Resolução

1. Resolução

2. Equivalências de 1a Ordem • As leis de equivalência lógica permitem simplificar fórmulas da Lógica de 1a Ordem em fórmulas equivalentes, porém mais simples – Forma Normal Prenex. • Na forma Prenex todos os quantificadores encontram-se no início da fórmula. Veremos uma outra forma normal, na qual elimina-se os quantificadores existenciais – Forma Normal de skolem

3. Forma Normal Skolem • Essa forma elimina os quantificadores existenciais de uma forma prenex obtendo uma generalização • A eliminação do existencial é obtida pelo seguinte procedimento proposto por Skolem:

4. Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais • Seja a uma fórmula na forma normal prenex Q1x1, ..., Qnxn(M), onde M está na forma normal conjuntiva e Qr um quantificador existencial no prefixo de a Q1x1, ... ,Qnxn, 1  r  n. • A eliminação de Qnxn é feita observando-se osquantificadores que o antecedem. Ocorre da seguinte maneira:

5. Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais • Se não existir nenhum quantificador universal anterior a Qrxr no prefixo, faça: • escolha uma nova constante c diferente de qualquer outra que ocorre em M, • substitua todos os xr ocorrendo em M por c e • elimine Qrxr do prefixo. senão ...

6. Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais ... senão .., • Se Qs1, ... ,Qsm são os quantificadores universais anteriores a Qr no prefixo, 1  s1 < s2 < ... < sm < r, faça: • escolha um novo símbolo funcional m-ário f diferente de outros símbolos funcionais ocorrendo em M, • substitua todos os xr ocorrendo em M pelo termo f(s1, ... , sm) e • elimine Qrxr do prefixo.

7. Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais • Depois do processo de eliminação (skolemização) ser aplicado a todos os quantificadores existenciais do prefixo, a fórmula obtida está na forma normal de skolem, denotada por skolem(a).

8. Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais • Exemplo: obter skolem(a) a = xyzu(P(x, y, z, u)) • x não é precedido de quantificador universal, então: • yzu(P(a, y, z, u)) 2. u é precedido por yz, então: yz (P(a, y, z, f(y, z)))

9. Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais • Observe a semântica da função skolem: Considere o predicado Mãe definido com o seguinte significado: Mãe(x,y): x é mãe de y papel do 1o termo: é mãe papel do 2o termo: é filho

10. Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais Exemplo 1: “Todo mundo tem mãe” significa que “para todo x existe um y que é mãe de x “ a = xy(Mãe(y,x)) skolem(a) = x(Mãe(f(x),x)) a função f expressa que o valor de y: a mãe, depende do valor de x: o filho

11. Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais Exemplo 2: “Existe alguém que é mãe de todos” = “existe um x que para todo y, x é mãe de y “ a = xy(Mãe(x,y)) skolem(a) = y(Mãe(a,y)) a constante a pode ser = “Nossa Senhora”

12. Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais • Exemplo: obter skolem()  = (xyz((~P(x,y) ^ Q(x,z)) v R(x,y,z)) xyz((~P(x,y) ^ Q(x,z)) v R(x,y,z)) xyz((~P(x,y) v R(x,y,z)) ^ (Q(x,z) v R(x,y,z))) xz((~P(x,f(x)) v R(x,f(x),z)) ^ (Q(x,z) v R(x,f(x),z))) x((~P(x,f(x)) v R(x,f(x),g(x)) ^ (Q(x,g(x)) v R(x,f(x),g(x))))

13. Forma Normal Skolem • Teorema 1: Seja a um fórmula de 1a ordem. Então, a é insatisfatível se e somente se skolem(a) é insatisfatível. • As outras formas normais preservam os modelos das fórmulas originais (são tautologicamente equivalentes) • A forma normal de skolem preserva apenas a condição de insatisfatibilidade da fórmula original.

14. Forma Normal Skolem • Exemplo: Seja a = x(P(x)) então, skolem(a) = P(a) Seja I a seguinte interpretação : D = {1, 2} aI = 1 PI(1) = F PI(2) = V Então, I satisfaz a, mas não satisfaz skolem(a).

15. Representação Clausal de Fórmulas • Def.2 Um literal é uma fórmula atômica (literal positivo) ou a negação de uma fórmula atômica (literal negativo). • Def.3 Uma cláusula é uma disjunção de literais Exemplo:P(x)  Q(a)  ~R(y)

16. Representação Clausal de Fórmulas • Por conveniência, uma cláusula pode também ser representada como um conjunto, o conjunto de seus literais. Exemplo: {P(x), Q(a), ~R(y)}

17. Representação Clausal de Fórmulas • Def.4 A cláusula vazia é uma cláusula sem literais (conjunto vazio) e é representada por  e Representa uma fórmula insatisfatível ( ^ ~). • Qualquer fórmula de 1a ordem pode ser transformada em um conjunto de cláusulas.

18. Procedimento de Transformação de Fórmulas em Cláusulas • 1. Eliminar  usando a “lei” a  b |=|(a  b)^(b  a) • 2. Eliminar  usando a “lei” a  b |=| ~ a  b • 3. Reduzir escopo de ~ usando a “lei” de De Morgan e outras “leis” • 4. Renomear variáveis • 5. Skolemizar • 6. Converter para a Forma Normal Prenex • 7. Converter matriz para a Forma Normal Conjuntiva • 8. Eliminar quantificadores universais • 9. Eliminar ^ e obter o conjunto de cláusulas

19. Exemplo:Transformar  em cláusula=x(P(x) (y(P(y)  P(f(x, y))) ^ ~y(Q(x, y)  P(y)))) 1. x(~P(x)  (y(~P(y)  P(f(x, y))) ^ ~y(~Q(x, y)  P(y)))) 2. x(~P(x)  (y(~P(y)  P(f(x, y))) ^ y(~(~Q(x, y)  P(y)))) 3. x(~P(x)  (y(~P(y)  P(f(x, y))) ^ y(Q(x, y) ^ ~P(y)))) 4. x(~P(x)  (y(~P(y)  P(f(x, y))) ^ w(Q(x, w) ^ ~P(w)))) 5. x(~P(x)  (y(~P(y)  P(f(x, y))) ^ (Q(x, g(x)) ^ ~P(g(x))))) 6. xy (~P(x) ((~P(y)  P(f(x, y)) ) ^ (Q(x, g(x)) ^ ~P(g(x)) ))) 7. xy ( (~P(x) (~P(y)  P(f(x, y)))) ^ (~P(x) v(Q(x, g(x)) ^ ~P(g(x)) ))) 8. xy((~P(x)  ~P(y)  P(f(x, y))) ^ ((~P(x)  Q(x, g(x))) ^ (~P(x)  ~P(g(x))))) 9.{ ~P(x)  ~P(y)  P(f(x, y)), ~P(x)  Q(x, g(x)), ~P(x)  ~P(g(x)) }

20. Exemplo: Transformar  em cláusula=x(P(x)  (y(P(y)  P(f(x, y))) ^ ~y(Q(x, y) P(y)))) • A fórmula  foi transformada em um conjunto, S, de 3 cláusulas : S= {~P(x)  ~P(y)  P(f(x, y)), ~P(x)  Q(x, g(x)), ~P(x)  ~P(g(x)) }

21. Exemplo: Fazer a representação clausal de um estado do “Dicionário” Exemplo:A transformação da fórmula 12 em cláusulas xyz((depende(x, z) & depende(z, y))  depende(x, y)) xyz(~(depende(x, z) & depende(z, y))v depende(x, y)) xyz((~depende(x,z) v ~depende(z,y)) v depende(x,y)) S = {~depende(x,z) v ~depende(z,y) v depende(x,y)} A fórmula 12 foi transformada em um conjunto S de apenas uma cláusula

22. Exemplo: Fazer a representação clausal de um estado do “Dicionário” • Representação clausal após as transformações: • 1. programa(a, fortran) • 2. programa(b, pascal) • 3. programa(c, fortran) • 4. arquivo(d, sequencial) • 5. arquivo(e, direto) • 6. chama(a, b) • 7. chama(a, c) • 8. usa(a, d) • 9. usa(b, e) Continua... Um fórmula atômica é uma cláusula. cada fato (dado) do “Dicionário” já estava representado por uma fórmula atômica.

23. Exemplo: Fazer a representação clausal de um estado do “Dicionário” • Continuação... • 10. ~chama(x, y)  depende(x, y) • 11. ~usa(x, y)  depende(x, y) • 12. ~depende(x, z)  ~depende(z, y)  depende(x, y) cada regra foi transformada em conj. de cláusulas • As três últimas cláusulas também podem ser representadas por conjunto de literais: • 10’. ~chama(x, y), depende(x, y)) • 11’. ~usa(x, y), depende(x, y) • 12’. ~depende(x, z), ~depende(z, y), depende(x, y)

24. Exemplo: Fazer a representação clausal de um estado do “Dicionário” • Representação clausal completa: • 1. programa(a, fortran) • 2. programa(b, pascal) • 3. programa(c, fortran) • 4. arquivo(d, sequencial) • 5. arquivo(e, direto) • 6. chama(a, b) • 7. chama(a, c) • 8. usa(a, d) • 9. usa(b, e) • 10. ~chama(x, y)  depende(x, y) • 11. ~usa(x, y)  depende(x, y) • 12. ~depende(x, z)  ~depende(z, y)  depende(x, y) F A T O S REGRAS

25. Resolução • 5.1 O Princípio da Resolução (Lógica Proposicional) Para quaisquer duas cláusulas C1 e C2, se existe um literal L1 em C1 que seja complementar a um literal L2 em C2, então retire L1 e L2 de C1 e de C2 respectivamente, e construa a disjunção das cláusulas remanescentes. A cláusula assim construída é dita ser um resolvente de C1 e C2.

26. Resolução • Considere as seguintes cláusulas C1 e C2 abaixo: • C1: P  R • C2: ~P  Q R  Q é um resolvente de C1 e C2.

27. Resolução • Teorema 1: Dado duas cláusulas C1 e C2, um resolvente C de C1 e C2 é conseqüência lógica de C1 e C2. • Def.1 Dado um conjunto S de cláusulas, uma resolução (dedução) de uma cláusula C a partir de S é uma seqüência finita C1, ... ,Ck de cláusulas tal que cada Ci é uma cláusula em S ou um resolvente de cláusulas precedendo Ci, e Ck = C. Uma dedução de  a partir de S é chamada uma refutação de S.

28. Resolução • Exemplo: Prove que o conjunto de cláusulas S é insatisfatível: S = {~P  Q, ~Q, P} 1. ~P  Q C1 2. ~Q C2 3. P C3 4. Q de 1 e 3, R 5.  de 4 e 2, R

29. Unificação • Aplicar o Princípio da Resolução implica em procurar literais complementares. • Para cláusulas sem variáveis é muito simples. • Para cláusulas com variáveis, é necessário fazer substituições para unificar os literais Exemplo: • C1: P(x)  Q(x) • C2: ~P(f(y))  R(y)

30. Unificação:Exemplo:C1 (P(x)  Q(x)) e C2 (~P(f(y))  R(y)) • Aplicando-se as substituições s1 e s2 à C1 e C2, • C1: P(x)  Q(x) s1 = {x/f(a) } • C2: ~P(f(y))  R(y) s2 = {y/a } • Obtém-se C’1 e C’2, • C’1: P(f(a))  Q(f(a)) • C’2: ~P(f(a))  R(a) • Aplicando-se o princípio da Resolução à C’1 e C’2 obtém-se o resolvente C: • C: Q(f(a))  R(a)

31. Unificação • Outras substituições também poderiam ser aplicadas Exercício: Para s1 = {x/f(f(a))} e s2 = {y/f(a)}, Qual seria o resolvente obtido? Teria outras possíveis substituições? • Uma substituição mais geral seria substituir x por f(y) em C1 e obter-se: • C1*: P(f(y))  Q(f(y)) e um resolvente mais geral C: • C: Q(f(y))  R(y)

32. Unificação • A cláusula C é a cláusula mais geral no sentido de que todas as outras cláusulas que podem ser obtida pelo processo anterior são instâncias de C. Por exemplo, C’ é uma instância de C. • C: Q(f(y))  R(y) • C’: Q(f(a))  R(a)

33. Unificação • Def.2 Sejam as substituições  = {x1/t1, ... ,xn/tn } e  = { y1/u1, ... , ym/um} a composição de  com  () é a substituição obtida do conjunto { x1/t1, ... , xn/tn, y1/u1, ... , ym/um} excluindo-se os seguintes elementos: xj/tj para o qual tj = xj e yi/ui tal que yi {x1, ... ,xn}.

34. Unificação • Exemplo: Sejam as substituições •  = {t1/x1, t2/x2} = { x/f(y), y /z } •  = { y1/u1, y2/u2, y3/u3 } = { x/a, y/b, z/y } • () = { x1/t1, x2/t2, y1/u1, y2/u2, y3/u3 } = { x/f(b), y/y, x/a, y/b, z/y } = { x/f(b), z/y }

35. Unificação • Def.3 Uma substituição  é chamada um unificador para um conjunto de expressões {E1, ... ,En} se e somente se E1 = E2 = ... = En. O conjunto {E1, ... ,En} é dito ser unificável se existe um unificador para ele.

36. Unificação • Def.4 Um unificador s para um conjunto de expressões {E1, ... ,En} é um unificador mais geral (umg) se e somente se para cada unificador  para o conjunto, existe uma substituição l tal que  = sl.

37. Unificação Exemplo: E = {Q(x), Q(f(y))} • Entre outras possíveis substituições,  unifica E  = {x/f(a) , y/a} e o umg s = {x/f(y)} Existe uma substituição l tal que  = sl Essa substituição seria: l = {y/a} {x/f(a) , y/a} = sl {x/f(a) , y/a} = {x/f(y)}  {y/a} {x/f(a) , y/a} = {x/f(a), y/a} • Para outra substituição  = {x/f(f(a)), y/f(a)}, l seria {y/f(a)}

38. Unificação • Def.5 Um conjunto de termos D é o conjunto de discórdia de um conjunto de expressões E = {E1, ... ,En} se e somente se: • (i) D =  , se n = 1 • (ii) D = {t1, ... ,tn}, se n > 1 e todas as expressões em E são idênticas até o i-ésimo símbolo, exclusive, e t1, ... ,tn são os termos ocorrendo em E1, ... ,En que começam na posição i.

39. Unificação • Exemplo1: Discórdia de E1 E1 = {P(x), P(a)} • Exemplo2: Discórdia de E2 E2 = {P(x, f(y, z)), P(x, a), P(x, g(h(k(x))))} D = {x, a} D = {f(y, z), a, g(h(k(x)))}

40. Algoritmo de Unificação 1. Faça k = 0, Ek = E e sk =  2. Se Ek é um conjunto unitário, pare. sk é um unificador mais geral para E. Caso contrário, encontre o conjunto discórdia Dk de Ek. 3. Se existem vk e tk em Dk tal que vk é uma variável que não ocorre em tk, vá para 4. Caso contrário, pare. E não é unificável. 4. Faça sk+1= sk{ vk/tk } e Ek+1= Ek{ vk/tk } 5. Faça k = k+1 e vá para 2.

41. Algoritmo de Unificação Exemplo: E = {P(a, x, f(g(y))), P(z, f(z), f(u))} K= 0 S0 = e E0 = {P(a, x, f(g(y))), P(z, f(z), f(u))} D0 = {a, z}. v0 = z e t0 = a. S1 = s0 {v0/t0} = e{z/a} = {z/a} E1= E0.{v0/t0} = {P(a, x, f(g(y))), P(a, f(a), f(u))} D1 = {x, f(a)}. v1 = x e t1 = f(a) K = 1 S2 = s1{v1/t1} = {z/a}{x/f(a)} = {z/a, x/f(a)} E2 = E1. { v1/t1} = {P(a, f(a), f(g(y))), P(a, f(a), f(u))} D2 = {g(y), u} v2 = u e t2 = g(y) K = 2

42. Algoritmo de Unificação Exemplo: E = {P(a, x, f(g(y))), P(z, f(z), f(u))} • Continuação ... S3 = s2 {v2/t2} = {z/a, x/f(a), u/g(y)} E3 = E2.{v2/t2} = {P(a, f(a), f(g(y))), P(a, f(a), f(u))}.{g(y)/u} = {P(a, f(a), f(g(y))), P(a, f(a), f(g(y)))} = { P(a, f(a), f(g(y)))} K = 3 Visto E3 ser unitário, S3 é um umg S3 = {z/a, x/f(a), u/g(y)} para E. E = {P(a, x, f(g(y))), P(z, f(z), f(u))}

43. Resolução: Definições • Def.6  Se dois ou mais literais (com o mesmo sinal) de uma única cláusula C tem um unificador mais geral s, então Cs é chamado um fator de C

44. Resolução: Definições Exemplo: Seja C = P(x)  P(f(y))  ~Q(x) P(x) e P(f(y)) tem um umg s = {x/f(y)} Cs = P(f(y))  ~Q(f(y)) é um fator de C.

45. Resolução: Definições • Def.7 Sejam C1 e C2 duas cláusulas sem variáveis comuns. Sejam L1 e L2 literais de C1 e C2, respectivamente. Se L1 e ~L2 tem um unificador mais geral s, então a cláusula: (C1s L1s)  (C2s L2s) é chamada um resolvente binário de C1 e C2.

46. Resolução: Definições Exemplo: Sejam C1: P(x)  Q(x) (C2 não tem x) C2: ~P(a)  R(y) (C1 não tem y) literais L1 = P(x) L2 = ~P(a), então, ~L2 = P(a). umg de L1 e L2 é s = {x/a} logo, (C1s L1s)  (C2s L2s) = Q(a)  R(y)um resolvente binário de C1 e C2.

47. Resolução: Definições • Def.8  Um resolvente de cláusulas C1 e C2 é um dos seguintes resolventes binários: (i) um resolvente binário de C1 e C2 (ii) um resolvente binário de C1 e um fator de C2 (iii) um resolvente binário de um fator de C1 e C2 (iv) um resolvente binário de um fator de C1 e um fator de C2

48. Resolução: Definições • Exemplo: Sejam C1 = P(x)  P(f(y))  R(g(y)) C2 = ~P(f(g(a)))  Q(b) Um fator de C1 é: C1’ = P(f(y))  R(g(y)) Um resolvente binário de C1’ e C2 é: C = R(g(g(a)))  Q(b)

49. Resolução: Definições • Teorema 2: Se C é um resolvente de duas cláusulas C1 e C2 então C é consequência lógica de C1 e C2.

50. O Sistema Formal da Resolução • Def.9 O Sistema Formal da ResoluçãoR consiste de: • (i) Classe de linguagens • Para cada alfabeto de 1a ordem, o conjunto das cláusulas sobre este alfabeto. • (ii) Axiomas • Nenhum. • (iii) Regras de Inferência • Regra da Resolução definida como: • Se C’ e C’’ são cláusulas e C é um resolvente de C’ e C’’, então derive C de C’ e C’’