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3.4 导数在实际生活中的应用 (1)

3.4 导数在实际生活中的应用 (1). 在实际问题中 , 有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形 , 如果函数在这个点有极大 ( 小 ) 值 , 那么不与端点值比较 , 也可以知道这就是最大 ( 小 ) 值 . 这里所说的也适用于开区间或无穷区间. 1 、实际问题中的应用. 在日常生活、生产和科研中 , 常常会遇到求函数的 最大 ( 小 ) 值的问题 . 建立目标函数 , 然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时 , 一定要注意确定函数的定义域. 满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.

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3.4 导数在实际生活中的应用 (1)

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  1. 3.4导数在实际生活中的应用(1)

  2. 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间. 1、实际问题中的应用. 在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域. 满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.

  3. 2、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。2、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。 首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。 其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。 3、求最大（最小）值应用题的一般方法 (1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。 (2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点。

  4. x x 60 60 例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 解:设箱底边长为x cm， 则箱高 箱子容积为V=x2 h V ´=60x－3x²/2 令V ´=0，得x=40, x=0 (舍去) 得V (40)=16000 答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3

  5. 在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0使f´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)

  6. h R 例2. 要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？ 解:设桶底面半径为R, 因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。 答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。

  7. 例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q, 价格p与产量q的函数关系式为 求产量q为何值 时,利润L最大。 分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润. 求得唯一的极值点 因为L只有一个极值点,所以它是最大值. 答:产量为84时,利润L最大.

  8. 练习1: 如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. y x 令 ,得 所以当 时, 因此当点B为 时,矩形的最大面积是 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).

  9. 3、如图,铁路线上AB段长 100km,工厂C到铁路的 距离CA=20km.现在要 在AB上某一处D,向C修 一条公路.已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处? C B D A 解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km. 又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为

  10. 令 ,在 的范围内有 唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省. 注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合. 练习4:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h. 答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.

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