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§2 第二型曲线积分

§2 第二型曲线积分. 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算 两类曲线积分的联系. 一、 第二型曲线积分的定义. 变力沿曲线作功. 设一质点受如下变力作用. 沿曲线 L 从点 A 移动到点 B ，求力 F ( x, y ) 所. 作的功. 常力沿直线作功：. 力 · 位移. 1. 分割 :. 插入分点. 2. 近似代替. 其中. 分别是曲线段. 在 x 轴与 y 轴上的投影. （此投影不一定是非负的）. 于是. 3. 求和. 4. 取极限. 其中. 是第 i 个小弧段的弧长. 定义 1.

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§2 第二型曲线积分

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Presentation Transcript

  1. §2 第二型曲线积分

  2. 第二型曲线积分的定义 • 第二型曲线积分的计算 • 两类曲线积分的联系

  3. 一、第二型曲线积分的定义 变力沿曲线作功. 设一质点受如下变力作用 沿曲线L从点 A移动到点 B，求力 F ( x, y ) 所 作的功 常力沿直线作功： 力 · 位移

  4. 1. 分割: 插入分点 2. 近似代替 其中 分别是曲线段 在 x轴与 y 轴上的投影 （此投影不一定是非负的） 于是

  5. 3. 求和 4. 取极限 其中 是第 i 个小弧段的弧长.

  6. 定义1 设函数 P (x,y)与 Q(x,y) 定义在 平面有向可求长度曲线 L: 对 L的任一分割 T 它把 L分成 n个小曲线段： 其中 M0 = A， Mn = B . 记各小曲线段 的弧长为 分割 T的细度 分点 Mi的坐标为 ( xi , yi), 并记 在每个小曲线段 上任取一点 若极限

  7. 存在，则称此极限为函数 P(x, y), Q(x, y),沿有向曲线 L 的第二型曲线积分，也称为对坐标的曲线积分，记为 或 也记为 或 简记为

  8. 若 L为封闭曲线，则记为 若记 则记 沿有向曲线 L 于是，力 对质点所作的功为

  9. 类似地, 沿空间有向可求长度曲线 L的第二型曲线积分记为 其中

  10. 第二型曲线积分与曲线 L的方向有关，对同一曲线， 当方向由 A到 B改为由 B到 A时，每一小曲线段的 方向都改变，从而小曲线段的投影 也随之 改变符号，故有 而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的 乘积，它与曲线 L的方向无关. 这是两类曲线积分的 一个重要区别.

  11. 第二型曲线积分的性质： 1. 若第二型曲线积分 存在，则 其中 为常数.

  12. 2. 若 L可分成 k 条有向光滑曲线弧 则 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! • 定积分是第二类曲线积分的特例.

  13. 二、第二型曲线积分的计算 在有向光滑曲线 上连续, t =α对应曲线 L的起点 t =β对应于曲线 L的 终点，则

  14. 对空间有向光滑曲线 L: 参数 t =α对应曲线 L的起点 t =β对应于曲线 L的 终点，则

  15. 例1 计算 其中 L分别 沿如图所示路线 ⑴ 直线 AB 解 直线 AB 的参数方程为 所以

  16. 例1 计算 其中 L为 ⑵ ACB (抛物线：y = 2( x – 1)2 + 1 ) 解 抛物线 ACB 的方程为 y = 2( x – 1)2 + 1 所以

  17. 例1 计算 其中 L为 ⑶ ADBA (三角形周界) 解 直线 AD 的参数方程为 所以 直线 DB 的参数方程为 所以

  18. 沿直线 BA 的线积分： 所以

  19. 例2 计算 这里 L： ⑴ 沿抛物线 y = 2x2 , 从 O 到 B ⑵ 沿直线段 OB: y = 2x ; ⑶ 沿封闭曲线OABO 解 ⑴ ⑵ ⑶

  20. 例3 计算第二型曲线积分 L是螺旋线：x = a cos t , y = a sin t , z = b t 从 t = 0 到 t =π上的一段.

  21. 例. 设在力场 作用下, 质点由 沿L移动到 其中L为 试求力场对质点所作的功. 解: (1) (2) L的参数方程为

  22. 例. 求 其中 从z轴正向看为顺时针方向. 解: 取  的参数方程

  23. 三、两类曲线积分的联系 设L为从A到B的有向光滑曲线， 以弧长 s为参数， 的参数方程为 其中 l为曲线L的长度. 设曲线L上每一点的切线方向 指向弧长增加的一方. 则L切向量的方向余弦为

  24. 于是两类曲线积分有如下联系 即 其中 是曲线 L 切向量的方向余弦.

  25. 在三维空间上，有 其中 是曲线 L 切向量的方向余弦.

  26. 内容小结 1. 定义 2. 性质 (1) L可分成 k条有向光滑曲线弧 (2) L－表示 L 的反向弧 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!

  27. 3. 计算 • 对有向光滑弧 •对有向光滑弧

  28. •对空间有向光滑弧: 4. 两类曲线积分的联系

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