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第三章 证明 ( 三 )

第三章 证明 ( 三 ). 1. 平行四边形 ( 二 ). A. A. D. D. M. A. D. N. O. B. B. C. C. B. C. Q. P. 回顾 思考. 平行四边形的 性质. 定理 : 平行四边形的对边相等. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴AB=CD,BC=DA. 定理 : 平行四边形的对角相等. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. ′. 定理 : 平行四边形的对角线互相平分. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ CO=AO,BO=DO.

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第三章 证明 ( 三 )

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  1. 第三章 证明(三) 1.平行四边形(二)

  2. A A D D M A D N O B B C C B C Q P 回顾 思考 平行四边形的性质 • 定理:平行四边形的对边相等. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,BC=DA. • 定理:平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. ′ 定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴CO=AO,BO=DO. 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. ∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

  3. A A D D B B C C 回顾 思考 等腰梯形的性质 • 定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. • 在梯形ABCD中,AD∥BC, • ∵AB=DC, • ∴∠A=∠D, ∠B=∠C. • 定理:等腰梯形的两条对角线相等. • 在梯形ABCD中,AD∥BC, • ∵AB=DC, • ∴AC=DB.. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

  4. A A D D B B C C 回顾 思考 等腰梯形的判定 定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC. 定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AC=DB. ∴AB=DC. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

  5. 1 我思,我进步 A D 4 1 B 2 C 3 平行四边形的判定 • 定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. • 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA.. • 求证:四边形ABCD是平行四边形. • 分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化证明两组对边分别平行,从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的角相等. 证明:连接AC. ∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA, ∴ △ABC≌△CDA(SSS). ∴∠1=∠2, ∠3=∠4. ∴AB∥CD,CB∥AD. ∴四边形ABCD是平行四边形.

  6. 2 我思,我进步 A D 1 B 2 C 平行四边形的判定 • 定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. • 分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化证明两级对边分别相等,从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的边相等. ′ 证明:连接AC. 你还有几种不同的证法 ∵ AB∥CD, ∴ ∠1=∠2. ∵AB=CD,AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(SAS).. ∴BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形.

  7. 3 我思,我进步 A D 3 1 O B C 4 2 平行四边形的判定 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形的. 已知:如图,在四边形ABCD中, 对角线AC,BD相交于点O,CO=AO,BO=DO. 求证:四边形ABCD是平行四边形. • 分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化证明两级对边分别平行,从而用全等三角形来证明相应的角相等. 证明: ∵CO=AO,BO=DO,∠1=∠2, 你还有几种不同的证法 ∴△AOD≌△COB(SAS). ∴∠3=∠4. ∴AD∥CB. 同理,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形.

  8. 4 我思,我进步 A D B C 平行四边形的判定 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. 已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D. 求证:四边形ABCD是平行四边形. • 分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化证明两组对边分别平行.从而转化为相关的角关系来证明. ′ 证明: ∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=3600. ∴ 2∠A+2∠B=3600. ∴∠A+∠B=1800. ∴AD∥BC. 同理,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形.

  9. 5 我思,我进步 M 11-x P x-3 4 5 O x-5 N 做一做,想一想 已知:如图. 求证:四边形MNOP是平行四边形. 分析:这是一道综合性题目,利用勾股定理,方程和平行四边形的判定进行计算性推理可获证. ′ 证明: ∴四边形MNPO是平行四边形.

  10. 6 我思,我进步 D E C A F B 随堂练习 已知:如图,在□　ABCD中,BF=DE. 求证:四边形AFCE是平行四边形. 分析:由已知的平行四边形和BF=DE可知,CE=AF,则转化为利用一组对应边平行且相等来证明. 证明: ′ ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AB,DC=AB. ∵ DE=CF, ∴CE=AF, ∴四边形AFCE是平行四边形. 你还有几种不同的证法

  11. 7 我思,我进步 1 1 A 2 B 3 E P D C 随堂练习 已知:如图,在□ABCD中,∠ABC的平分线与AD相交于点P. 求证:PD+CD=BC. 分析:要证明两条线段的和等于另一条线段,可以将BC分割为两部分,来证明相应的线段相等.如将CD平移(过P作CD的平行线)到PE的位置,则可利用等角对等边来证明PE=BE,从而问题得证. 证明:过点P作PE∥CD,交BC于点E. ∵四边形ABCD是平行四边形, ′ ∴AB∥CD,AD∥BC. ∴PE∥CD∥AB, ∴ 四边形PDCE是平行四边形,∠1＝∠3.. ∴ PD=EC,PE=CD. ∵ ∠1＝∠2. ∴∠3＝∠2. ∴PE=BE. ∴PD+CD=BE+EC=BC.

  12. A A D D O B B C C 小结 拓展 平行四边形的判定 • 定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. • ∵AB=CD,AD=BC, • ∴四边形ABCD是平行四边形. • 定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. • ∵AB∥CD,AB=CD, • ∴四边形ABCD是平行四边形. ′ 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. • ∵AO=CO,BO=DO, • ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形. • ∵∠A=∠C,∠B=∠D. • ∴四边形ABCD是平行四边形.

  13. A D F 2 B C E 1 独立 作业 P76习题3.1 2题 1.已知:如图, AC,BD是□ABCD的两条对角线, AE⊥BD,CF⊥BD垂足分别是E,F. 求证:AE=CF. • 分析:要证明AE=CF,可转化全等三角形(△AED≌△CFB)的对应边来证明. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=CB,AD∥BC. 你还有几种不同的证法 ∴ ∠1=∠2. ∵∠AED=∠CFB=900, ∴△AED≌△CFB(AAS). ∴AE=CF.

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