数学分析实验（八）

数学分析实验（八） 偏导数与方向导数

例 1.已知 1)求z的偏导数； 2)求z的高阶偏导数 2.用matlab求函数在点A(5,1)沿点A(5,1)到点B(9,4)的方向上的方向导数.

求的一阶导数； 求对 x的 n阶偏导数；求的高阶偏导数。求偏导数： diff(f(x)) diff(f(x),n) diff(f(x，y),x,n) diff(diff(f, x,m),y,n)

例1（1）求多元函数的偏导数 解：输入命令 >> syms x y u %定义符号变量 >> u=x^2*sin(x*y); %给出函数 >> dx=diff(u,x)；%对x求偏导 >> dy=diff(u,y)；%对y求偏导结果： dx =2*x*sin(x*y) +x^2*y*cos(x*y) dy =x^3*cos(x*y)

例2 (2）求多元函数 的高阶偏导数解：输入命令 >> syms x y u%定义符号变量 >> u=x^2*sin(x*y);%给出函数 >> dx2=diff(u,x,2);%对x求2 阶偏导 >> dy2=diff(u,y,2);%对y求2 阶偏导 >> dxdy=diff(diff(u,x),y); %先对x求偏导，再对y求偏导结果： dx2= 2*sin(x*y) + 4*x*y*cos(x*y) - x^2*y^2*sin(x*y) dy2= -x^4*sin(x*y) dxdy= 3*x^2*cos(x*y) - x^3*y*sin(x*y)

方向导数 设函数uf(x, y)在点p0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义v是以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与v同方向的单位向量为ev(cos cos)=(cos,sin)。则其方向导数为：

方向导数的计算I 构造一元函数，使得多元函数的方向导数等于一元函数在零点的导数值。

例2.用matlab求函数在点A(5,1)沿点A(5,1)到点B(9,4)的方向上的方向导数例2.用matlab求函数在点A(5,1)沿点A(5,1)到点B(9,4)的方向上的方向导数解：输入命令 >>A=[5,1 ];%给出点A >>B=[9,4 ];%给出点B >>L=sqrt(sum((B-A).^2));%求AB线段长 >>cosx=(B(1)-A(1))/L;%求方向向量的第一分量 >>cosy=(B(2)-A(2))/L; %求方向向量的第二分量 >>syms x y t%定义符号变量 >>g=(x+t*cosx)^2*sin((x+t*cosx)*(y+t*cosy));%定义关于t的函数 >>dg_dl=diff(g,t);%对t求导数 >>b=subs(dg_dl,{x,y,t},{5,1,0}); 结果：du_dl=(8*x*sin(x*y))/5 +x^2*cos(x*y)*((3*x)/5 + (4*y)/5) b =19.2765

方向导数的计算 II 定理：如果函数uf(x, y)在点p0(x0 y0)可微分,则函数在该点沿任一方向v(ev(cos sin) (cos cos)的方向导数都存在,且有

由该定理知，还可以使用以下命令来方向导数 解：输入命令 >>A=[5,1 ];%给出点A >>B=[9,4 ];%给出点B >>L=sqrt(sum((B-A).^2));%求AB线段长 >>cosx=(B(1)-A(1))/L;%求方向向量的第一分量 >>cosy=(B(2)-A(2))/L; %求方向向量的第二分量 >>syms x y u%定义符号变量 >>u=x^2*sin(x*y);%给出函数 >>du_dl=diff(u,x)*cosx+diff(u,y)*cosy%求方向导数 >>a=subs(du_dl,{x,y},{5,1})%代点求方向导数值结果：du_dl =(8*x*sin(x*y))/5+(3*x^3*cos(x*y))/5 +(4*x^2*y*cos(x*y))/5 a=19.2765

思考： 如何求向量值函数的方向导数？求向量值函数导数（雅可比矩阵）：matlab 命令 jacobian，调用格式： jacobian([f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)],[x,y,z])

作业 • 计算习题9.3.1第2、3、4题

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