实验四函数的迭代、混沌与分形

实验四函数的迭代、混沌与分形

实验目的 • 理解迭代的基本含义 • 掌握迭代数列的系列图形表示方法 • 以一类特殊二次函数（Logistic函数）为例，掌握二次函数迭代数列的收敛性分析方法 • 熟悉编写函数迭代的Matlab程序 • 了解二元函数迭代的方法及其图形特征

实验四函数的迭代、混沌与分形 1、定义给定某个初值，反复作用以同一个函数的过程称为迭代，一般形式为它生成了一个序列{ }，称为迭代序列．

2、迭代序列的收敛性 • 设函数满足： • (1)对任意； • 在( )内可导，且存在常数使得 • 则当初值时，由生成的迭代序列收敛．问题1：如果迭代序列收敛，收敛点会满足怎样的条件？

3.分式线性函数的迭代 例：先取初值x0=5.5 f=inline('(25*x-85)/(x+3)');%先定义函数 x0=5.5; for i=1:1:20 x0=f(x0); fprintf('%g,%g\n',i,x0); end

迭代次数 迭代序列迭代次数迭代序列

取其它的初值做试验

例1 用分式函数的迭代法近似计算 结论：只要初值不取为5，迭代序列总收敛于17。易知，f(x)的不动点恰好是17与5。5称为排斥点，17称为吸引点。问题2 为何17是吸引点，5是排斥点？

4.迭代的可视化（蜘蛛网图）

f=inline('(25*x-85)/(x+3)'); x=linspace(1,202,202);y=linspace(1,202,202); x(1)=5.5; y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=x(1); for i=1:100 x(1+2*i)=x(2*i); y(1+2*i)=f(x(1+2*i)); x(2+2*i)=y(1+2*i); y(2+2*i)=y(1+2*i); end plot(x,y,'r'); hold on; syms x y; y=x; ezplot(x,[0,20]); ezplot(f(x),[0,20]); axis([0,20,0,20]); hold off

5. 认识混沌 迭代序列如果不收敛，会出现什么情况？ 1. 迭代次数充分大时，迭代序列出现周期性重复 k称为该序列的周期 2. 序列没有规律、杂乱无章，称之为混沌．例

6.人口增长的Logistic模型 称为Logistic映射

7. Feigenbaum图 对于Logistic 映射，取a=2.5，我们通过离散图形观察迭代的收敛情况。 syms x; f=inline('2.5*x*(1-x)'); x0=0.12; for i=1:1:10 plot(i,f(x0),'.'); x0=f(x0); hold on; end; hold off ％i换成2.5会怎样？进一步的，此句前加上“if i>50”,后加上“end;”

一个试验：首先取a的值为3，在(0，1)中随机取一数x0作为初值进行迭代，共迭代300次左右，丢弃起始的100次迭代的数据，在图上绘出所有的点( a , xn )) (>100)．然后慢慢地增加a值，每增加一次，都重复前面的步骤，一直增加到a= 4为止，这样得到的图形，称为Feigenbaum图．

logistic=inline('u*x*(1-x)'); x0=0.5; for u=3.0:0.01:4 for i=1:300 x0=logistic(u,x0); if i>100 plot(u,x0,'k','linewidth',1); hold on; end; end; end; hold off

8.二维迭代与分形 由两个二元函数与取初值( )构成的迭代称为一个二维迭代．

例1 函数与 ，取a =3.1、初值为(1.2,0) a=3.1;xn=1.2;yn=0; for n=1:100 xN=xn; yN=yn; xn=yN-sin(xN);yn=a-xN; plot(xn,yn,'k*'); axis([-5,7,-5,7]); hold on; pause(0.1); end; hold off

实验四 函数的迭代、混沌与分形