計算の理論 II NP 完全

計算の理論 IINP完全 月曜4校時大月美佳

講義の前に • 今後の予定講義：1/30, 2/2 試験：2/9 • レポート回収：1/30までなので注意

今日の講義内容 • 予定 • 前回の復習 • 還元可能性 • NP完全 • 時間があれば決定問題の前振りくらい？

P, NP • P 決定性Turing機械によって多項式時間で受理される言語 • NP 非決定性Turing機械によって多項式時間で受理される言語 • P≠NP まだ証明されていない

Pの定義

NPの定義

PSPACE, NSPACE

NLOG, DLOG • 非常にわずかな領域しか使用しないTMによって受理される言語 NLOG=NSPACE(log n) DLOG=DSPACE(log n) • 包含関係 DLOG⊆NLOG⊆P⊆NP⊆PSPACE このうち証明されているのはNLOG⊆PSPACE のみ

問題 • 写像A: Σ*→{0, 1} アルファベットΣで表現された真偽問題(yes/no problem)、問題 Σ*の部分集合{x∈Σ*|A(x)=1} →AはΣ*上の言語 • 写像Aの複雑さ =言語{x∈Σ*|A(x)=1}を受理するTMの計算量

還元可能性 • 計算可能関数 f: Σ1*→Σ2* 言語 L1⊆Σ1*, L2⊆Σ2* それぞれTM M1 ,M2で受理すべてのx∈Σ1*に対して x∈L1 ⇔ f(x)∈L2 となるとき、 L1をL2に還元(reduce)できるという。 • x∈L1 の判定 M1 を走らせるかわりにf(x)がM2 で受理できるか調べる。

変換機 変換機(transducer) 1本の入力テープ(読みとりのみ) k本の作業テープ(読み書き可) 1本の書き出し専用テープ(左方向に動けない) 対数領域計算可能(log space computable) fが領域log2nで計算可能多項式時間計算可能(polynomial time computable) ある多項式p(n)とfが時間p(n)で計算可能

還元可能 対数領域還元可能 (log space reducible) L1≦logL2 (via f ) 多項式時間還元可能 (polynomial time reducible) L1≦pL2 (via f ) C≦logL0, C≦pL0 言語のクラスCがすべてのLについて L≦logL0, L≦pL0

NP完全、PSPACE完全、P完全 ≦log 完全、 ≦p 完全 • L0 ∈C • すべてのL∈Cに対してL≦logL0, L≦pL0 となる NP, P, PSPACEに対してそれぞれ≦log 完全(または≦p 完全)であるとき NP完全(NP-complete) PSPACE完全(PSPACE-complete) P完全(P-complete)

NP完全な問題 • 充足可能性問題(satisfiability problem) SAT={F|論理式Fは充足可能} • 和積標準形(conjunctive normal form) CNF={F∈SAT | Fは和積標準形} • 3和積標準形 3SAT={F∈SAT | Fは3和積標準形} • 頂点被覆問題(vertex cover) VERTEX COVER={(G, k) | k≧0は整数でGは大きさが高々kの頂点被覆を持つ}

P完全な問題 • and/orグラフの到達可能性問題(and/or graph accessibility problem) AGAP:特定のルールで石をand/orグラフの頂点におけるかどうか • 可解な経路システム問題(solvable path system problem) SPS:ある経路システムが可解な有限経路システムであるかどうか • 論理回路値問題(circuit value problem) CVP:論理回路の最終出力が1かどうか

最後に 開始 • 次回 • 来週1/30 14:20～15:50 • 決定問題まわり

計算の理論 II NP 完全

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