4-2 線型函數與函數圖形

1. 4-2 線型函數與函數圖形 一次函數與常數函數 例題 1 例題 2 隨堂練習 隨堂練習 例題 3 例題 4 隨堂練習 隨堂練習 例題 6 例題 5 函數圖形 隨堂練習 隨堂練習 例題 7 例題 8 線型函數 隨堂練習 隨堂練習 例題 9 自我評量 1 2 3 4 5 6 7 8

2. 一次函數 函數中，凡是可以整理成形如 f（x）＝ax＋b（a≠0）的函數， 因為自變數 x 的次方是一次，所以這種函數都稱為一次函數， 例如：f（x）＝－3x＋2， f（x）＝ x＋32 等都是一次函數。 在一次函數f（x）＝ax＋b 的表示式中，稱ax 是x 的一次項， 其中a 與b都是固定的數，它們並不會隨著 x 的改變而改變， 相對於 x 的可變動性，我們稱它們為常數， 也因此我們稱 b 是一次函數 f（x）＝ax＋b 中的常數項。

3. 例題1：函數值的應用 一次函數 f(x)＝ax＋4，若 f(3)＝－2，求 a 的值。 f(3)＝－2 表示x ＝3 時的函數值為－2 ∴ f(3)＝3a＋4＝－2 故a ＝－2

4. 隨堂練習 一次函數 f(x)＝3x－b，若 f(－2)＝6，求 b 的值。 f (－2)＝6 表示x ＝－2時的函數值為6 ∴ f (－2)＝3×(－2) －b＝6 故 b ＝－12

5. 例題2：求一次函數 有一個一次函數 f (x)＝ax＋b，且 f (2)＝5，f (3)＝7。求此一次函數。 由 f (2)＝5，可得 f (2)＝2a＋b＝5 ……(1) 由 f (3)＝7，可得 f (3)＝3a＋b＝7 ……(2) (2)－(1)可得：a＝2 將 a＝2 代入(1)可得：4＋b＝5 b＝1 所以此一次函數為f (x)＝2x＋1。

6. 隨堂練習 有一個一次函數 f (x)＝ax＋b，且 f (1)＝4，f (3)＝10。求此一次函數。 由 f (1)＝4，可得 f (1)＝a＋b＝4……(1) 由 f (3)＝10，可得 f (3)＝3a＋b＝10……(2) (2)－(1)可得：a＝3 將 a＝3 代入(1)可得：3＋b＝4 b＝1 所以此一次函數為f (x)＝3x＋1。

7. 常數函數 在函數 f（x）＝ax＋b 中，若 a＝0，則 f（x）＝0x＋b 即 f（x）＝b。此時不論變數 x 的值為何，函數 f（x） 都對應到一個常數 b。 例如：函數 f（x）＝3 ，無論 x 的值為何，所對應的函 數值皆為3，此符合函數的定義「對每一個 x值，都恰好 有一個對應的 y 值」，因此 f（x）＝3 也是一個函數。 形如 f（x）＝b 的函數， 稱為常數函數。

8. 例題3：求常數函數 有一個常數函數， f（x）＝b，且 f（2）＝－5。求此常數函數。 由 f（2）＝－5，可得 f（2）＝b＝－5 故此常數函數為f（x）＝－5。

9. 隨堂練習 有一個常數函數 g（x）＝b，且 g（100）＝3。求此常數函數。 由 g(100)=3，可得 g(100)＝b＝3 故此常數函數為g(x)＝3。

10. 例題4：一次函數的應用 某次數學考試題目太難，老師用一次函數來調整分數，使得 60 分變成68 分，100 分還是 100 分，請問： (1)原來分數考 80 分變成多少分？ (2)原來分數考多少分調整後變成 60 分？ 設本次數學考試的原始分數是 x 分，f（x）表示調整後的分數。 因為用一次函數來調整分數，故設 f（x）＝ax＋b f（60）＝60 × a＋b＝68 ………① f（100）＝100 × a＋b＝100 ….. ② ②式－①式得：40a＝32，a＝0.8

11. 例題4：一次函數的應用 某次數學考試題目太難，老師用一次函數來調整分數，使得 60 分變成68 分，100 分還是 100 分，請問： (1)原來分數考 80 分變成多少分？ (2)原來分數考多少分調整後變成 60 分？ 將a＝0.8 代入②式得：b＝20 所以一次函數為f（x）＝0.8x＋20 (1) f（80）＝80×0.8＋20＝84（分） (2) 設原來分數考 t 分，調整後變成 60 分。 可列式：f（t）＝t×0.8＋20＝60 解得：0.8t＝40，t＝50 所以原來分數考 50 分，調整後變成 60 分。

12. 隨堂練習 A 城市的當月水費與當月使用度數成一次函數的關係。已知當月使用 30 度，費用是 840 元；使用 50 度，費用是 1240 元。試回答下列各小題： (1) 設 x 表示當月使用度數，f（x）表示當月費用，請求出 f（x）與 x 的關係。 (2) 若當月使用 100 度，費用是多少元？ (3) 當月使用多少度時，費用是 5040 元？ (1) f（x）＝20x＋240 (2) 2240元 (3)使用 240 度時，費用是 5040 元

13. 函數圖形 函數圖形：坐標平面上，將合於 的所有點( x , y )描畫出來所得的圖形，就是函數 的函數圖形。 y ＝f (x) y ＝f (x) 畫出 函數f (x) ＝ －3x + 2 的圖形. (－1,5) 令 y ＝f (x) ＝ －3x + 2 (0,2) －1 0 5 2

14. 例題5：畫一次函數的圖形 令 y ＝f (x)＝ 在坐標平面上畫出函數 y＝f（x）＝2x＋1 的圖形

15. 隨堂練習 在坐標平面上畫出下列函數的圖形： (1) y＝f（x）＝－x＋3 (2) y ＝g（x）＝x－1 y y －1 －1 x x O 1 O 1

16. 例題6：畫常數函數的圖形 畫出函數 y＝f（x）＝－2 的圖形，並求 f（100）＝？ y 2 1 －2 －2 －1 畫f（100）＝－2 x O 1

17. 隨堂練習 在坐標平面上畫出下列函數的圖形： (1) y＝g（x）＝－1 (2) y ＝h（x）＝0 y y －1 －1 x x O 1 O 1

18. 線型函數 (1)a≠0， f (x)為 。 (2)a＝0， f (x)為 。 線型函數：形如之函數，因其圖形為，又稱為；其中，分為兩種情況： f (x)＝ax＋ b 直 線 線 型 函 數 一 次 函 數 常 數 函 數 也就是 f (x) = b或是 y = b

19. 例題7：已知兩點，求線型函數 已知 f(x) 為一線型函數，其圖形通過(2 ,－4)與(－1 , 5)兩點，且分別與x、y 軸交於A、B 兩點，試求：(1) 此線型函數。 (2) 三角形ABO 的面積。（O 為坐標平面的原點） (1) 設此線型函數為y＝ f(x)＝ax＋b， 因為函數圖形通過(2 ,－4)與(－1 , 5)兩點， 可得2a＋b＝－4……(1) ；－a＋b＝5 ……(2) 求解得 a＝－3；b＝2 故此函數為 f(x)＝－3x＋2。

20. 例題7：已知兩點，求線型函數 ∴ 三角形ABO 的面積 已知 f(x) 為一線型函數，其圖形通過(2 ,－4)與(－1 , 5)兩點，且分別與x、y 軸交於A、B 兩點，試求：(1) 此線型函數。(2) 三角形ABO 的面積。（O 為坐標平面的原點） y (2) y＝ －3x＋2 0 1 2 0 x 0 1

21. 隨堂練習 已知 f (x) 為一線型函數，其圖形通過(－1 ,－4)與(3 , 4)兩點，且分別與x、y 軸交於A、B 兩點，試求：(1) 此線型函數。(2) 三角形ABO 的面積。（O 為坐標平面的原點） (1) 設此線型函數為 y＝ f (x)＝ax＋b， 因為函數圖形通過 (－1 ,－4)與 (3 , 4)兩點， 可得－a＋b＝－4……(1) ；3a＋b＝4 ……(2) 求解得 a＝2；b＝－2 故此函數為 f (x)＝2x－2。

22. 隨堂練習 0 1 －2 0 ∴ 三角形 ABO 的面積 已知 f (x) 為一線型函數，其圖形通過(－1 ,－4)與(3 , 4)兩點，且分別與x、y 軸交於A、B 兩點，試求：(1) 此線型函數。(2) 三角形ABO 的面積。（O 為坐標平面的原點） y (2) y=f (x)＝2x－2 1 x 0 1

23. 例題8：函數圖形 在坐標平面上畫出當 x 是小於 5 的正整數時，函數 y＝ f（x）＝2x－1 的圖形。 因為 x 是小於 5 的正整數，將每個合 乎條件的 x 值及其對應的 y 值列出如 下表： y 1 2 3 4 (4,7) 1 3 5 7 (3,5) 然後，在坐標平面上畫出這些對應的點，即為函數的圖形。 (2,3) 1 (1,1) x 0 1

24. 隨堂練習 在坐標平面上畫出下列函數的圖形： (1) y＝g（x）＝－2x＋3， (2) y＝h（x）＝4， x 是小於 6 的正整數。x 是大於－5 的負整數。 y y －1 x O 1 －1 x O 1

25. 例題9：函數圖形 摩天輪的時間與高度之間的關係圖如右圖所示，每一個時間都對應到一個高度，因此它是函數的對應關係，若以x 表示時間，g(x)表示該時間點所對應的高度。試求： (1) g(3)＝？ (2) g(0)＝？ (3) g(1)＝？ (1)g(3)表示3分鐘時所對應的高度  g(3)＝45 (2)g(0)表示0分鐘時所對應的高度  g(0)＝3 (3)g(1)表示1分鐘時所對應的高度  g(1)＝10

26. 自我評量 1. 試判斷下列各函數中，哪些是常數函數？哪些是一次函數？哪些是線型函數？ (A)f(x)＝2 (B) g(x)＝3x－5 (C) h(x)＝ ＋3 (D) A(x)＝6x2(E) B(x)＝2－x (1) 是常數函數的有： (2) 是一次函數的有： (3) 是線型函數的有： (A)、(C) (B)、(E) (A)、(B)、(C)、(E)

27. 自我評量 2. 試分別求函數 f(x)＝5 在x＝1 與x＝－2 時的函數值。 f (1)＝５、 f (－2)＝5

28. 自我評量 3. 若f(x)為一次函數，且f(0)＝5，f(2)＝－3。求f(x)＝？ 設此函數為 f(x)＝ax＋b。 則 f(0)＝5  a×0＋b＝5  b＝5 f(2)＝－3 2a＋5＝－3 a＝－4 故此函數為 f(x)＝－4x＋5。

29. 自我評量 4. 已知線型函數 f(x)＝ax＋b 的圖形通過原點O 和(－2 , 4)， 求f(x)＝？ 通過原點  b＝0 通過 (－2 , 4)  4＝－2a a＝－2 故此函數為 f(x)＝－2x

30. 自我評量 5. 在坐標平面上畫出下列各線型函數的圖形： (2) y＝ f (x)＝－x－3 (1) y＝ f (x)＝－x 1 -1 0 -3 -1 1 -3 0 y y 1 1 x x 0 1 0 1

31. 自我評量 5. 在坐標平面上畫出下列各線型函數的圖形： (3) y＝ f (x)＝3 (4) y＝ f (x)＝3x +1，x 是小於 4 的正整數。 0 1 3 3 y y 1 x 0 1 －1 x 1 O

32. 自我評量 6.設 f（x）為線型函數，其圖形通過（ 1 , 1 ）與（ 3 , 9 ）兩點； g（x）亦為線型函數，其圖形平行 x 軸，且通過（－3 , 13）。試求： (1) 函數 f（x）。 (2) 函數 g（x）。 (3) 兩函數圖形的交點坐標。 解 (1) f（x）＝4x－3。 (2) g（x）＝13。 (3) （4 , 13）。

33. 自我評量 7.設 f（x）為線型函數，其圖形通過（－1 , 2）與（3 , 10）兩點，設函數y＝f（x）的圖形與 x軸、y 軸分別交於 A、B 兩點，試求： (1) 函數 f（x）。 (2) A、B 兩點的坐標。 (3)三角形 OAB 的面積。。 解 (1) f（x）＝2x + 4 (2) A（－2 , 0）、B（0 , 4） (3) 4 平方單位

34. 自我評量 8.大力文具行舉辦周年慶促銷活動，已知促銷方式是將原來的價格用線型函數調整成新的價格，使得原來 40 元的文具變成 28 元，60 元的文具變成 40元，試問： (1)原來價格 80 元的文具調整後變成多少元？ (2) 原來價格多少元的文具調整後變成 100 元？ 解 (1) 52元 (2) 160元