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实验三

实验三. 矩阵的特征值和特征向量 二次型. 实验目的. 1 、学会用 MATLAB 软件求矩阵的特征值和特征向量. 2 、学会用 MATLAB 软件将二次型化为标准型. 3 、通过用 MATLAB 软件编程来判断二次型的正定性. 一、特征值与特征向量. 用 Matlab 计算特征值和特征向量的命令如下：. d=eig(A). 仅计算 A 的特征值 ( 以向量形式 d 存放 ). 其中： D 为由特征值构成的对角阵， V 为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使 AV = VD 成立. [V,D]=eig(A). trace(A). 计算矩阵 A 的迹.

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Presentation Transcript

  1. 实验三 矩阵的特征值和特征向量 二次型

  2. 实验目的 1、学会用MATLAB软件求矩阵的特征值和特征向量 2、学会用MATLAB软件将二次型化为标准型 3、通过用MATLAB软件编程来判断二次型的正定性

  3. 一、特征值与特征向量

  4. 用Matlab计算特征值和特征向量的命令如下： d=eig(A) 仅计算A的特征值(以向量形式d存放) 其中：D为由特征值构成的对角阵，V为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使 AV=VD 成立 [V,D]=eig(A) trace(A) 计算矩阵A的迹

  5. 例1：求方阵 的特征值、特征向量和迹 解： >> A=[2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5]; >> [V D]=eig(A) >> trace(A)

  6. V = -0.2981 0.8944 0.3333 -0.5963 -0.4472 0.6667 -0.7454 0 -0.6667 >> trace(A) ans = 12 D = 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 10.0000

  7. 答： 特征值为：

  8. 例2：求方阵 的特征值、特征向量和迹 解： >> A=[4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1]; >> [V D]=eig(A) >> trace(A)

  9. 二、矩阵的相似对角化

  10. 例3：判断下列方阵是否可对角化。若可对角 化，求出可逆阵P，使P-1AP为对角阵。

  11. 解(1)： >> A=[4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1]; >> [V D]=eig(A) ans = 3 >> rank(V) V = 0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1.0000 -0.5774 0 D = 1 0 0 0 -2 0 0 0 1 答：A可对角化，且

  12. 解(2)： >> A=[0 1 0;-1 2 0;-1 1 1]; >> [V D]=eig(A) ans = 2 >> rank(V) V = 0 0.6325 0.4511 0 0.6325 0.4511 1.0000 0.4472 0.7701 D = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 答：A不可对角化。

  13. 下述函数可用来判断矩阵是否可对角化，若可对角化返回1，否则返回0。下述函数可用来判断矩阵是否可对角化，若可对角化返回1，否则返回0。

  14. return; end d=e(1); f=sum(abs(e-d)<10*eps); g=n-rank(A-d*eye(n)); if f~=g y=0; return; end e(find(abs(e-d)<10*eps))=[ ]; end function y=trigle(A) %可对角化返回1，否则返回0。 y=1;c=size(A); if c(1)~=c(2) y=0; return; end e=eig(A);n=length(A); while 1 if isempty(e)

  15. function y=trigle(A) %可对角化返回1，否则返回0。 y=1;c=size(A); if c(1)~=c(2) y=0; return end e=eig(A);n=length(A); while 1 if isempty(e) %若为空阵则为真

  16. return; end d=e(1); f=sum(abs(e-d)<10*eps); %特征值d的代数重数 g=n-rank(A-d*eye(n)); %特征值d的几何重数 if f~=g y=0; return; end e(find(abs(e-d)<10*eps))=[ ]; end

  17. 例4：判断下列方阵是否可对角化。若可对角 化，求出可逆阵P，使P-1AP为对角阵。

  18. 解(1)： >> A=[4 -3 1 2;5 -8 5 4;6 -12 8 5;1 -3 2 2] ans = 0 >> trigle(A) 答：A不可对角化。 解(2)： >> A=[1 1 1 1;1 1 –1 –1;1 –1 1 –1 ;1 –1 –1 1]; >> trigle(A) ans = 1 >> [P D]=eig(A)

  19. P = -0.5000 0.2113 0.2887 0.7887 0.5000 0.7887 -0.2887 0.2113 0.5000 -0.5774 -0.2887 0.5774 0.5000 0 0.8660 0 D = -2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000 答：A可对角化，且

  20. 二、 二次型化标准型

  21. 例5：判断下列矩阵是否对称 解： A=[1 3 4 6;3 7 9 5;4 9 4 1;6 5 1 0]; B=A'; if(A==B) fprintf('A是对称矩阵') elseif(A==-B) fprintf('A是反对称矩阵') else fprintf('A既不是对称矩阵，也不是反对称矩阵') end A是对称矩阵

  22. Matlab中二次型化成标准形的命令为： [ P , T ] = schur (A) [ P , T ] = eig (A) 其中： A 二次型矩阵(即实对称矩阵)； T 为 A 的特征值所构成的对角形矩阵； P 为 T 对应的正交变换的正交矩阵 ， P 的列向量为 A的特征值所对应的特征向量

  23. 例6：求一个正交变换，将二次型 化成标准形 解：该二次型所对应的矩阵为

  24. >> A = [1 1 0 –1; 1 1 –1 0; 0 –1 1 1;-1 0 1 1]; >> [ P , T ] = schur (A) [ P , T ] = eig (A) P = -0.5000 0.7071 0.0000 0.5000 0.5000 -0.0000 0.7071 0.5000 0.5000 0.7071 0.0000 -0.5000 -0.5000 0 0.7071 -0.5000

  25. T = -1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 3.0000 答：所作的正交变换为： 二次型的标准型为：

  26. 例7：求一个正交变换，将二次型 化成标准形 解：该二次型所对应的矩阵为

  27. >> A = [4 –2 2;-2 1 –1/2;2 –1/2 1]; >> [ P , T ] = schur (A) P = 0.5458 -0.0000 0.8379 0.5925 0.7071 -0.3859 -0.5925 0.7071 0.3859

  28. T = -0.3423 0 0 0 0.5000 0 0 0 5.8423 答：所作的正交变换为： 二次型的标准型为：

  29. 三、 正定二次型的判定

  30. 1. 顺序主子式判断法 ⑴ 求二次型 F=X’AX 的矩阵 A 的各阶顺序 主子式 Di (i=1,2,3…..); ⑵判断 Di是否大于0 . 程序：建立函数文件 shxu.m

  31. function [C,M] =shxu(A) % C为A的各阶顺序主子式组成的向量 % M为判定向量: if C(i)>0, then M(i)=1; % others M(i)=0 n=size(A); C=[ ]; M=[ ]; for i=1:n(1) A1=A([1:i],[1:i]); D=det(A1); C=[C D]; if D>0 m=1; else m=0; end M=[M,m]; end

  32. ⑴ 求二次型 f =X’AX 的矩阵 A 的全部特征 值 （i=1,2,……）； ⑵ 判断 是否大于 0 . 2、特征值判别法 程序：建立函数文件 tezh.m

  33. function [ T , M ] = tezh (A) n=size(A); T=(eig(A))’ ; M=[ ]; for i =1:n(1) if T(i)>0 m=1; else m=0; end M=[M,m]; end

  34. 例8判定下列二次型是否正定 解 二次型矩阵

  35. 方法一 顺序主子式 >> A = [1 –1 2 1;-1 3 0 –3;2 0 9 –6;1 –3 –6 19] ; >> [C,M] = shxu (A) C = 1 2 6 24 M = 1 1 1 1 答：此二次型是正定的。

  36. 方法二 特征值法 >> A = [ 1 –1 2 1;-1 3 0 –3;2 0 9 –6;1 –3 –6 19] >> [ T , M ] = tezh (A) T = 0.0643 2.2421 7.4945 22.1991 M = 1 1 1 1 答：此二次型是正定的。

  37. 例9判定下列二次型是否正定 解 二次型矩阵

  38. 方法一 顺序主子式 >> A = [9 –6 24;-6 130 –30;24 –30 71] ; >> [C,M] = shxu (A) C = 9 1134 6174 M = 1 1 1 答：此二次型是正定的。

  39. 方法二 特征值法 >> A = [9 –6 24;-6 130 –30;24 –30 71] ; >> [ T , M ] = tezh (A); T = 0.6576 65.0894 144.2530 M = 1 1 1 答：此二次型是正定的。

  40. 例10判定下列二次型是否正定 解 二次型矩阵

  41. 方法一 顺序主子式 >> A = [10 4 12;4 2 –14;12 –14 1] ; >> [C,M] = shxu (A) C = 10 4 -3588 M = 1 1 0 答：此二次型不是正定的。

  42. 方法二 特征值法 >> A = [10 4 12;4 2 –14;12 –14 1] ; >> [ T , M ] = tezh (A) T = -17.4209 10.1708 20.2501 M = 0 1 1 答：此二次型不是正定的。

  43. function [C,M] =shxu1(A) % C为A的各阶顺序主子式组成的向量 % M为判定向量: if C(i)>0, then M(i)=1; if C(i)<0, then M(i)=-1; others M(i)=0 n=size(A); C=[ ]; M=[ ]; for i=1:n(1) A1=A([1:i],[1:i]); D=det(A1); C=[C D]; if D>0 m=1; elseif D<0 m=-1； else m=0; end M=[M,m]; end

  44. function [ T , M ] = tezh1 (A) n=size(A); T=(eig(A))’ ; M=[ ]; for i =1:n(1) if T(i)<0 m=-1; else m=0; end M=[M,m]; end

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