170 likes | 548 Views
KELOMPOK 3 Matematika 5F MATERI : 4.4 MEMBANGUN DAN BEBAS LINIER NAMA KELOMPOK ELIN EKAWATI.S 08411.117 JOKO CAHYONO 08411.163 PURWANTI 08411.229 PUTRI ARUM 08411.230 PRISTIAN 08411.225. Himpunan pembangun atau perentang.
E N D
KELOMPOK 3 Matematika 5F MATERI: 4.4 MEMBANGUN DAN BEBAS LINIER NAMA KELOMPOK ELIN EKAWATI.S 08411.117 JOKO CAHYONO 08411.163 PURWANTI 08411.229 PUTRI ARUM 08411.230 PRISTIAN 08411.225
Himpunanpembangunatauperentang • JikaV adalahruangvektoratasmedanK , S = {V1, V2, …Vr} СV dank1, k2, …, kradalahskalar, bentukk1V1 + k2V2 + … + krVrdisebutkombinasi linear dariS. • a. Sp(S) = { k1V1 + k2V2 + … + krVr| Vi є S, kiє K }, himpunansemuakombinasi linear dariS. UntukS =Ø , didefinisikan Sp(S) = {0}. • b. Sp(S) adalahsubruangdariV; S disebuthimpunanpembangundari Sp(S).
Jikav1, v2, … , vradalahvektor-vektordidalamsebuahruangvektorV danjikatiap-tiapvektordidalamV dapatdinyatakansebagaikombinasi linear dari v1, v2, … , vrmakakitakatakanbahwavektor-vektorinimembangun/merentangV
Menentukan Kebebasan/Ketidakbebasan Linier MisalkanV ruangvektoratasmedanK danS = {v1, v2, … |vrє V}. S disebutbergantungan linear/ takbebas linear (linearly dependent) jikapersamaank1v1 + k2v2 + … + krvr= 0 menghasilkannilai-nilaikryang tidaksemuanya 0. Jikadalampersamaanitumemberikansemuakr= 0, makaS disebutbebas linear (linearly independent). Jikay = k1V1 + k2V2 + … + krVr, makadikatakan y bergantungan linear padaS. JikaS memuatvektornol, makaS bergantungan linear. JikaS bergantungan linear dan S СT , makaT jugabergantungan linear. Konversdari (4): JikaS bebas linear, makaS tidakmemuatvektornol; jikaS bebas linear danTС S, makaT bebas linear. JikaS1 diperolehdarihimpunanS denganmembuangvektor-vektor yang bergantunganpadaS, maka Sp(S1) = Sp(S)
Teorema Suatuhimpunan S denganduaataulebihvektoradalah: • Tidakbebas linier jikadanhanyajika paling tidaksalahsatuvektorpada S dapatdinyatakansebagaikombinasi linier darivektor-vektor lain pada S. • Bebas linier jikadanhanyajikatidakadavektorpada S yang dapatdinyatakansebagaisuatukombinasi linier darivektor-vektor lain pada S.
Bukti 1 • MisalkanS = {v1, v2, ……,vr} adalahsuatuhimpunandenganduaataulebihvektor. Jikakitamengasumsikanbahwa S tidakbebas linier, makaterdapatskalark1, k2, ……kr, yang tidaksemuanya nol. Sehingga : k1V1 + k2V2 + … + krVr= 0. untuklebihjelasnya, misal k1 ≠ 0. maka (2) dapatditulissebagai : yang menyatakan v1sebagaisuatukombinasi linier darivektor-vektor lain pada S.
Sebaliknya, jikakitamengasumsikanbahwa paling tidaksatuvektorpada S dapatdinyatakansebagaikombinasi linier darivektor-vektor lain. Untuklebihspesifiknya, misal : v1 = c2v2 + c3v3 +. . . . . crvr Sehingga v1 – c2v2 – c3v3- . . . . . - crvr = 0 Maka S tidakbebas linier karenapersamaan : k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0 Sehinggadipenuhioleh k1 = 1, k2 = -c2 . . . . .kr = -cr Yang tidaksemuanya nol. BuktiuntukkasusdimanabeberapavektorselainV1dapatdinyatakansebagaikombinasi linier darivektor-vektor lain pada S.
Teorema • Suatuhimpunanterhinggavektor-vektor yang mengandungvektornoladalahtidakbebas linier. • Suatuhimpunandengantepatduavektoradalahbebas linier jikadanhanyajikatidakadasatu pun darivektornyamerupakankelipatanskalardarivektorlainnya.
Bukti Untukvektor v1, v2, …… vrsembarang, himpunan S = {v1, v2, ….. Vr, 0} tidakbebas linier karenapersamaan 0v1 + 0v2 + . . . . 0vr + 1(0) = 0 menyatakan 0 sebagaisuatukombinasi linier darivektor-vektorpada S dengankoefisien-koefisien yang tidaksemuanya nol.
Kebebasan Linier pada R² dan R³ • Pada R² atau R³, suatuhimpunan yang terdiridariduavektoradlahbebas linier jikadanhanyajikavektor-vektortersebuttidakterletakpadagaris yang smaketikaditempatkansedemikianrupasehinggatitikawalnyaterletakpadatitikasal . a.tidakbebas linier b. tidakbebas linier c.bebas linier Z Z Z V2 V1 V1 V1 V2 Y Y V2 Y X X X
Teorema • Misalkan S = {v1, v2, . . . ,vr} adalahsuatuhimpunanvektor-vektorpadaRⁿ. Jika r > n, maka S tidakbebas linier.
Bukti • Misalkan : v1 = {v11, v12, . . . ., v1n} v2 = {v21, v22, . . . ., v2n} vr = {vr1, vr2, . . . ., vrn} perhatikanpersamaanini, k1V1 + k2V2 + … + krVr= 0 Jikakitamenyatakankeduaruasdaripersamaaninidalambentukkomponen-komponen , makakitaperolehsistempersamaan, V11k1,+V21k2+ . . . .+ Vr1kr = 0 V21k1+V22k2+ . . . .+Vr2kr = 0 V1nk1 + V2nk2 + . . . . + Vrnkr = 0 Inimerupakansistemhomogen yang terdiridari n persamaandengan r faktor yang tidakdiketahui k1, k2, . . . , kr. Karena r > n, makasesuaidenganteoremapertama, sistemtersebutmemilikisolusi-solusi non trivial.
Contoh soal 1. Tunjukkanbahwa v =(3,9,-4,-2) merupakankombinasi linier u1= (1,-2,0,3), u2 = (2,3,0,-1) dan u3= (2,-1,2,1) Jawab: Bila v merupakankombinasi linier dari u1, u2, dan u3, makadapatditentukan x, y dan z sehingga: v = xu1 + yu2 + zu3 (3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3)+ y(2,3,0,-1) + z (2,-1,2,1) (3,9,-4,-2) = (1x,-2x, 0x, 3x)+ (2y,3y,0y,-1y) + (2 z,-1z,2z,1z) (3,9,-4,-2) = (x+2y+2z, -2x+3y-z, 2z, 3x-y+z) Diperolehpersamaan: X+2y+2z=3 -2x+3y-z=9 2z=-4 3x-y+z=-2 Penyelesaian: x =1, y = 3 dan z = -2 Jadi v = u1 + 3u2 – 2u3 Jikasistempersamaandiatastidakmemilikipenyelesaianmaka v tidakdapatdinyatakansebagaikombinasi linier dari u1, u2, dan u3 danbebas linier.
TERIMA KASIH ^-^