briciole

1. briciole di equazioni briciole di matematica Università della Liberetà 2007-’08 mbassi

2. capre e oche Problema con . . . • Nel cortile di una fattoria ci sono • si contano 160 zampe. Quante capre e quante oche vi sono? capre e oche Possiamo procedereper “tentativi” Capre oche 400 392 38 4 .. .. 0 80 il problema è “ aperto”

3. b) … e ci sono 47 teste. Quante capre e quante oche vi sono? procediamo ancora per “tentativi”: il problema èdeterminato

4. ancora un problema“aperto” A casa di un noto enigmista, Ugo Ics, abitante in via Mauri 36, si presenta un addetto del Comune per dei rilevamenti statistici. Alla domanda sul numero dei figli e sulla loro età il signor Ics risponde: “Ho tre figli di cui due gemelli e, caso strano, il prodotto delle loro età coincide con il numero civico della mia abitazione” Quali sono le età dei figli del signor Ics ? Soluzionipossibili 1. 1. 36 3. 3. 4 interi il cui prodotto è 36 … 2. 2. 9 1. 6. 6

5. il problema è ancora“aperto” L’addetto, prestandosi al gioco, dopo aver fatto alcuni conti chiede nuove informazioni, poiché quelle date non sono sufficienti. Il signor Ugo aggiunge allora che la somma delle tre età è dispari e, sorridendo, che il figlio maggiore ha gli occhi azzurri. Quali sono le età dei figli del signor Ics ? Soluzioni possibili ma … poiché la somma delle età è dispari, rimangono solo 2.2.9 – 1.6.6 e se il figlio maggiore ha gli occhi azzurri, sappiamo che il figlio maggiore non è gemello e quindi le tre età sono : 2 . 2 . 9 il problema è determinato

6. Nella risoluzione di un problema possiamo procedere con a) metodo enumerativo: prendere in esame tutti i casi e scegliere quello che è la soluzione Oss.il numero dei casi deve essere convenientemente piccolo. Un criterio potrebbe essere la verifica se ci sono i requisiti richiesti. Ad esempio, se si vuole cercare, in una pila di libri, la Divina Commedia, si esaminano tutti i libri finché non si è trovato quello che corrisponde al titolo se il numero dei casi da esaminare è “molto grande” b)metodo per tentativi: si sceglie un primo valore, lo si esamina per valutare la sua aderenza alla soluzione del problema; sulla base dell’esame precedente si esegue un nuovo tentativo possibilmente migliore del precedente e cosi via …

7. c) simulazione: metodo particolarmente indicato per problemi che hanno come obiettivo la “predizione” (es: predire quali saranno i prezzi del petrolio fra sei mesi) d) metodi diretti : consistono nel costruire una configurazione del problema e individuare una catena di relazioni tra le informazioni e la soluzione. I passi elementari ammessi sono quelli che risultano calcolabili e vanno dalle semplici operazioni aritmetiche ai più complessi calcoli matematici Questi metodi sono detti anchesimbolici,in quanto i passi successivi per la soluzione sono, in genere, formalizzati mediante simboli

8. equazioni LEPER RISOLVERE PROBLEMI Se, in un problema,si vuole determinare il valore di una grandezza, spesso il primo passo da fare è formalizzare il problema cioè riscrivere in formule il testo, utilizzando una che esprima la relazione tra i dati e l’incognita. equazione Successivamente si risolve il problema

9. consideriamo il problema capre e oche Se indichiamo con c il numero delle capre eo il numero delle oche, possiamo scrivere (1)c+ o= 47( 47 teste) e aggiungere che (2)4 xc+ 2 xo= 160( 160 zampe)

10. c+ o – o= 47- o 1° principio di equivalenza (1)c= 47- o (2) 4 x (47 –o)+ 2 xo= 160 188 – 4 xo + 2xo=160 188 -2xo=160 188 – 160 - 2 xo+ 2 xo = 160 - 160 + 2xo 1° pr. di equivalenza 2°pr.equiv. 28 = 2 xo 14 =o; c= 33 Lasoluzione del problema è:ci sono 33 capre e 14 oche

11. Ho a disposizione una certa somma S. Spendo inizialmente un terzo di S; dai due terzi rimanenti prelevo un  mezzo; dopo un po' di tempo tolgo  da ciò che rimane, un sesto. Mi rimangono 100 € . Qual è la somma iniziale? Chiamiamox:la somma S Spesa iniziale + primo prelievo ciò che rimane Considerazioni preliminari secondo prelievo 2°resto

12. Considerazioni preliminari 2°resto a) b) c) equazione da risolvere somma rimanente dopo i prelievi principio di equivalenza risultato:somma iniziale

13. Unaequazione è una formula aperta, definita in un insieme e il cui predicato è “ essere uguale” Un equazione contiene una o più incognite, indicate con lettere : essa diventa un uguaglianza vera o falsa a seconda dei valori che sostituiamo alle incognite Esempio Distingui tra le seguenti formule equazioni e uguaglianze. a) 3+2=1; b) 3+x=5; c) 2+a=a; d) x-x=0; e) (x+y)2 = x2+y2 f) 2•3 = 6 Formula aperta: frase che contiene una variabile

14. L’insieme delle soluzionidi un equazione è l’insieme dei valori che, sostituiti all’incognita, la trasformano in proposizione vera ESEMPI Determina l’insieme delle soluzioni delle seguenti equazioni a) x+6=1; b) x2=4; c) x-x=5; d) x-x=0 e) x+x=2x Due equazioni sono equivalentise hanno lo stesso insieme di soluzioni

15. equazioni IL PRINCIPIO DI EQUIVALENZA • addizionando o sottraendo lo stesso numero sia a sinistra sia a destra del predicato “ = “ si ottiene un’equazione equivalente • moltiplicando o dividendo per lo stesso numero diversoda zero sia a sinistra sia a destra del predicato “ = “ si ottiene un’equazione equivalente

16. esempio: consideriamo il seguente problema Con lo sconto del 15% ho pagato 60 € un paio di scarpe. Qual era il suo prezzo originario? indichiamo conp l’incognita p: prezzo originario Esprimiamo in forma algebrica l’ enunciato p – 15/ 100 p = 60 risolviamo l’equazione, moltiplicando dapprima per 100 100p – 15 p = 60 x 100 85p = 6000 p =6000 /85 P = 70.6 Il prezzo non scontato era di 70 euro e 60 centesimi

17. formalizza e risolvi il seguente problema: addizionando a un numero la sua metà, la sua terza parte e la sua quarta parte, si ottiene 25. Indichiamo con x il numero incognito perciò x/2 è la sua metà, la sua terza parte è x/3 …è x/4 L’equazione da risolvere allora è: x + x + x + x=2512x+6x+4x+3x = 25 2 3 4 12 25x = 25 x=12 12

18. ALTRI PROBLEMI • Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa il mattone? • La somma di tre numeri interi consecutivi è 20. Determinali • Sono dati cinque numeri diversi e ordinati in ordine crescente. La loro somma è 100 e ognuno è ottenuto dal precedente aggiungendo sempre uno stesso numero. Quali sono questi cinque numeri? • Determinare quel numero pari che addizionato al suo precedente numero pari e al suo successivo numero dispari dà se stesso aumentato di 15. • Un foglio di carta quadrato viene piegato a metà; si ottiene così un rettangolo che ha perimetro 18 cm. Calcola l’area del quadrato originario.

19. In un numero di due cifre quella delle decine supera di 4 unità quella delle unità e, invertendo l’ordine delle cifre, si ottiene un numero che è 4/7 del precedente. Qual è il numero dato? Il quadrato di un numero naturale x supera di n il quadrato del numero precedente. Trovare il numero • Un padre e un figlio hanno insieme 52 anni e l’età del figlio è 3/10 di quella del padre. Tra quanto tempo l’età del figlio sarà 11/25di quella del padre? • Un rettangolo ha l’altezza che è i 3/2 della base. Se si diminuisce la base di cm.1 e si aumenta l’altezza di cm.9 l’area aumenta di 3 cm2 . Calcolare la misura della base e dell’altezza

20. In un trapezio la base maggiore supera di m.3 la base minore, l’altezza è m.6 e la superficie misura m2 189. trovare le misure delle basi del trapezio Dalla formula A = (B + b) x h ricava B, b, h 2 • Il quadrante dell’orologio ha misteriosamente perso le lancette. Sapresti dire che ora sono? Sappi che un’ora fa erano passati dall’una e mezza quattro volte tanti minuti quanti mancano ora alle quattro. • Nel solito mazzo ordinato di 40 carte se ne fa scegliere una a uno spettatore; il valore della carta viene moltiplicato per 5, al risultato si addiziona 6, il nuovo risultato viene moltiplicato per 4, al nuovo risultato si addiziona 9,il nuovo risultato viene moltiplicato per 5, al nuovo risultato viene sottratto 165. Si ottiene un valore che viene diviso per 100; il numero trovato dà il valore della carta scelta. Perché?

21. Due ciclisti si muovono di moto uniforme, con velocità di 24km/h e 32km/h rispettivamente, nello stesso senso, su un percorso rettilineo. Quando il secondo dei due passa per il punto A, il primo ha già percorso 18 km. oltre quel punto.Si domanda: • a) il tempo che trascorre fra i passaggi dei due ciclisti per A • b) dopo quanto tempo, a partire dal passaggio del primo ciclista per A, questo verrà raggiunto dal secondo? Ricordiamo che s=v t + q (legge de moto rettilineo uniforme) punto di riferimento punto di partenza O A B q v t s

22. calcola mentalmente 128 + 71 + 32 + 47 + 12 =  26 ·15 =    84 ·9 = 84 • 99 =   12 • 4 = 12 • 7 =12 • 8 = 23 · 6 + 10 · 6 + 7 · 6 =  5 • 21 · 4 =   0.24 +2.5 + 0.06   + 7.5 + 0.7 =  

23. calcola mentalmente 128 + 71 + 32 + 47 + 12 = 160 + 71 + 59 = 160 + 130 26 ·15 =   26•10 + 26•5 = . . . 84 • 9 = 84 • 10 - 84 84 •99 = . . .       12 • 4 = 44 + 4 ; 12 • 7 =77 + 7;12 • 8 = . . . 23 · 6 + 10 · 6 + 7 · 6 = ( 23+7+10 ) • 6 = 240 5 • 21 · 4 =  84 • 5 = 420 0.24 +2.5 + 0.06   + 7.5 + 0.7 =  0,3 +  10  + 0.7 = 11

24. calcola mentalmente Calcolare il quadrato di un numero che termina per 5 15 x 15 = 225 25 x 25 = 625 2025 45 x 45 = 4225 65 x 65 = 95 x 95 = 9025 • • • • • C’è una regola?

25. calcola mentalmente Dimostrazione per un numero di due cifre (del tipo [10 a + 5] ) (10a+5) x (10a+5) = 100a²+ 50a + 50a + 25 = 100a²+ 100a + 25 = 100a² + 100a + 25 = 100ax(a + 1) + 25 = 100 (ax (a + 1) ) + 25 numeri consecutivi ESEMPIO 35 x 35 = 100(3X(3+1)) +25 =100 (3x 4) + 25 = 1225

26. Completa inserendo tra un numero e l’altro i simboli +, -, · , : , ( ) in modo che le uguaglianze siano vere 3 3 3 3 = 0 3 3 3 3 = 1 3 3 3 3 = 2 - - - - - - - - - - - - - - 3 3 3 3 = 10

27. Completa con le opportune parentesi in modo che le uguaglianze siano vere 2 + 2 : 2 + 2 • 2 = 2 2 + 2 : 2 + 2 • 2 = 7 2 + 2 : 2 + 2 • 2 = 8 2 + 2 : 2 + 2 • 2 = 10

28. briciole … di ma.te.ma.ti.ca f I n E f I n E f I n E