態方程式 (23) となる. を達成すれば,

視覚フィードバック制御問題 ある定数 > 0 を与えたとき, 次の 2 つの条件を満たすような制御入力　　を決定する • 内部安定性 : 外乱が存在しない,　すなわち　　　　　　　　　　　　　の場合, 状態　　　　　　　　　　　　　　が漸近安定な平衡点となる • 外乱抑制特性: 外乱　から制御出力　　　　　　　　　　への L2ゲインを　　以下にする

視覚フィードバック制御の受動性 として, 出力　を補題 3 (25) とする．このとき（23）式の状態方程式において入力　から出力　は受動性を満足する．リアプノフ関数候補 (26) Proof : リアプノフ関数候補を解軌道に沿って時間微分 (28) (27)

制御則の提案と安定性解析 視覚フィードバック制御則 (29) 定理 1 ,　　　を正定行列とする．外乱が存在しない,　すなわち　　　　　　　　　　　　　のとき,（23）式の状態方程式と（29）式の制御則からなる閉ループ系の平衡点　　　　　は漸近安定である

制御則の提案と安定性解析 誤差システムのリアプノフ関数とみなす (26) Proof : Vを解軌道に沿って時間微分 (30) で

L2ゲイン制御性能解析 L2 ゲイン解析のための蓄積関数とみなす (31) (33) 定理 2 ある定数　　> 0 を与え, ゲイン　　　および　　　を正定行列とし, さらに　　　　が成立するように選択するならば, 閉ループ系は外乱　から出力　に関して　　以下の L2ゲインを有する

x x シミュレーション（1）目標位置姿勢 z z 観測対象の運動 y y

0.5 0.5 pecx (m) eR(Rec)x(rad) 0 0 -0.5 -0.5 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 0.5 0.5 pecy (m) eR(Rec)y(rad) 0 0 -0.5 -0.5 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 0.5 0.5 pecz (m) eR(Rec)z(rad) 0 0 -0.5 -0.5 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 time (s) time (s) シミュレーション（2）位置誤差姿勢誤差

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 time (s) シミュレーション（5）制御出力 z

まとめ 3 次元の視覚フィードバック制御システム • 安定性解析 • L2ゲイン制御性能解析 SE(3) 上の誤差エネルギー関数 • リアプノフ関数　（安定性解析） • 蓄積関数　　（制御性能解析）

SO(3) 上の誤差関数 誤差関数回転誤差ベクトル補題を考える 1.　　　　　　であり　　　　　　の必要十分条件は R = I である. 2. ただし 3. 　　　　　を満足する Rに対してを満足する　　　　　　　　　が存在する．

受動性について 受動的なシステムとは, システムのエネルギーを入力と出力の内積で測るとき, 供給エネルギーより蓄積エネルギーのほうが小さく, システム内部でエネルギーが消費される u : 入力, y : 出力電気回路網：端子間に加わる電圧（入力）　流れる電流（出力）電圧と電流の積の時間積分は蓄えられるエネルギと消費した電力に等しいロボット制御の分野でも受動性を用いたさまざま結果がある

３次特殊直交行列（Special Orthogonal matrix） • ３次元回転行列の集まり • 行列式が +1 である • RRT = RTR = I 画像ヤコビアン

従来研究 状態空間が SE(3) 上で定義される非線形システム安定性や制御性能の解析をおこなうことが困難平面マニピュレータにおける視覚フィードバック制御の安定性や制御性能解析 SE(3) 上で定義される誤差関数を用いてエネルギー関数を構成

C ｰ 2 受動性に基づく３次元視覚フィードバック制御 に関する研究