Διανύσματα & Γραφική

1. Διανύσματα & Γραφική

2. Περιεχόμενο Μαθήματος • Μαθηματική υποδομή διανυσμάτων και σύνδεσή τους με γραφικά αντικείμενα • Συσχέτιση γεωμετρικών και αλγεβρικών παραστάσεων • Παραμετρικά μοντέλα διανυσμάτων για γραμμές και ακτίνες • Εσωτερικό γινόμενο και χρήσεις αυτού • Εξωτερικό γινόμενο και χρήσεις αυτού • Τριπλό αριθμητικό γινόμενο και χρήσεις αυτού

3. Διανύσματα και Ορισμοί • Αριθμοί • Σημεία (Καρτεσιανές - Πολικές Συντεταγμένες) • Γραμμές-Γραμμικά τμήματα-Ακτίνες • Κύκλοι - Τόξα

4. Το διάνυσμα σαν μετακίνηση

5. Βασικές πράξεις διανυσμάτων • Πρόσθεση • Αφαίρεση • Αλλαγή μεγέθους (πολλαπλασιασμός με αριθμό)

6. Πρόσθεση

7. Αφαίρεση

8. Αλλαγή μεγέθους

9. Το μέτρο ενός διανύσματος Το μέτρο ενός διανύσματος W είναι _______________ |W|= w12+w22+….+wn2

10. Κανονικοποίηση διανυσμάτων Μοναδιαίο διάνυσμα |W|=1 ua=a/|a| |ua|=1

11. Γραμμικοί συνδυασμοί διανυσμάτων Ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων είναι της μορφής W=a1v1+a2v2+…+amvm Είναι κυρτός εάν a1+a2+…+am=1 και ai0

12. Το διάνυσμα-ακτίνα σαν κυρτός συνδυασμός p(t)= a(1-t) +bt = a+ct 1  t  0

13. Κυρτός συνδυασμός τριών διανυσμάτων q=a1v1+a2v2+(1-a1-a2)v3

14. Κυρτός συνδυασμός σημείωνΠαρεμβολή P(t)=(1-t)A+tB t= 0 /0.25/0.5/0.75/1

15. Κυρτό σύνολο σημείων στο επίπεδο και στο χώρο

16. Το Εσωτερικό Γινόμενο (EΣΓ)δύο Διανυσμάτων n d= w·v= wivi i=1

17. Ιδιότητες του ΕΣΓ Συμμετρία a·b=b·a Γραμμικότητα (a+c)·b=a·b+c·b Ομογένεια (sa)·b=s(a·b) |b|2=b·b

18. Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων cosθ=ua·ub=a·b/|a| |b|

19. Το Πρόσημο του ΕΣΓ

20. Προβολή και ανάλυση διανύσματος σε συνιστώσες

21. Εφαρμογή προβολής στην ανάκλαση

22. Εξίσωση καθέτου σε ευθεία και επίπεδο Για μια ευθεία L και για κάθε σημείο Α πάνω στην ευθεία, το ΕΣΓ n·a=D είναι σταθερό

23. xnx+yny=D

24. Εξίσωση καθέτου σε επίπεδο n·s=D

25. Έλεγχος θέσεως σημείου προς ημι-επίπεδο (Q-A)·n > 0 inside, (Q-A)·n = 0 on the line (Q-A)·n < 0 outside

26. Ψαλιδισμός γραμμής προς κυρτό παράθυρο

27. Διανύσματα τριών διαστάσεων Αριστερόστροφα & Δεξιόστροφα συστήματα αναφοράς

28. Το εξωτερικό γινόμενο (ΕΞΓ)

29. Γεωμετρική αναπαράσταση του ΕΞΓ

30. Το τριπλό αριθμητικό γινόμενο

31. Γεωμετρική αναπαράσταση

32. Εφαρμογές Η κάθετος στο επίπεδο των σημείων P1, P2, P3 n·r=D

33. Ελέγχοντας αν ένα πολύγωνο είναι επίπεδο a ·(bxc)=0 ?

34. Ελέγχοντας την φορά της στροφής T=k·(axb)  0 positive turn

35. Ελέγχοντας την κυρτότητα ενός πολυγώνου

36. Υπολογίζοντας την επιφάνεια ενός πολυγώνου