Harjoitustehtävät

1. Harjoitustehtävät Mereologia ja sen soveltaminen Laskuharjoitus 2 M. Keinänen

2. HT 6 A1. xy ((x ○ y) → z w ((w < z) ↔ ((w < x) Λ (w < y)))) ├ xy (¬ (x < y) → (z)((z < x) Λ¬ (z ○ x))) • ¬ (x < y) Apupremissi • (x ○ y) ν¬ (x ○ y) Tautologia • ¬(x ○ y) Apupremissi • x < x <, teoreema, US x/x • (z)(z < x) Λ¬(z ○ y) EG, lausel. 3, 4 • ¬(x ○ y) → (z)(z < x) Λ¬(z ○ y) CP 3,..5 • (x ○ y) Apupremissi • (x ○ y) → z w ((w < z) ↔ ((w < x) Λ (w < y))) US, A1 • z w ((w < z) ↔ ((w < x) Λ (w < y))) MP 7,8 • w ((w < a) ↔ ((w < x) Λ (w < y)) ES 9, a/z, a=axy

3. HT6 • (a < a) ↔ ((a < x) Λ (a < y)) US 10, a/w • (a < x) Λ (a < y) • (x < a) Vastaoletus • (x = a) <, teoreema 12,13 • (x < y) 14 IK, RR • ¬ (x < y) Λ (x < y) RR • ¬(x < a) CP 13, …16 • (¬(x < a) Λ (a < x)) → (a « x) US x/x, teoreema • (a « x) MP • (a « x) →(z)((z « x) Λ¬ (z ○ a) US a/x, y/y, PA 11 • (z)((z « x) Λ¬ (z ○ a) MP • (b « x) Λ¬ (b ○ a) ES 21 b/z • (t < a) ↔ ((t < x) Λ (t < y))

4. HT6 23. (b < x) Λ¬ (b ○ a) Lauselogiikka, Määr. 22 24. ( w)((w < b) Λ(w < y)) vastaoletus 25. (c < b) Λ(c < y) ES 24 c/w 26. (c < x) Λ(c < y) Määr., Lauselogiikka 23, 26 27. ((c < a) ↔ ((c < x) Λ (c < y)) US 10 c/w 28. (c < a) Lauselogiikka 26, 27 29. ¬ (b ○ a) Lauselogiikka 23 30. x ¬ ((x < b) Λ (x < a)) 29. Määr. 31. ¬ ((c < b) Λ (c < a)) US 30, c/b RR 25,28 32. ¬( w)((w < b) Λ(w < y)) 24, 31…. ¬24 33. ¬ (b ○ y) Määr. 32 34. (b < x) Λ¬ (b ○ y) 23, 33 lauselogiikka

5. HT6 • ( z) ((z < x) Λ¬ (z ○ y)) 34, EG, z/b • (x ○ y) → ( z) ((z < x) Λ¬ (z ○ y)) CP, 7-35 • ( z) ((z < x) Λ¬ (z ○ y)) CP, 2,6,36 • ¬ (x < y) → ( z) ((z < x) Λ¬ (z ○ y)) CP, 1-37 • xy (¬ (x < y) → (z)((z < x) Λ¬ (z ○ x))) UG 38 x/x, y/y