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关于质点在有心力场中 运动问题的讨论

关于质点在有心力场中 运动问题的讨论. 作者：王华. 引子. 质点在有心力场中运动，其角动量守恒，机械能也守恒。有了这“两大法宝”，解决该类问题就容易多了，下面以一具体的例子来讨论该类问题。. 题目. 如力图 4 － 7 － 1 ，飞船总质量为 m, 内装质量为 m 0 的探测器，绕地球沿椭圆轨道运行，近地点与地心距离为 r1, 速度为 v1=. v1. r2. r1. v2. 力图 4 － 7 － 1. （ 1 ）试证明 ½<a<1.

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关于质点在有心力场中 运动问题的讨论

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Presentation Transcript

  1. 关于质点在有心力场中运动问题的讨论 作者：王华

  2. 引子 • 质点在有心力场中运动，其角动量守恒，机械能也守恒。有了这“两大法宝”，解决该类问题就容易多了，下面以一具体的例子来讨论该类问题。

  3. 题目 • 如力图4－7－1，飞船总质量为m, 内装质量为m0的探测器，绕地球沿椭圆轨道运行，近地点与地心距离为 r1,速度为v1= v1 r2 r1 v2 力图4－7－1

  4. （1）试证明 ½<a<1

  5. （2）如力图4－7－2，飞船在近地点向前发射探测器，并使探测器沿抛物线轨道运动，发射后，飞船沿圆轨道运行，试求：质量比m0/m及发射探测器的相对速度u。（2）如力图4－7－2，飞船在近地点向前发射探测器，并使探测器沿抛物线轨道运动，发射后，飞船沿圆轨道运行，试求：质量比m0/m及发射探测器的相对速度u。 u+v1’ v1 m0 m v1’ m-m0 发射前 发射后 力图 4－7－2

  6. （3）如力图4－7－3，若在远地点以上述相对速度u发射探测器，试求探测器运行的轨道。（3）如力图4－7－3，若在远地点以上述相对速度u发射探测器，试求探测器运行的轨道。 m-m0 m v2’ m0 v2 u+v2’ 发射前 发射后 力图 4－7－3

  7. 分析 • 1.飞船绕椭圆轨道运行时，角动量守恒，机械能守恒，它们确定了飞船的运动特征，限制了a的取值。 • 2.发射探测器前后，飞船（包括探测器）动量守恒。发射后，探测器沿抛物线运动，其机械能应为零，飞船（不包括探测器）作圆轨道运动所需向心力来自地球引力。 • 3.发射探测器前后，飞船（包括探测器）动量守恒，探测器轨道的特征由其机械能E确定，E<0为椭圆或圆轨道，E=0为抛物线，E>0为双曲线。

  8. 解答 • 1.直接求a显然很困难,但由于飞船轨道受约束的特性,可解出远近地点与地心的距离r2与r1的约束关系,根据它们的关系解出 a的取值范围。 飞船绕地球作椭圆轨道运动,设在远地点r2处的速度为v2:

  9. 由角动量守恒 mr1v1=mr2v2 即 mr1 = mr2v2 (1) 由飞船地球系统的机械能守恒 ½m(2aGM/r1)-GMm/r1 = ½mv22-GMm/r2 (2)

  10. 由(1) (2)解得: (r1/r2)2-(r1/r2)/a+1/a-1=0 解出两个根｛ 其中r1/r2=1为圆轨道,不合题意,舍去. 应取 r1/r2=(1-a)/a 由于 0<r1/r2<1 故有 ½ < a <1 r1/r2=1 r1/r2=(1-a)/a

  11. 2．飞船发射探测器前速度为v1,设发射后飞船速度为v1’,设探测器相对飞船得速度为u,由动量守恒，2．飞船发射探测器前速度为v1,设发射后飞船速度为v1’,设探测器相对飞船得速度为u,由动量守恒， mv1 = (m-m0)v1’+m0(u+v1’) (1) 发射后，探测器沿抛物线运动，总机械能为0。即 E = 1/2*m0(u+v1’)2-GMm0/r1 = 0 (2) 发射探测器后，飞船作圆运动，故 GM(m-m0)/r12 = (m-m0)v1’2/r1 式中M为地球质量，即 v1’ = = v1/ (3)

  12. 由（1）式 mv1 = mv1’+m0u 即 u = m/m0(v1-v1’) (4) 由(2)(3)式，得： (u+v1’)2-2v1’2 = 0 即 u2+2uv1’-v1’2 = 0 把（4）式代入上式，得出m/m0满足得方程为 (m/m0)2(v1-v1’)2+2(m/m0)(v1-v1’)v1’-v1’2 = 0 舍去负根后，解出： m/m0 = ( -1)v1’/(v1-v1’)

  13. 将（3）式代入，得 m/m0 = ( -1)/( -1) 所以质量比为 m0/m = ( -1)/ ( -1) (5) 代入（4）式，得出探测器得相对速度为

  14. 3.飞船及探测器在发射探测器前在远地点得速度为v2,在近地点得速度为前述v1,作椭圆轨道运动，由角动量守恒，3.飞船及探测器在发射探测器前在远地点得速度为v2,在近地点得速度为前述v1,作椭圆轨道运动，由角动量守恒， mr1v1 = mr2v2 即 v2=(r1/r2)v1 设飞船在远地点以上述相对速度 u发射探测器后，飞船得速度变为v2’,则探测器得速度应该为v2’+u,由动量守恒得： mv2 = (m-m0)v2’+m0(v2’+u) 即 mv2 = (m-m0)(u+v2’)-(m-m0)u+m0(u+v2’)

  15. 故发射后探测器的速度为 u+v2’ = [mv2+(m-m0)u]/m = v2+(1-m0/m)u (6) 式中的相对速度 u前已求出， 利用已知的关系 v1 = (r2/r1)v2 r1/r2 = (1-a)/a 可将u用v2表示，得：

  16. 代入（6）式，并注意到m0/m已由（5）式 给出，有

  17. 因 故 式中

  18. 令 探测器轨道得类型可根据其总能量E来判断 E=1/2mv2-GMm/r 其中v探测器速度可写成

  19. 对于椭圆轨道，E<0,b<1；对于抛物线轨道 E=0,故b=1;对于双曲线轨道，E>0,b>1.因此 探测器轨道得类型可由b的值来判断。 由前1/2<a<1,可用对y的定义判别 当 y<0, b<1, 为椭圆轨道 y=0, b=1, 为抛物线轨道 y>0,b>1, 为双曲线轨道

  20. 把（7）展开并化简 因前已得出1/2 < a < 1, 故y<0 探测器将沿椭圆轨道运动

  21. 小结 • 通过对上题的具体的讨论，我们对质点在有心力场中的运动有了比较清晰的认识，当然设计到天体问题，通常运算量比较大，需要我们有足够多的细心和耐心，才能把这类问题解答好。

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