1 / 92

TENZORJI

TENZORJI. Fizikalne zakone v mehaniki kontinuuma moramo vpeljati v obliki, ki je neodvisna od koordinatnega sistema. POGLAVJE 2, DEL A. DEL A: INDEKSI. INDEKSI. Obravnavajmo vsoto. Napišimo jo na kompakten način. Naslednje enačbe imajo povsem enak pomen. EINSTEINOVA KONVENCIJA SEŠTEVANJA.

aelwen
Download Presentation

TENZORJI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. TENZORJI Fizikalne zakone v mehaniki kontinuuma moramo vpeljati v obliki, ki je neodvisna od koordinatnega sistema. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  2. POGLAVJE 2, DEL A MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  3. DEL A: INDEKSI INDEKSI Obravnavajmo vsoto Napišimo jo na kompakten način Naslednje enačbe imajo povsem enak pomen MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  4. EINSTEINOVA KONVENCIJA SEŠTEVANJA Če se indeks ponovi dvakrat, se po njem sešteva. V okviru te konvencije naslednji izrazi niso definirani. Se pravi, da moramo za seštevanje tovrstnih izrazov uporabiti MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  5. V nadaljevanju za indeks definiramo vedno vrednost Tako velja Konvencijo seštevanja lahko uporabimo za seštevanje dvojne vsote, trojne vsote, itd. Tako lahko napišemo ali To v celoti ekspandirano daje devet členov MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  6. Vsoto sedemindvajsetih členov dobimo, če napišemo ali PROSTI INDEKSI Obravnavajmo naslednji sistem treh enačb MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  7. Indeks, ki se pojavi le enkrat v enačbi imenujemo prosti indeks. Če ne definiramo drugače, ima prosti indeks vrednosti 1,2,3. Preprosta enačba za definiranje komponent vektorja je Preprosta enačba za definiranje vektorja z njegovimi komponentami je Kartezijev koordinatni sistem kasneje v tekstu definiramo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  8. Obravnavajmo naslednji primer Ta primer v dolgi obliki predstavlja Prosti indeks, ki nastopa v kateremkoli členu enačbe mora biti enak. Naslednje enačbe imajo smisel ali MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  9. V primeru, da v enačbi kot sledi, nastopata dva prosta indeksa Potem je zgornji izraz okrajšava za devet enačb MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  10. KRONECKERJEVA DELTA Matrika Kroneckerjeve delta je identična matrika MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  11. Velja tudi Velja tudi MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  12. Velja tudi Če imamo ortogonalne pravokotne vektorje velja (to smo uporabili smo že prej) MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  13. PERMUTACIJSKI SIMBOL Permutacijski simbol definiramo kot indekse premikamo v eno ali drugo smer dva indeksa zamenjamo med seboj MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  14. Opazimo Če je so bazni vektorji desnosučni, velja Omenjeno napišemo v skrajšani obliki kot MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  15. Naj velja Potem velja Dokažemo lahko tudi naslednjo koristno enakost, ki jo večkrat uporabljamo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  16. MANIPULACIJE Z INDEKSI Substitucija: drugo enačbo spravimo v prvo enačbo Spremenimo prosti indeks v izrazu Tako dobimo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  17. Množenje: To ne pomeni prav nič, ker se indeks 4x ponovi! Ta izraz sploh ni definiran! To je O.K. Pazimo, da se indeks ne ponovi tam, kjer ni smiselno, da se ponovi. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  18. Skalarni produkt: Ekvivalentno. Ampak, en indeks smo morali spremeniti iz i v j ali j v i V primeru, da so bazni vektorji pravokotni, velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  19. Urejanje množenja (faktorizacija): Z uporabo Kroneckerjeve delte lahko napišemo Nato dobimo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  20. Krajšanje izrazov: drugo enačbo seštejemo diagonalnih indeksih MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  21. POGLAVJE 2, DEL B MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  22. DEL B: TENZORJI TENZORJI – LINEARNE TRANFORMACIJE Naj bo tranformacija, ki transformira katerikoli vektor v in v . Napišimo predstavlja linearno transformacijo, če velja: in sta poljubna vektorja, je poljuben skalar MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  23. Linearno transformacijo lahko definiramo tudi takole Če dva tenzorja in transformirata poljubni vektor na identični način, sta oba tenzorja enaka. Vendar velja poudariti, da dva različna tenzorja lahko transformirata specifična vektorja (ne pa poljubna vektorja) na identičen način. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  24. KOMPONENTE TENZORJA Transformirajmo komponente baznih vektorjev Kartezijevega koordinatnega sistema tak je dogovor! Komponente tenzorja lahko razvrstimo v matriko na naslednji način vrstice gredo v stolpce! To je matrika tenzorja glede na bazne vektorje . MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  25. Velja Sledi Te enačbe lahko smatramo tudi kot definicijske enačbe za komponente tenzorja. Komponente tenzorja zavisijo od izbire koordinatnega sistema. v sistemu “črtica” so te komponente drugačne MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  26. KOMPONENTE TRANSFORMIRANEGA VEKTORJA Komponente vektorja so glede na koordinatni sistem MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  27. ALTERNATIVNA IZPELJAVA Z INDEKSI Če uporabimo indekse, lahko zapišemo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  28. TENZORSKA IN MATRIČNA ENAČBA tenzorska enačba matrična enačba je povsem enake oblike Zato smo za konvencijo za tenzorsko enačbo privzeli V primeru, da bi definirali ta izbira ne bi bila tako normalna kot prva zgoraj MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  29. VSOTA TENZORJEV Vsota dveh tenzorjev in je za katerikoli vektor definirana kot Komponente so V matričnem zapisu imamo tenzorska vsota je konsistentna z matrično vsoto. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  30. PRODUKT DVEH TENZORJEV Produkt dveh tenzorjev in je za katerikoli vektor definiran kot transformacija asociativnost Komponente transformacije so V matrični obliki Produkt dveh tenzorjev v splošnem ni komutativen. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  31. V primeru, da imamo tri tenzorje , lahko izpeljemo Tenzorski produkt je asociativen Definirajmo še MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  32. TRANSPONIRANJE TENZORJA Transponirani tenzor tenzorja , ki ga označujemo s , definiramo kot tenzor, ki ustreza naslednji identiteti za vse vektorje in : Namesto poljubnih vektorjev smo vstavili bazna vektorja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  33. DIADNI PRODUKT VEKTORJEV Diadni produkt vektorjev in , označen kot ali , je definiran kot transformacija, ki transformira vektor glede na predpis Iz prejšnjih definicij velja: Zaradi tega je diadni produkt linearna transformacija. Izračunajmo komponente diadnega produkta dveh vektorjev MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  34. Diadni produkti baznih vektorjev so MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  35. Vsak tenzor lahko izrazimo kot MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  36. SLED TENZORJA Sled tenzorja je skalar, ki upošteva naslednja pravila (1) (2) (3) Uporabimo To pomeni Očitno velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  37. IDENTIČNI TENZOR IN INVERZNI TENZOR Linearno transformacijo, ki transformira katerikoli vektor v samega sebe imenujemo identični tenzor . Tako velja tudi Kartezijeve komponente identičnega tenzorja so zato MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  38. Za vsak tenzor velja potem velja tudi Če velja in če obstaja tenzor Če imamo tenzor tako, da potem imenujemo in zapišemo inverzni tenzor tenzorju MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  39. Iskanje komponent inverznega tenzorja je ekvivalentno iskanju komponent inverzne matrike Inverzna matrika obstaja, če je determinanta različna od 0 Inverzni tenzor zadovoljuje naslednje ralacije Pokažemo lahko naslednje MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  40. V primeru, da obstaja inverzni tenzor, lahko zapišemo V primeru, da obstaja inverzni tenzor, obstaja enolična transformacija vektorjev in . V primeru, da ne obstaja inverzni tenzor, obstaja več vektorjev , ki se transformirajo v vektor . MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  41. ORTOGONALNI TENZORJI Ortogonalni tenzor predstavlja linearno transformacijo, pri kateri transformirani vektorji ohranjajo svojo dolžino in medsebojni kot. Po definiciji velja dolžina vektorja dolžina vektorja Zato velja Iz definicije transponiranega tenzorja sledi MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  42. Ker sta vektorja poljubna, sledi Pri vseh ortogonalnih tenzorjih je inverzni tenzor enak transponiranemu tenzorju MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  43. Zaradi tega velja V matričnem zapisu je zgornja enačba Notacija z indeksi pa je Determinanta matrike kateregakoli ortogonalnega tenzorja je lahko +1 ali -1 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  44. TRANSFORMACIJSKA MATRIKA MED DVEMA PRAVOKOTNIMA KARTEZIJEVIMA KOORDINATNIMA SISTEMOMA Imejmo dva Kartezijeva koordinatna sistema Oba sistema sta povezana z ortogonalnim tenzorjem ali MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  45. Opazimo naslednje Matriko teh smernih kosinusov imenujemo transformacijsko matriko MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  46. TRANSFORMACIJSKI ZAKONI ZA KARTEZIJEVE KOMPONENTE VEKTORJA Imejmo poljubni vektor . Komponente tega vektorja glede na Kartezijeva koordinatna sistema so Velja V matrični obliki je zgornja enačba ali MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  47. TRANSFORMACIJSKI ZAKONI ZA KARTEZIJEVE KOMPONENTE VEKTORJA sta matriki istega vektorja je matrika vektorja glede na bazo je matrika vektorja glede na bazo sta različna vektorja, povezana z MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  48. TRANSFORMACIJSKI ZAKONI ZA KARTEZIJEVE KOMPONENTE TENZORJA Imejmo poljubni tenzor . Komponente tega tenzorja glede na Kartezijeva koordinatna sistema so Velja V matrični obliki je zgornja enačba MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  49. TRANSFORMACIJSKI ZAKONI ZA KARTEZIJEVE KOMPONENTE TENZORJA ali Izrazimo lahko komponente tenzorja brez črtice s komponentami tenzorja s črtico MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

  50. sta matriki istega tenzorja sta različna tenzorja, povezana z Spodnja enačba povezuje komponente istega tenzorja. Spodnja enačba povezuje dva različna tenzorja. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS

More Related