§1 － 5 多元复合函数的导数

1. §1－5　多元复合函数的导数 一、链式法则

2. 设 u = u(x), v = v(x) 在点 x处可导. 而 z = f (u, v)在 x 对应的点(u, v)可微. 定理1 则复合函数 z = f ( u(x), v(x))在点 x处可导. (公式也称为 链式法则) 且 证: 只要证

3. 　　给 x 以改变量x, 因u, v是x的函数, 可得u, v的改变量u, v. 又因 z 是 u, v的函数, 进而得到z. 因 z = f (u, v)在 (u, v)可微.

4. 同除以 x  0, 得 令 x  0, 得

5. 注意到当 x  0时, u , v 趋于0. 从而 = 0 无穷小乘有界量 故

6. 　　用同样的方法, 可将该公式推广到中间变量为3个, 4个, …等情形. 　　比如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x), v = v(x), w = w(x), 满足定理条件. 则

7. z' = sec2(x2+lnx) 例1.设 z = tg(u + v), u = x2, v = lnx, 解: (1) z = tg (x2 +lnx) (2)

8. 　　若u, v是 x, y的二元函数, u = u(x, y), v = v(x, y ), 此时z = f (u, v) = f (u(x, y), v(x, y))是x, y的二元函数. 如何求 z 对x, y 的偏导数?

10. 由上述公式. 有 1,若 z = f (u, v) , u = u(x, y), v = v(x, y))满足定理条件. 则复合函数 z = f (u(x, y), v(x, y))的偏导数为 (只须将定理1中导数符号改为偏导符号)

11. 2, 公式 1可推广到中间变量多于2个的情形. 如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x, y), v = v(x, y), w = w(x, y), 则 3 若在 2中,u = u(x, y, t), v = v(x, y, t), w = w(x, y, t). 问

12. 例2. 解:(1)可将u, v代入后直接求偏导. (2)用链式法则 (两个中间变量)

13. 故

14. 例3. 解:此例与上两例有区别. 这里函数 f的表达式未给出, 只能用链式法则求偏导. 引进中间变量( 引进几个中间变量? ) 记 u = x2 – y2, v = xy. 从而 z = f (u, v), 由链式法则, 得

15. z = f (u, v), u = x2 – y2, v = xy.

16. 引进记号, 设 z = f (u, v), 记 等等.

17. 例4. 解:引进3个中间变量. 记 u = x, v = xy, w = x+y. 则 z = f (u, v, w). 有

18. 注 1. 在这一类问题中为何引进中间变量?

19. 从而 这是否对? 为什么?

20. 对 u (也就是 x)求偏导. 两者不同.

21. 例.设 z = f (x, xy) = x + xy, 记 u = x, v = xy, 有 z = u + v .

22. 3. 若 z = f (u, v) , u = u (x, y), v = v (x, y), 则 z通过 u, v成为 x, y的二元复合函数. 从而是x, y的二元复合函数.

23. 例5. 证:

24. 从而 = x

25. 例6.若f (x, y, z) 恒满足关系式 f (tx, ty, tz) = tkf (x, y, z). 则称它为 k次 齐次函数. 证明 k 次齐次函数满足 证:等式 f (tx, ty, tz) = tkf (x, y, z). 两边对 t求偏导. 右边对 t求偏导

26. 记 u = tx, v = ty, w = tz, 则 f (tx, ty, tz) = f (u, v, w). 即

27. 同乘以 t, 得 即

28. 例7.设z =f (u, v), fC1, 而 u = xcosy, v = x siny. 链式公式 解:这是关于链式公式的逆问题.

29. 代入链式公式, 得,

30. 系数行列式 = x  0 从而

31. 注 1.本例说明二元复合函数的链式公式可看作以 为未知量的二元一次方程组. 常可通过解线性方程组的方法求

32. 2.对本例而言, 若还要求出 z的函数表达式, 如何求? 3.设z =f (x, y), 则在区域 D内  z = C (常数). (自证)

33. 4.若 z = f (u, v), u = u (x, y), v = v (x, y), x = x (r,  ), y = y (r,  ) . 因此 易见z是 r,  的复合函数. 又因u, v都是 r,  的复合函数.

34. 因此

35. 二、全微分的形式不变性 设z = f (u, v)可微, 当 u, v 为自变量时, 有 　　若 u, v 不是自变量, 而是中间变量, 是否仍有这一形式? 　　设u = u (x, y), v = v (x, y)均可微, 则 z = f (u (x, y), v (x, y)),

36. z = f (u (x, y), v (x, y)) 由链式法则, 代入,

37. 　　即, 不论u, v是自变量还是中间变量, z = f (u, v)的全微分的形式不变.

38. 例8.用全微分形式不变性求 解:记 u = xy , 从而z = f (u, v).

39. 从而

40. §1－6　隐函数的导数

41. 　　上期已讨论了求隐函数的导数问题.即, 设方程 F(x, y) = 0. 求由该方程所确定的函数 y = f (x)的导数.方法是: 方程两边对 x求导. 注意 y 是 x 的函数, 然后解出 y' .

42. 留下了问题. (1)是否任何一个二元方程 F(x, y) = 0. 都确定了y 是 x 的函数(单值)? 如 x2 + y2 = 1. 什么条件下确定 y = f (x)? (2)若方程确定y = f (x). 它是否可导? 给出一般的求导公式. (3)三元(以上)方程F(x, y, z) = 0. 的情形怎样?

43. 一、一个方程的情形 考虑方程F(x, y) = 0. 定理1 (隐函数存在定理). 设函数F(x, y) 在点 X0 = (x0, y0)的邻域U(X0)内有连续偏导数. 且F (x0, y0) = 0, 则方程 F(x, y) = 0在点 X0 = (x0, y0)的某邻域内唯一确定一个有连续导数的(单值)函数 y = f (x), 证略 它满足 y0 = f (x0). 且

44. 对公式的推导作些说明. 　　设方程 F(x, y) = 0中F(x, y)满足定理条件. 从而方程在 X0的某邻域内确定函数 y = f (x). 代入方程, 得 F(x, f (x))  0. 上式两边对 x 求导(左端是 x 的复合函数). 得

45. 例1.验证方程 x2 + y2 –1= 0在点 X0= (0, 1)的某邻　　域内满足定理1的三个条件. 从而在X0= (0, 1)的某邻域内唯一确定满足. 当x = 0时, y = 1的连续可导函数 y = f (x), 解:记 F (x, y) = x2 + y2 –1 (1) (2) F (0, 1) = 0, (3)

46. y X0 x2 + y2 =1 X1 –1 x 0 1 由定理1知, 方程在X0= (0, 1)的某邻域内唯一确定满足当x = 0时, y = 1的连续可导函数 y = f (x),

47. 法1.x2 + y2 = 1 两边对 x求导, y是 x的函数, 2x+2y y' = 0

48. 法2.F (x, y) = x2 + y2 –1

49. 定理1　可推广到方程中有多个变量的情形. 考虑方程 F(x, y, z) = 0 定理1 　　　设三元函数 F(x, y, z) 在 X0=(x0, y0, z0)的邻域 U(X0)内有连续编导，F(x0, y0, z0)=0, F'z(x0, y0, z0)0, 则在 X0 的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的函数 z = f (x, y), 满足 z0=f (x0, y0), 且

50. 例2. 解：方法1.记 F(x, y, z) = sin(x3z) 2y z F'z =  3cos(x  3z) 1 F'y =  2, 有 F'x = cos(x 3z), 故