ÜNİTE I

1. ÜNİTE I • MANTIK • 1. ÖNERMELER • a. Mantık • b. Terim,tanımlı ve tanımsız terimler • c. Önermenin tanımı sembolle gösterim • ç. Önermenin doğruluk değeri • d. Önermenin doğruluk değerleri tablosu • e. Denk (eşdeğer) önermeler • f. Bir önermenin değili (olumsuzu)

2. BİLEŞİK ÖNERMELER • a. Bileşik önermeler • b. Veya (V) bağlacı ile kurulan bileşik önermeler ve özelikleri • c. Ve (Λ) bağlacı ile kurulan bileşik önermeler ve özelikleri • d. (V) ve (Λ) işlemlerinin birbiri üzerine dağılma özeliği • e. De Morgan (Dö Morgan) kuralları • f. Totoloji ve çelişki

3. Koşullu (şartlı) önermeler • I. ise (⇒) bağlacı ile kurulan bileşik önermeler • II. Koşullu önermenin karfşıtı, tersi, karşıt tersi • III. Koşullu önerme ile ilgili özelikler • IV. Ancak ve ancak (⇔) bağlacı ile kurulan iki yönlü koşullu önermeler • V. iki yönlü koşullu önerme ile ilgili özelikler

4. AÇIK ÖNERMELER • a. Açık önermeler • b. Açık önermenin doğruluk (çözüm) kümesi • c. Niceleyiciler • I. Evrensel niceleyici (her) • II. Varlıksal niceleyici (bazı) • III. Niceleyicilerin değili

5. İSPAT YÖNTEMLERi • a. Tanım • b. Aksiyon • c. Teorem • d. İspat yöntemleri • I. Doğrudan ispat yöntemi • II. Olmayana ergi ile ispat yöntemi • III. Deneme yöntemi ile ispat • IV. Aksine örnek verme yöntemi ile ispat • V. Tümevarım yöntemi ile ispat • VI.Tümden gelim yöntemi ile ispat

6. BU ÜNİTENİN AMAÇLARI • * Önermelerle ilgili temel kavramların bilgisi olan terimi, tanımlı ve tanımsız terimleri • örneklerle açıklayabilecek, • * Önermenin tanımını, sembolle gösterimini, doğruluk değerini, iki önermenin • denkliğini açıklayabilecek ve doğruluk değerleri tablosu yapabilecek, • * Bir önermenin değilini açıklayabilecek, • * Birleşik önermeyi açıklayabilecek, • * “ Ve”, “veya”, bağlaçları ile kurulan birleşik önermelerin özelliklerini açıklayabilecek, • * De Morgan kuralları ile totoloji ve çelişkiyi doğruluk tablosu yaparak gösterebilecek,

7. * Koşullu önermeleri açıklayabilecek, iki yönlü koşullu önerme ile koşullu önermeler • arasındaki ilişkiyi ve özelikleri açıklayabilecek, • * Açık önermeyi ve doğruluk kümesini açklayabilecek, • * Evrensel ve varlıksal nieceleyicilerini örneklerle açıklayabilecek, bu niceleyecileri • içeren önerme ve bileşik önermelerin olumsuzunu yazabilecek, • * Verilen bileşik önermede, terim, aksiyom, teorem ve ispat kavramlarını açıklayabilecek, • * Bir teoremin hipotezini ve hükmünü belirtebilecek, bir teoremin karşıtını, tersini, • karşıt tersini, yazabilecek, • * İspat yöntemlerini açıklayabileceksiniz.

8. Mantık, doğru düşünme bilimidir. Doğru düşünme ve doğru yargıya, mantık kuralları • ile ulaşılır. • Matematiğin amacı, doğru ve sistemli düşünebilmeyi kazandırmaktır. Mantık • Kuralları bilinmeden, matematiğin amacına ulaşılamaz.

9. Mantığa matematiksel yapı kazandıran ingiliz bilim adamı George Boole’dir. • Boole’ün ortaya koyduğu sistem, sembolik mantık adıyla anılır. Biz, bu bölümde • matematiğin dilini oluşturmak amacıyla, sembolik mantığın temel kurallarını • inceleyeceğiz.

10. Terim, Tanımlı ve Tanımsız Terimler • Bir bilim dalı içerisinde, konuşma dilinden farklı anlamı (özel anlamı) olan sözlüklerden • her birine, o bilim dalının bir terimi denir.

11. Bir terimin anlamını belirtmeye, terimi tanımlamak denir. • Üçgen, çember, doğru parçası birer matematiğin tanımlı terimleridir. • Bazı terimleri tanımlayamayız. Sezgi yolu ile bu terimleri kavrarız. Bu tür terimlere • tanımsız terim denir. • Nokta, doğru, düzlembirermatematiğin tanımsız terimidir.

12. Önermenin Tanımı, Sembolle Gösterimi • Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere, önerme denir. Önermeler • genel olarak p, q, r, s, vb. gibi harflerle gösterilir.

13. p : “Türkiyenin başkenti Ankara’dır.” • q : “Bir yıl 12 aydır.” • r : “İyi günler.” • s: “Tavuk dört ayaklı bir hayvandır.” • Burada p, q ve s ifadeleri birer önermedir. Çünkü doğru veya yanlış bir hüküm • bildirmektedir. r ifadesi ise bir önerme değildir. Kesin olarak, doğru veya yanlış bir • hüküm bildirmemektedir.

14. Önermenin Doğruluk Değeri • Bir önerme do¤ru ise doğruluk değeri “1” veya “D” ile, önerme yanlış ise doğruluk • değeri “0” veya “Y” ile gösterilir.

15. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerini belirtelim • p: “Bir gün 24 saattir.” • q: “9 asalbir sayıdır.” • r: “Adana Ege bölgesindedir.” • s: “Eşkenar üçgenin bütün kenarlarının uzunlukları eşittir.” • Burada ki p, q ve s önermeleri doğrudur. Doğruluk değerleri “1”dir. r önermesi ise • yanlıştır. Doğruluk değeri “0” dır.

16. Aşağıda verilen önermelerin, doğruluk değerlerini bulalım. Bu önermelerden, • birbirine denk olanları ≡ sembolü ile denk olmayanları ise ≡ sembolünü kullanarak • gösterelim. • p : “En küçük doğal sayı sıfırdır.” • q : “Bir tek ve bir çift doğal sayının çarpımı, tek doğal sayıdır.” • r : “Köpek memeli bir hayvandır.” • s : “Dikdörtgenin bütün kenarları, birbirine eşittir.” • Verilen önermelerin doğruluk değerleri için, p ≡ 1, q≡ 0, r ≡1 ve s ≡ 0 dır. • O halde, p ≡ r, q ≡ s, p ≡ q, p ≡ s, q ≡ r yazabiliriz.

17. Bir Önermenin Değili (Olumsuzu) • Verilen bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle, elde edilen yeni önermeye, bu • önermenin değili (olumsuzu) denir. • Bir p önermesinin değili p′, p ya da ~p sembollerinden birisi ile gösterilir. • “p nindeğili” diye okunur.

18. BİLEŞİK ÖNERMELER • Bu bölümde, “veya”, “ve”, “ise”, “ancak ve ancak” bağlaçlarını kullanarak yeni • önermeler oluşturacağız. • iki veya daha çok önermenin, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi bağlaçlarla • bağlanmasından elde edilen yeni önermelere, bileşik önermeler denir. • Bileşik olmayan önermelere de basit önerme denir. • Önermeleri birbirine bağlayan, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi terimlere • mantıksal bağlaç denir. Bu bağlaçlarla birbirine bağlanan önermelere, bileşik önermenin • bileşenleri denir.

19. Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, bu basit önermelerin “veya” • bağlacı ile bağlanmasından meydana gelen bileşik önermeye, p veya q bileşik önermesi • denir. pVq şeklinde gösterilir. • pVq bileşik önermesinde, bileşenlerden en az birisi doğru iken doğru, ikisi de • yanlış iken yanlıştır. • pVq bileşik önermesinin doğruluk değerleri tablosu, aşağıdaki şekilde yapılmıştır. • Bu tablodan görüldüğü gibi, 1V1 ≡ 1, 1V0 ≡ 1 , 0V1 ≡ 1, 0V0 ≡ 0 olduğu görülmektedir.

20. p: “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölüdür.” • q: “Her çift sayı 2 ile bölünür.” önermeleri veriliyor. Bu önermeler için pVq bileşik • önermesini yazalım ve doğruluk değerini bulalım. • pVq : “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölü veya her çift sayı 2 ile bölünür.” diye yazılır. • p ve q önermeleri doğru önermelerdir. Buna göre, pVq ≡ 1V1 ≡ 1 olup, bu bileşik • önerme doğrudur.

21. Veya Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermelerin Özelikleri • Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun. Bu önermeler için aşağıdaki özelikler vardır. • 1. pVp ≡ p (Tek kuvvet özelliği) • 2. pVq ≡ q V p (Değişme özeliği) • 3. p V (q Vr) ≡ ( p V q ) Vr (Birleşme özelliği) • 4. pV1 ≡ 1 ve pV0 ≡ p

22. Verilen [(1V0) V0] V (1V0) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım. • Verilen [(1V0) V0] V (1V0) ≡ (1V0) V1 ≡ 1V1 ≡ 1 olur. • O halde, verilen bileşik önerme doğrudur.

23. Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, p ile q önermelerinin “ve” bağlacı • ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye, p ve q bileşik önermesi denir. p Λ q şeklinde • gösterilir. • p Λ q bileşik önermesi, p ve q önermelerinin ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır

24. p : “Portakal meyvedir.” • q: “Üzüm sebzedir.” önermeleri için p Λ q bileşik önermesini yazalım. Doğruluk • değerini bulalım. • p Λ q: “Portakal meyve ve üzüm sebzedir.” • p önermesi doğru, q önermesi yanlıştır. p≡1, q≡ 0 dır. • Buna göre, p Λ q ≡ (1Λ 0) ≡ 0 olup, bileşik önerme yanlıştır.

25. Ve Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermenin Özelikleri • Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun. Bu önermeler için aşağıdaki özelikler vardır • 1. p Λ p ≡ p (Tek kuvvet özelliği) • 2. p Λ q ≡ q Λ p (Değişme özelliği) • 3. p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) r (Birleşme özelliği • 4. p Λ 1≡ p ve p Λ 0 ≡ 0

26. De Morgan (Dö Morgon) Kuralları (Bileşik Önermenin Olumsuzu) • Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, “V” ya da “Λ” bağlacı ile elde edilen • bileşik önermeler ile bu önermelerin olumsuzları arasında, (p V q)´≡ p´ Λ q´ ile • (p Λ q)´≡ p´Vq´ bağıntısı vardır. Bu bağıntılar, De Morgan Kuralı adını alırlar.

27. Totoloji ve Çelişki • Bir bileşik önerme, kendisini oluşturan her değeri için daima doğru oluyorsa, bu • bileşik önermeye totoloji, daima yanlış oluyorsa, bu bileşik önermeye de çelişki denir.

28. Koşullu (şartlı) Önermeler • İse (⇒) Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler: • Verilen p ile q önermelerinin “ise” sözcüğü ile bağlanmasından oluşan bileşik önermesine • koşullu (şartlı) önerme denir. “p ise q” diye okunur. Bu koşullu önerme p ⇒ q şeklinde yazılır.

29. Verilen bileşik önermede, p doğru ve q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda • doğrudur. • Bu tanıma göre, p ⇒ q bileşik önermenin doğruluk değerleri tablosu aşağıdaki • şekilde yapılmıştır. • Bu tabloda gösterildiği gibi, 1 ⇒ 1≡ 1 ⇒ 0 ≡ 0, 0 ⇒1 ≡ 1, 0 ⇒ 0 ≡ 1 olduğu • görülmektedir

30. Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıt Tersi • Verilen p, q önermesi ile p ⇒ q koşullu önerme meydana getirildiğinde; • 1. q ⇒ p koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıtı denir. • 2. p′ ⇒ q′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin tersi denir. • 3. q′ ⇒ p′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıt tersi denir.

31. Koşullu Önerme ile ilgili Özellikler: • 1. (p ⇒ q) ≡ (q′ ⇒ p′) • 2. (p ⇒ q) ≡ (p′ V q) • 3. ( p⇒ q)′ ≡ p Λ q′ • 4. (p ⇒ p) ≡ 1 • 5. (p ⇒ p′) ≡ p′ • 6. (0 ⇒ p) ≡ 1

32. “Ancak ve Ancak” Bağlacı ile Kurulan İki Yönlü Koşullu Önermeler • Verilen p ile q önermesinde (p ⇒ q) Λ (p ⇒ q) bileşik önermesine, iki yönlü • koşullu önerme denir. Burada p ⇒ q koşullu önermesi ile bunun karşıtı olan q ⇒ p • bileşik önermesinin “ve” bağlacı ile bağlanmasından meydana gelmiştir. p ⇔ q • biçiminde yazılır ve “p ancak ve ancak q” diye okunur. • Bu tanıma göre, (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p) olur

33. p⇔q iki yönlü koşullu önermesi, p ile q nun doğruluk değerleri aynı iken • doğru, farklı iken yanlıştır. • Verilen p ⇔ q iki yönlü koşullu önermesinin doğruluk değeri “1” yani doğru ise • bu önermeye çift gerektirme denir.

34. İki Yönlü Koşullu Önerme ile ilgili Özellikler • 1. ( p ⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q ) Λ ( q⇔ p ) • 2. ( p⇔ q )´ ≡ ( p´⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q´ ) • 3. ( p⇔ p ) ≡ 1 (Totoloji) • 4. ( p ⇔ q ) ≡ ( q⇔p ) (değişme özelliği) • 5. ( p⇔ q ) ⇔ r ≡ p ⇔ ( q ⇔ r ) (birleşme özelliği) • 6. p ⇔1 ≡ p ; p ⇔ 0 ≡ p´ • 7. ( p ⇔ p´) ≡ 0 (çelişki)

35. AÇIK ÖNERMELER • Doğruluğu içindeki değişkene bağlı olan önermelere açık önerme veya önerme • fonksiyonu denir.

36. Niceleyiciler • Doğruluk kümelerini oluşturan veya verilen önermeleri doğrulayan, elemanların • miktarını belirtmek için, “her”, “bazı”, “hiçbiri” gibi kelimeler kullanırız. Varlıkların • miktarını belirtmek için kullanılan bu ifadelere niceleyici denir.

37. Evrensel Niceleyici (her) • Her biri, hepsi, bütünü anlamına gelen “∀" sembolü evrensel niceleyicidir

38. Varlıksal niceleyici (Bazı) • Verilen p(x) açık önermesi E evrensel kümesi üzerinde tanımlanmış olsun. E • kümesinde, her x elemanı için, p(x) açık önermesini doğrulayan en az bir x elemanı • için, p(x) açık önermesini doğrulayan en az bir x elemanı varsa, bu açık önermeye • varlıksal niceleyici denir. ∃ sembolü ∃ x ∈ E, p(x) veya ∃ x, p(x) şeklinde yazılır.

39. Verilen varlıksal niceleyicinin doğru olması için, bazı x ler için p(x) doğru veya en • az bir x için p(x) doğru oluyorsa, ∃ x, p(x) önermesi doğrudur. Bütün x ler için p(x) • yanlış oluyorsa ∃ x, p(x) önermesi yanlış olur.

40. Niceleyicilerin Değili • Verilen bir doğru önermenin değilinin yanlış, yanlış bir önermenin değili ise • doğrudur. Buna göre, x bir değişken ve p(x) bir açık önerme ise “∀ x ∈ E, p(x)” tir. • Önermesinin olumsuzu “∃ x ∈ E, p(x) değilidir.”

41. Verilen “Bazı sayılar asaldır.” önermesinin değilini yazalım. • “Bazı sayılar asaldır.” önermesinin değili “Bütün sayılar asal değildir” olur.

42. İSPAT YÖNTEMLERİ • Aksiyom • Doğru olduğu ispatlanmadan kabul edilen önermelere, aksiyom denir. Aksiyomlar • kendi aralarında tutarlı, sisteme yeterli ve birbirinden bağımsız olmalıdır. Aksiyomlar • bir bilimsel yapının temel taşlarıdır.

43. Teorem • Matematikte ispatlanması gereken önermelere teorem denir. Teoremlerin doğruluğunu, • önceden verilen tanım ve aksiyomlardan yararlanarak ispatlayabiliriz. Bir teoremin • ispatında, kendinden önce gelen teoremlerde kullanılır. • Verilen p ⇒ q koşullu önermesinde, başlangıçta olan p önermesine hipotez • (varsayım), varılan sonuca q önermesine hüküm (yargı) denir. • Hipotezin doğruluğundan başlayarak hükmün doğruluğunu göstermeye teoremin ispatı denir. • Teoremde, hipotezin daima doğru olması gerekir.

44. İspat Yöntemleri • I. Doğrudan ispat: • Verilen bir teoremde, hipotezin doğru olduğu kabul edilerek, hükmünde doğru • olduğu gösterilirse, bu ispat şekline, doğrudan ispat yöntemi denir. • II. Olmayana Ergi ile ispat Yöntemi: • Bir koflullu önermelerde, (p ⇒ q) ≡ (p´ ⇒ q´) dür. • p ⇒ q teoreminin ispatlanması yerine p´⇒ q´ teoremi ispatlanırsa p ⇒ q teoremi • ispat edilmiş olur. Bu yönteme, olmayana ergi ile ispat yöntemi denir.

45. III. Deneme Yöntemi ile ispat • Verilen önermedeki değişkene farklı değerler verilir. Bu değerler, ayrı ayrı yerlerine • yazılarak önermenin doğruluğu kontrol edilir. Buna deneme yöntemi ile ispat denir.

46. IV. Aksine Örnek Verme Yöntemi ile ispat • Verilen bir önermenin doğru olduğu ispatlanamıyorsa, aksine örnek verilerek, veya • çelişki olduğu gösterilerek, yanlış olduğu ispatlanır. • Bu yöntem genellikle p ⇒ q şeklindeki bir önermenin, yanlış olduğunu ispatlamak • için kullanılır. • O halde, verilen önermenin doğru olmadığını gösteren en az bir değer varsa, bu • önermenin yanlış olduğu ispatlanmış olur.

47. V. Tüme Varım Yöntemi ile ispat • Tüme varım yöntemi, özel kurallardan hareket ederek genel kurala ulaşma yöntemidir. • O halde, bu yöntemde yapılan ispat, parçalardan giderek bütünün doğruluğunu bulmaktır.

48. VI. Tümden Gelim Yöntemi ile ispat • Tümden gelim, genel kuraldan özel kuralların çıkarılması yöntemidir. Bütünden • giderek istenilenin doğruluğunu ispatlama yöntemidir.