Anvendelser III

1. Grafer Anvendelser III

2. Plan • Grafer • Terminologi • Repræsentation • Traversering af grafer • Korteste vej • Topologisk sortering • Problemkompleksitet og afgørlighed

3. V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I} E = {(A,B), (A,C), (A,F), (A,G), (D,E), (D,F), (E,F), (E,G), (H,I)} A I H B G C D E F Grafer • En graf er et nyttigt, abstrakt begreb. • Intuitiv definition: En graf er en mængde af objekter og forbindelser imellem disse. • Matematisk definition: En graf G = (V,E) består af en endelig mængde af knuder, V, og en endelig mængde af kanter, E, hvor hver kant forbinder to af knuderne (E VxV).

4. Anvendelsesområder • Alt, hvad der involverer relationer imellem • objekter, kan modelleres ved hjælp af en graf Trafiknetværk: Knuder: byer, vejkryds Kanter: veje Elektriske kredsløb: Knuder: komponenter Kanter: ledninger Organiske molekyler: Knuder: atomer Kanter: bindinger

5. Anvendelsesområder(fortsat) Programsystemer: Knuder: metoder Kanter: metode A kan kalde metode B Objektorienteret design (UML-diagrammering): Knuder: klasser/objekter Kanter: nedarvning, aggregering eller associering Projektplanlægning: Knuder: delopgaver Kanter: præcedenser (delopgave A skal udføres før delopgave B)

6. En kants 2 knuder kaldes endeknuder for kanten. I H I H Terminologi Hvis rækkefølgen af en kants endeknuder har betydning, kaldes kanten for orienteret. Dette angives på den grafiske repræsentation ved at kanten forsynes med en pil. Endeknuderne kaldes da for henholdsvis begyndelsesknuden og slutknuden. En orienteret graf er en graf, hvor alle kanter er orienterede. En ikke-orienteret graf er en graf, hvor ingen kanter er orienterede.

7. A B G C D E F Cykler: FDEF, AFEGA og AFDEGA. Terminologi (fortsat) • En vej er en liste af knuder, hvor successive knuder er forbundet med en kant. • En vej kaldes simpel, hvis ingen knude gentages. • En cykel er en vej, der er simpel, bortset fra at den første og sidste knude er den samme.

8. A I H B G C D E F Terminologi (fortsat) • En graf G’ = (V’,E’) er en delgraf af G = (V,E), hvis V’Vog E’E. • En graf kaldes sammenhængende, hvis der for enhver knude findes en vej til enhver anden knude. • En graf, der ikke er sammenhængende, består af sammenhængende delgrafer, også kaldet komponenter. 2 komponenter

9. Udspændende træ for G Graf G Terminologi (fortsat) • Et træ er en sammenhængende graf uden cykler. • En mængde af disjunkte træer kaldes en skov. • Et udspændende træ for en graf G er en delgraf af G, der indeholder alle grafens knuder, og som udgør et træ.

10. Terminologi (fortsat) • En graf, hvor enhver knude er forbundet med enhver anden knude, kaldes for komplet. • [ for en ikke-orienteret graf: |E| = |V|*(|V|-1)/2) ] • En tyndgraf er en graf med relativt få kanter (i forhold til |V|) • En tætgraf er en graf med relativt mange kanter (i forhold til |V|) • En vægtet graf er en graf, hvor kanterne er forsynet med talværdier, kaldet vægte. [ vægtene repræsenterer normalt omkostninger ]

11. Basale grafproblemer • Veje: Er der en vej fra knude A til knude B? • Cykler: Indeholder grafen en cykel? • Sammenhæng (udspændende træ): Er der for hver knude en vej til enhver anden knude? • 2-sammenhæng: Vil grafen blive usammenhængende, hvis en af knuderne (og de tilstødende kanter) fjernes? • Planaritet: Kan grafen tegnes, uden at to kanter krydser hinanden?

12. Basale grafproblemer(fortsat) • Korteste vej: Hvilken vej er den korteste mellem knude A og knude B? • Længste vej: Hvilken vej er den længste mellem knude A og knude B? • Minimalt udspændende træ: Hvad er den billigste måde at forbinde alle knuder? • Hamilton-cykel: Er der en cykel, som indeholder samtlige knuder? • Den rejsende sælgers problem: Hvilken Hamilton-cykel er den billigste?

13. Repræsentation af grafer • Grafer er abstrakte matematiske objekter. Algoritmer må arbejde med konkrete repræsentationer. • Mange mulige repræsentationer. Valget er bestemt af algoritmer og graftyper (tynde/tætte, vægtede/uvægtede, orienterede/ikke-orienterede). • I det følgende gennemgås 3 repræsentationer: (1) kantmængde (2) nabomatrix (3) nabolister

14. class Graph { Vector edges; } • class Edge { • Vertex source, dest; • int cost; • } class Vertex { String name; } (1) Kantmængde-repræsentation

15. A I H B G C D E F class Graph { // uvægtet boolean adjMatrix[][]; } class Graph { // vægtet int adjMatrix[][]; } (2) Nabomatrix-repræsentation • A B C D E F G H I • A 0 1 1 0 0 1 1 0 0 • B 1 0 0 0 0 0 0 0 0 • C 1 0 0 0 0 0 0 0 0 • D 0 0 0 0 1 1 0 0 0 • E 0 0 0 1 0 1 1 0 0 • F 1 0 0 1 1 0 0 0 0 • G 1 0 0 0 1 0 0 0 0 • H 0 0 0 0 0 0 0 0 1 • I 0 0 0 0 0 0 0 1 0

16. A I H • A: • B: • C: • D: • E: • F: • G: • H: • I: B G C D E F G F C B A A F E G F D A E D A E I H (3) Naboliste-repræsentation

17. class Graph { Vector vertices; // Table of vertices } class Vertex { String name; // Vertex name List adj; // List of edges } • class Edge { • Vertex dest; // Second vertex of edge • int cost; // Edge cost • } Naboliste-repræsentation

18. Sammenligning af repræsentationer • Pladskrav: Kantmængde: O(|E|) • Nabomatrix: O(|V|2) • Nabolister: O(|V| + |E|)

19. Repræsentation har betydning for algoritmers effektivitet Værste tilfælde: Er der en kant fra knude A til knude B? Kantmængde: O(|E|) Nabomatrix: O(1) Nabolister: O(|V|) Er der en kant fra knude A? Kantmængde: O(|E|) Nabomatrix O(|V|) Nabolister: O(1)

20. Traversering af grafer • Mål: at besøge enhver knude i grafen. • Dybde-først-traversering: • Rekursiv algoritme: • * Mærk alle knuder “ubesøgt”. • * Besøg startknuden. • * Ved besøg af en knude, v: Mærk knuden “besøgt” Besøg (rekursivt) alle ubesøgte knuder, der er forbundet med v. Løser nogle simple grafproblemer: sammenhæng, cykler Basis for løsning af nogle vanskelige grafproblemer: 2-sammenhæng

21. class Vertex { String name; List adj; boolean visited; voidvisit() { visited = true; ListItr p = new LinkedListItr(adj); for ( ; p.isInList(); p.advance) { Vertex w = ((Edge) p.retrieve()).dest; if (!w.visited) w.visit(); } } } Implementering af dybde-først-traversering Kompleksitet: O(|E|)

22. A A A B G B G B G C C C D D D E E E F F F A: F C B G B: A C: A D: F E E: G F D F: A E D G: E A A A A A B B G B G G C C C B G C D D D E E E D E F F F F Dybde-først-traversering af en komponent

23. 1 A 2 6 7 F B C 3 E 4 5 G D Dybde-først-traversering af en sammenhængende graf repræsenteret ved nabolister kræver tid proportional med |E| Dybde-først-traversering af en komponent udgør et dybde-først-træ

24. void traverse(Vertex startVertex) { Stackstack = new StackAr(); stack.push(startVertex); startVertex.visited = true; try { while (!stack.isEmpty()) { Vertex v = (Vertex) stack.topAndPop(); ListItr p = new LinkedListItr(v.adj); for ( ; p.isInList(); p.advance()) { Vertex w = ((Edge) p.retrieve()).dest; if (!w.visited) { stack.push(w); w.visited = true; } } } } catch (Underflow e) {} } Ikke-rekursiv dybde-først-traversering • Benyt en eksplicit stak af knuder.

25. void traverse(Vertex startVertex) { Queue queue= newQueueAr(); queue.enqueue(startVertex); startVertex.visited = true; try { while (!queue.isEmpty()) { Vertex v = (Vertex)queue.dequeue(); ListItr p = new LinkedListItr(v.adj); for ( ; p.isInList(); p.advance()) { Vertex w = ((Edge) p.retrieve()).dest; if (!w.visited) { queue.enqueue(w); w.visited = true; } } } } catch (Underflow e) {} } Bredde-først-traversering • Hvis stakken erstattes med en kø, foretages bredde-først-traversering.

26. A A A B G C B G C B G C D E A: F C B G B: A C: A D: F E E: G F D F: A E D G: E A D E D E F F F F C B G C B G E D B G E D A A A A B G C B G C B G B G C C D E D E D D E E F F F D F E D G E D Bredde-først-traversering af en komponent

27. 1 A 2 3 4 5 C B G F 6 7 E D Bredde-først-traversering af en sammenhængende graf repræsenteret ved nabolister kræver tid proportional med |E| Bredde-først- traversering af en komponent udgør et bredde-først-træ

28. aktuel aktuel start start Dybde-først Bredde-først Dybde-først versus bredde-først

29. void traverse(Vertex startVertex) { PriorityQueuepq = new SpecialPriorityQueue(); pq.update(startVertex, priority); try { while (!pq.isEmpty()) { Vertex v = (Vertex)pq.retrieveMin(); v.visited = true; ListItr p = new LinkedListItr(v.adj); for ( ; p.isInList(); p.advance()) { Vertex w = ((Edge) p.retrieve()).dest; if (!w.visited) pq.update(w, priority); } } } catch (Underflow e) {} } Bedste-først-traversering • Hvis køen erstattes med en prioritetskø, foretages bedste-først-traversering.

30. SpecialPriorityQueue • pq.update(Object obj, int prio) Hvis obj ikke findes i pq, så indsæt det med prioritet prio. Ellers, opdater dets prioritet til prio. • pq.retrieveMin() Fjern fra pq det objekt, der har mindst prioritet. Returner dette objekt. Denne abstrakte datatype findes ikke i pakken DataStructures. Men vi kan benytte klasserne PairHeap og PairNode til formålet.

31. class PairHeap { • PairNode addItem(Comparable x); • Comparable deleteMin() throws Underflow; • void decreaseKey(PairNode p, Comparable newVal) • throws IllegalValue; • boolean isEmpty(); • } Pairing Heap

32. class Vertex implements Comparable { String name; boolean visited; int priority = INFINITY; PairNode heapPosition; Vertex prev; public int compares(Comparable rhs) { Vertex v = (Vertex) rhs; return priority < v.priority ? -1 : priority == v.priority ? 0 : 1; } public boolean lessThan(Comparable rhs) { return priority < ((Vertex) rhs).priority; } } Ændringer i class Vertex

33. void traverse(Vertex startVertex) { PairHeap pq = new PairHeap(); startVertex.priority = priority; startVertex.heapPosition = pq.addItem(startVertex); try { while (!pq.isEmpty()) { Vertex v = (Vertex)pq.deleteMin(); v.visited = true; ListItr p = new LinkedListItr(v.adj); for ( ; p.isInList(); p.advance()) { Vertex w = ((Edge) p.retrieve()).dest; if (!w.visited && priority < w.priority) { w.priority = priority; if (w.heapPosition == null) w.heapPosition = pq.addItem(w); else pq.decreaseKey(w.heapPosition, w); } } } } catch (Exception e) {} }

34. Kompleksitet af bedste-først-søgning • Tidskompleksiteten for bedste-først-søgning i en graf er O((|V|+|E|)log|V|). • |V| kald af deletemin • |E| kald af enten addItemellerdecreaseKey • Hvis pq er en hob, så er tiden for et kald af såvel deletemin, addItemsom decreaseKey O(log|V|).

35. Korteste-vej-problemet Find den korteste vej fra knude A til knude B. Uvægtede korteste vej (minimer antallet af kanter fra A til B): Anvend bredde-først-traversering. Traverser grafen startende i A ved hjælp af en kø. Vægtede korteste vej (bestem den billigste vej fra A til B): Anvend bedste-først-traversering: Dijkstras algoritme. Traverser grafen startende i A ved hjælp af en prioritetskø, idet prioriteten for hver ubesøgt knude er omkostningen af den hidtil billigste vej fra A til knuden. Virker dog kun i en graf med ikke-negative vægte.

36. A A I I H H 2 2 6 6 6 6 1 1 3 3 G G 1 1 1 1 B B C C 1 2 1 1 2 2 2 2 4 4 1 4 4 1 K K 5 5 J J 3 1 1 E E D D 2 2 5 2 2 4 4 3 3 1 2 1 2 2 2 F F M M 2 2 L L 1 1 A A I I H H 2 2 6 6 6 6 1 1 3 3 G G 1 1 1 1 B B C C 1 1 4 2 2 2 2 4 1 4 4 1 K K 5 5 J J 3 3 1 1 E E D D 2 2 5 4 2 2 4 4 3 3 1 2 1 2 2 F F M M 2 2 L L 1 1 4 Eksempel på bestemmelseaf korteste-vej-træ

37. A A I I H H 2 2 6 6 6 6 1 1 3 3 G G 1 1 1 1 B B C C 1 1 2 2 2 2 4 4 1 4 4 1 7 K K 5 5 J J 1 1 E E D D 2 2 4 4 2 2 4 4 3 3 1 2 1 2 F F M M 2 2 L L 1 1 5 4 A A I I H H 2 2 6 6 5 5 1 1 3 3 G G 1 1 1 1 B B C C 1 1 2 2 1 2 2 4 4 1 4 4 7 7 J K K 5 5 J 1 1 E E D D 2 2 2 2 4 4 3 3 1 2 1 2 F F M M 2 2 L L 1 1 5

38. 8 8 A A I I H H 2 2 6 6 1 1 3 3 G G 1 1 1 1 B B C C 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 6 7 K K J J 1 5 5 1 E E D D 2 2 2 2 4 1 4 3 3 1 2 2 F F M M 2 2 L L 1 1 8 8 8 A A I I H H 2 2 6 6 1 1 3 3 G G 1 1 1 1 B B C C 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 K K J J 5 5 1 1 E E D D 2 2 1 2 2 1 4 4 3 3 2 2 F F M M 2 2 L L 1 1 A I H 2 6 1 3 G 1 1 B C 1 1 2 2 4 4 K J 5 1 E D 2 1 2 4 3 2 F M 2 L 1

39. private boolean dijkstra(Vertex startVertex) { clearData(); PairHeap pq = new PairHeap(); startVertex.priority = 0; startVertex.heapPosition = pq.addItem(startVertex); try { while (!pq.isEmpty()) { Vertex v = (Vertex) pq.deleteMin(); v.visited = true; ListItr p = new LinkedListItr(v.adj); for ( ; p.isInList(); p.advance()) { Vertex w = ((Edge) p.retrieve()).dest;; int cvw = ((Edge) p.retrieve()).cost; if (cvw < 0) return false; if (!w.visited &&v.priority + cvw< w.priority) { w.priority =v.priority + cvw; w.prev = v; if (w.heapPosition == null) w.heapPosition = pq.addItem(w); else pq.decreaseKey(w.heapPosition, w); } } } } catch (Exception e) {} return true; }

40. Minimalt udspændende træ Hvis udtrykket v.priority + cvwoveralt erstattes med cvw, vil det minimalt udspændende træ blive bestemt.

41. clearData private void clearData() { for (int i = 0; i < vertices.size(); i++) { Vertex v = (Vertex) vertices.elementAt(i); v.visited = false; v.priority = INFINITY; v.prev = null; } }

42. private void printPath(Vertex destVertex) { if (destVertex.priority == INFINITY) System.out.println(destVertex.name + " is unreachable"); else { destVertex.printPath(); System.out.println(" cost: " + destVertex.priority); } System.out.println(); } public void printPath() { if (prev != null) { prev.printPath(); System.out.print(" to "); } System.out.print(name); } Udskrivning af korteste vej

43. class Graph public class Graph { public Graph() { vertices = new Vector(); vertexMap = new Hashtable(); // dictionary } public Vertex addVertex(String vertexName) {...} public void addEdge(String source, String dest, int cost) {...} public boolean processRequest(BufferedReader in) {...} public static void main(String[] args) {...} private static final int INFINITY = Integer.MAX_VALUE/3; private Vector vertices; private Hashtable vertexMap; private void printPath(Vertex destVertex) {...} private void clearData() {...} private boolean dijkstra(Vertex startVertex) {...} }

44. main public static void main(String[] args) { System.out.println("Enter graph file:"); BufferedReader in = new BufferedReader( new InputStreamReader(System.in)); BufferedReader graphFile; try { graphFile = new BufferedReader( new FileReader(in.readLine())); } catch(Exception e) { System.err.println(e); return; } // ... fortsættes }

45. main(forsat) Graph g = new Graph(); try { String line; while ((line = graphFile.readLine()) != null) { StringTokenizer st = new StringTokenizer(line); try { // read source, destination and cost if (st.countTokens() != 3) throw new Exception(); String source = st.nextToken(); String dest = st.nextToken(); int cost = Integer.parseInt(st.nextToken()); g.addEdge(source, dest, cost); } catch (Exception e) { System.err.println("Error: " + line); } } } catch (IOException e) { System.err.println("Error: " + e ); } while (g.processRequest(in)) ;

46. public void addEdge(String source, String dest, int cost) { addVertex(source).adj.addElement(new Edge(addVertex(dest), cost)); } public Vertex addVertex(String vertexName) { Vertex v; // lookup vertexname in the hashtable vertexMap if ((v = (Vertex) vertexMap.get(vertexName)) == null) { vertices.addElement(v = new Vertex(vertexName)); vertexMap.put(vertexName, v); } return v; } addEdge

47. processRequest public boolean processRequest(BufferedReader in) { String sourceName, destName; try { System.out.println("Enter start vertex:"); if ((sourceName = in.readLine()) == null) return false; System.out.println("Enter destination vertex:"); if ((destName = in.readLine()) == null) return false; } catch (IOException e) { System.out.println("Error: " + e); return false; } Vertex source, dest; if ((source = (Vertex) vertexMap.get(sourceName)) == null) { System.out.println("Start vertex not in graph"); return true; } if ((dest = (Vertex) vertexMap.get(destName)) == null) { System.out.println("Destination vertex not in graph"); return true; } if (dijkstra(source)) printPath(dest); else System.out.println("Dijkstra fails - negative edge"); return true; }

48. Kompleksitet Dijkstras algoritme kan implementeres, så den har tidskompleksitet O((|E| + |V|)log(|V|). Hvis alle vægte er ens, f.eks. 1, eksisterer en algoritme med tidskompleksitet O(|E|+|V|). Hvis vægte må være negative, eksisterer en algoritme med tidskompleksitet O(|E||V|). Hvis grafen ikke indeholder cykler, eksisterer en algoritme med tidskompleksitet O(|E|).

49. DAGs • En orienteret graf uden cykler kaldes for en DAG (Directed Acyclic Graph). • En DAG kan f.eks. benyttes til at modellere et aktivitetsnetværk, hvor pilene angiver, at en aktivitets færdiggørelse er en forudsætning for en andens påbegyndelse. • Eksempel: kursusforudsætninger.

50. aktivitetsnetværk D C H A B I F G E Netværksplanlægning • aktivitet forgænger(e) varighed (uger) • A konstruer lagerstyringsmodel - 4 • B implementer lagerstyringsprogram A 13 • C konstruer prognosemodel - 4 • D implementer prognoseprogram C 15 • E indsaml data - 12 • F design database A 4 • G implementer database E, F 2 • H oplær personale B, D 2 • I afprøv system G, H 2