如何利用 HPM 來推動數學史之研究

1. 如何利用HPM來推動數學史之研究 洪萬生 國立台灣師範大學數學系教授 台灣數學教育學會 (TAME) 副理事長 《HPM通訊》發行人 Email ： horng@math.ntnu.edu.tw 個人網頁：http://math.ntnu.edu.tw/~horng

2. 個人學術生涯之反思 • 1985年以前：文化史 (cultural history) 進路 / 數學史與科普寫作志業 / 數學史與通識教育 • 1985-1988：榮獲科教處獎學金，赴美專攻HPM。進入CUNY就學科學史博士班課程，學習社會史 (social history) 進路。同年赴美有王道還與徐光台。抵美之後，在哥大認識傅大為。後來，又在新澤西認識洪裕宏。 • 1988-1991：在清大歷史研究所以『兼任專家』名義兼課（當時只有『講師證書』，清大之『彈性』可見一斑），採取社會史進路，研究『談天三友』，撰寫『李善蘭』（博士論文）。

3. 個人學術生涯之反思 • 1992 年：在遠流出版社之贊助下，與洪裕宏，傅大為，林正弘與戴華等創辦 Philosophy and the History of Science: A Taiwanese Journal，推動學術國際化。 • 1993 年：參加西班牙舉辦的第19屆國際科學史大會。 • 1994 年：入選為國際科學史學院 (International Academy of the History of Science) 之通訊會員 (corresponding member)。 • 1994 年： Historia Mathematica（國際數學史委員會之官方刊物）編輯委員。 • 2004 年：應邀擔任 HPM 國際研究群諮詢委員 • 2005 年：International Journal for the History of Mathematics Teaching (2006年出刊)：編輯委員。

4. 個人學術生涯之反思 • 1995 年：申請第一個數學教育研究計畫『數學史與數學學習』。 • 1996 年：參加 在葡萄牙舉辦的 HPM 96 Braga，並接受委託承辦 HPM 2000 Taipei。首次參與 HPM 國際學術活動。 • 1998 年10月：《HPM 通訊》創刊，邀請蘇惠玉老師擔任主編迄今！

5. 個人學術生涯之反思 • 1999年8月-2001年7月：特別研究計畫（『文本計畫』），配合 HPM 2000 Taipei 之承辦，鼓勵研究生在國際學術研討會上曝光！ • 2002年8月-2004年7月：『HPM與教師專業發展』特別研究計畫。 • 2001-2004：國科會科學教育處『數學教育學門』召集人。

6. HPM 之 DEMO! • 1994：〈數學史上三個公式積圓面〉 • 1996：〈數學史與代數學習〉 • 2000 (與林倉億合撰)：〈數學史教學與數學觀的改變〉 • 2000： “Euclid versus Liu Hui: A Pedagogical Reflection” • 2001：〈貼近《幾何原本》與HPM的啟示：以驢橋定理為例〉 • 2002： “Teaching Experiment with Proposition IX.20 of the Elements” • 2002： “Cognitive Dimension of the HPM: Text vs. Context”

7. HPM 之 DEMO! • 2003：〈建構主義 vs. 柏拉圖主義：親愛的老師你站在哪裡？〉 • 2003： “Power of Innovation: A Historical View” • 2004：〈教改爭議聲中，證明所為何事？〉 • 2004：〈數學史如何呈現？〉 • 2005：〈從古今翻譯看數學文化交流〉 • 2005：〈PCK vs. HPM: 以兩位高中數學教師為例〉 • 2005：〈從程序性知識看《算數書》〉

8. 國一學生的一則學習札記 (1996) • 我每天都幾乎有一節數學，我每天都在看黑板，老師寫的，自己慢慢的看，算法怎麼算，所以每天幾乎都可以理解了幾題。 • 假如我有一個題目不懂，就去問□ □ □（略去同學名字）怎麼作，他糾正我的寫法，我也慢慢的懂了。 • 我對數學有困難的是，不能容忍x, y, z是個數字，並算出一個答案，這是自己面臨（林）到的一個困難，無法突（途）破！

9. 宋金元的天元術：列方程式的方法 • 金元數學家李冶（或李治）《測圓海鏡》卷七第二題： 今有圓城一所，不知周徑。或問丙出南門直行一百三十五步而立，甲出東門直行一十六步見之，問徑幾何？ 草曰：立天元一為半城徑。…… ⊙立天元一為半城徑，就相當於今日之設x為圓城之半徑。

10. 明代唐順之、顧應祥之『反應』 • 唐順之：『藝士著書，往往以秘其機為奇。所謂立天元一云爾，如積求之云爾，慢不省其為何語。』 • 顧應祥：『細考《測圓海鏡》，如求城徑即以二百四十為天元，半徑則以一百二十為天元。既知其數，何用算為？』

11. 晚清華蘅芳的《學算筆談》 • 初學天元之人，每不知天元為何物，則心中存一意見，以為所求之數尚未知，何以能立一天元，遽謂即是此數！ • 立天元之術，其意謂所求之數尚未知，而必有此數則可知，故以所立之天元一即為一個所求之數，亦即以所求之數為一個天元。是天元者，乃是記其所求之數之倍數也。

12. 晚清華蘅芳的《學算筆談》 • 所求之數，既能以天元代之，則可視之如已知，而將此數入算耳。故能將所立之天元與題中已知之各數相加減乘除，此天元之術所由立也。 • 天元則視未知之數無異於已知，故可將已知、未知之各數，依題中曲折以相證。則其所注意者，不在未知之數，而專在相等之兩積。

13. 『一元一次方程式』單元：怎麼編寫？怎麼教學？『一元一次方程式』單元：怎麼編寫？怎麼教學？ • 數學知識的『認知』 vs. 『邏輯』兩個面向如何折衷？ • 你（妳）認為老師怎麼教學而導致學生形成此一『迷思』（或『另類』）概念？ • 有很多老師『照本宣科』！你（妳）認為教材的編寫者強調了一元一次方程式單元的哪一個面向？

14. 一位國中實習教師的教室日誌(2005年3月) • 教學單元：一元一次方程式 • (3月2日) 如果是平時上課，學生就會吵著要做練習題，但是今天卻沒有，可見大多數的學生對於這個單元都不太了解，我絕得依原一次方程式對這個年紀的學生真的很難！當年我學到未知數也是花了許久才理解，所以想要趕快學會就必須下苦工夫才行！

15. 一位國中實習教師的教室日誌(2005年3月) • (3月9日) 有些數學問題是我在學習過程中不曾遇到的，所以我比較不知道學生是如何思考的？例如：化簡 9x+5-8x 會得到 17x+5 的答案，這當然是錯的啦！正確答案是9x-8x+5 = (9-8)x+5 = x+5，但是學生卻是這樣子看的︰9x+8x+5 = 17x+5，原本我說正負號要跟好，意思是8x前的負號要一起看成-8x，但是學生卻是看成9x+後面的東西，難怪怎麼算都錯！但是我平常事〔示〕範例題的時候都有用不同的顏色的粉筆圈起來一再強調，學生卻還是沒有感覺，問題出在哪裡呢？專心度不夠？學生程度不好？

16. 一位國中實習教師的教室日誌(2005年3月) • 本週 (3/7-3/11) 與指導老師討論重點︰ • 一、103這個班級學生學習這一個單元的表 現太差、許多學生都需要個別指導才行！我和○ ○老師安排時間加強指導學生，希望能讓更多人跟上學習進度。 • 二、要求學生徹底了解以符號代表數的真意〔義〕很困難，目前我們的目標是期望學生依照規則將題目做對，例如… … • 三、課本解一元一次方程式用等量公理教學，但是補充的部分是用移項法則，學生的反應普遍都不懂！雖然只不過是省略幾個步驟，就可以更快地解出未知數，可惜學生剛接觸這個單元，就是想讓學生用移項法則〔，這〕似乎太快了，所以教學還是要是〔視〕班級學生程度而定。

17. 一位國中實習教師的教室日誌(2005年4月) • 4月4日：利用摺紙來看三角形中的角平分線和中垂線，教師在台上示範教學，學生也有附件可以自己動手做，有學生私下反應這樣子的課程比較有趣，因為可以親自參與，並不是只有聽老師說。 • 4月22日：雖然數學教了圓形，但並非將每一個有官員行的概念都介紹過（國一的學習目標不需要這麼難的程度），學生做題目的時候就會先遇到先備知識不足的情況，例如：只教了圓心角，卻未交圓周角，更別提是否知道其中的角度關係了！可是試卷或是講義（訂購的）就會出現這樣的題目，如果要讓學生明白原因，就必須花很多時間完整教學（將會耽誤到原本的進度），但是讓學生只記得結果或公式又非數學教師的本意，想要兼顧兩方面還真是難！

18. 阿基米德的動手做『功夫』： Eureka！（取自小天下《圖形的探險》，陳昭蓉翻譯）

19. 希臘史家 Plutarch 評論阿基米德的動手做『功夫』 • 阿基米德的一些動手做發明，只不過是『研究幾何之餘供消遣的玩意』！他的『志氣如此之高，心靈如此之幽深，科學知識如此之豐富，以致於雖然她的這些發明使人們把他看得神乎其技，他卻不削把這些東西寫成書流傳於世，把所有直接為了使用和謀利的機械和技巧都看做是鄙賤之事，而一心一意追求那美妙的，不夾雜俗世需求的學問。』 • 不過，丹麥考據學家 Heiberg 1905 年在伊斯坦堡發現阿基米德的一本十世紀的羊皮手抄稿《方法》(The Method)，推翻了 Plutarch的說法。可見阿基米德也很喜歡『勞作幾何』！

20. 教師努力設計或布置教學活動，教學時數夠嗎？教師努力設計或布置教學活動，教學時數夠嗎？ • 帶領學生利用摺紙來領會幾何概念，是不是一個恰當的教學活動？曾有國內明星大學數學家評論說這是一種『勞作幾何』！ • 從『勞作（或直觀）幾何』到『論理幾何』！從一般學生到資優學生！ • 『卓越追求』與『社會正義』如何兩全？

23. 劉徽注 (263 AD) 的價值與意義 • 根據高樹藩編纂《正中形音義綜合大字典》(台北：正中書局) ︰在甲骨文、金文中缺『注』字。小篆注：從水、主聲，其本義根據許慎《說文解字》作『灌』解，乃自彼輸水適此之意，故從水。又以主在古代為元首之略稱，乃臣屬殊途同趨以朝者；諸細流之注湖澤江海，亦係殊途而同歸之，故注從主聲。 • 漢唐宋時，解釋經史子集曰注，明人始改『注』為『註』！

27. 劉徽如何說明『約分術』 • 約分術曰：副置分、母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。故以等數約之。 • 劉徽注：其所以相減者，等數之重疊也，故以等數約之。 • 更相減損 vs. 輾轉相除法 • 《幾何原本》中的輾轉相除法：『設有不相等的二數，從大數中連續減去小數直到餘數小於小數，再從小數中連續減去餘數直到小於餘數，這樣一直作下去，若餘數總是量不盡其前一個數，直到最後的餘數為一個單位，則該二數互素。』

28. 數學教育家 Keith Weber『如何』看待證明？ (1) 用以說服的證明 (proofs that convince) – Heine-Borel定理之證明，可以說服但無法說明。 (2) 用以說明的證明 (proofs that explain) – 『中間值定理』(intermediate value theorem)之證明，可以說明但無法說服。 (3) 用以核證定義或公設結構的證明 (proofs that justify the use of a definition or axiomatic structure) – 利用 Peano公設來證明 2+2=4。 (4) 用以解釋技巧的證明 (proofs that illustrate technique) – 證明函數 f(x) 為連續函數，則被認為是解釋技巧用的證明（譬如如何熟練 epsilon-delta 的極限定義與技巧）。

29. 劉徽注 vs. 數學證明 • 劉徽對『約分術』中的『更相減損』之說明手法，就是利用一個命題『分子、分母之等數重疊』（分子、分母有最大公因數），來解說『更相減損』這個算則 (algorithm)。 • 歐幾里得的證法當然不是如此，因為他所運用的邏輯推論都是運用在命題之間。 • 如果說劉徽與歐幾里得在分別解說『更相減損』與『輾轉相除法』時，都各自運用了『概念性知識』來進行連結，那麼，劉徽的版本由於出自中算脈絡，在風格上比較接近 David Tall 所謂的『程序成概念』 (procept)。 • 劉徽這個注的論證形式可以『翻譯改寫』如下： 因為分子、分母都是等數的重疊，所以，我們可以運用輾轉相減求出等數，從而可以利用等數來约簡它們。

30. 劉徽注 vs. 數學證明 • 在此，我們補上了『求出等數』這個運算結果。『分子、分母都是等數的重疊』固然是一個命題，後兩者卻是算法而非命題，因此，劉徽在此一脈絡中的註解目的，大概就是利用『分子、分母都是等數的重疊』，來提供『輾轉相減』此一算法的理由。在此一『論證』中，『理由』與『歸結』(conclusion) 之間，沒有所謂的邏輯必然 (logical necessity) 。 • 如果『所以』之後的第一個命題改成『分子、分母一定存在有最大等數』，那麼，「因為分子、分母都是等數的重疊，所以，分子、分母一定有最大等數」，無疑就是邏輯之必然了。

31. 劉徽注 vs. 數學證明 • 有別於歐幾里得論證的『推演關係』(derivation relationship)，劉徽的論證頗像是掌握了『核證關係』(justification relationship)。 • 前者是命題 (譬如 A 與 B 之間) 的演繹關係，後者則是在比如『論述句』(argument) A 被宣稱成立的情況下，『論述句』B 是用以支持 A 或反駁 A。前者之 A 是當作前提 (premise) 或假設 (hypothesis) 用的，至於後者的A 則是一個論題 (thesis)。日常語言中的所謂『推論』(reasoning) ，大都指後者而言。 • 數學史上一些『數值核證』 (numerical justification) 或『幾何圖形重構』(geometrical reconfiguration)（譬如劉徽的『出入相補』），嚴格說來都無法構成數學證明，然而，它們卻是不折不扣的『論述句』，可以在引出相關命題之為真時，為我們加強信心。

35. 劉徽注的意義 • 『注』是甚麼意思？ • 給定 (已知)『方田』面積：『廣從步數相乘為積步』 • 說明『圭田』面積︰『半廣以乘正從』 • 方法︰以盈補虛

38. 劉徽注圓田術 • 圓面積公式：『半周半徑相乘得積步』 • 劉徽注首句︰『按半周為從、半徑為廣，故廣從相乘為積步也。』 • 劉徽的『割圓術』︰『割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣！』 • 劉徽先證明圓面積公式，再據以求圓周率近似值。此一進路與古希臘阿基米德類似。

40. 阿基米德證明圓面積公式的朝鮮版 • 本圖取自朝鮮兩班南秉吉的《九章術解》(約1860年代) • 南秉吉修訂了傳到中國的《數理精蘊》（清康熙皇帝主編）中的圖形與證法。

41. 劉徽 vs. 阿基米德 • 劉徽『直接』進路：割到不可割！ • 阿基米德『間接』迂迴，運用了所謂的『窮盡法』(the method of exhaustion)。固然『嚴密』，可惜，失之『直觀』！ • 刻卜勒 (Kepler)的『直觀』解讀 – 說明為甚麼圓面積長成那個樣子！ • 刻卜勒的能力，稱作『數學洞察力』(mathematical insight) ！

46. 美國加州公立數學課程綱要『幾何』（8-12年級）美國加州公立數學課程綱要『幾何』（8-12年級） • 此一課程綱要的『論理嚴密』，廣受國內很多數學家推崇： 『數學的最重要目標，是教授學生邏輯推論。隱含在數學學習中的邏輯推理，允許我們將數學應用到很大範圍的情境上，其中有關實際問題的解答可以達到精確的程度。 上了八年級以後，學生的數學敏銳度應該強化。他（她）們需要開始理解邏輯的奧妙，並體會到下結論之前實質有效的論證之需求。 數學推理與概念理解不應與內容分離；它們是內稟 (intrinsic) 於學生在更高層次精通的數學分科之中。』 (CDSMS, 2000, pp. 72-73)

47. 美國加州公立數學課程綱要『幾何』（8-12年級）美國加州公立數學課程綱要『幾何』（8-12年級） • 『三角形或多邊形與外接圓的關係，應該及早安排教授： 在幾何課程中，似乎沒有人好好考慮將有關圓形的定理趁早引進。譬如說吧，有關在圓形中等弧對等角的一些相當特出的定理，必須在介紹完幾何公理之後三週內就呈現給學生。而這，主要的目的是證明下列兩個定理： 1. 等腰三角形兩底角相等； 2. 一個三角形的外角等於兩個遠內角的和。』

48. 《幾何原本》的邏輯順序 • 在《幾何原本》(The Elements) 中，等弧對等角之相關定理，卻是安排在第III冊命題27、28與29： III. 27. 在等圓中，等弧上的圓心角或圓周角是彼此相等的。 III. 28. 在等圓中等弦截出相等的弧，優弧等於優弧，劣弧等於劣弧。 III. 29. 在等圓中，等弧所對的弦也相等 （歐幾里得，1992，頁81-83；Heath, 1956, vol. 2, pp. 58-60）。

49. 《幾何原本》 • 證明III. 27，就依賴了I. 23、III. 20與III. 26。但是，III. 20的證明依賴了I. 5。III. 26依賴了III. 24，從而 III. 10，乃至於 I. 8，後者最後還是依賴了 I. 5。至於I. 23 則是基於 I. 8，於是，最終還是仰賴了I. 5。 • I. 5的（完整）內容為： 『在等腰三角形中，兩底角彼此相等；並且若向下延長兩腰，則在底以下的兩角也彼此相等。』

50. 《幾何原本》 • 若想利用III. 27來引進『等腰三角形兩底角相等』之命題，而又不想離開歐幾里得的脈絡，那麼，我們勢必無法迴避邏輯推論上的循環謬誤 (circular fallacy)。 • 再以III. 28與III. 29的證明為例，前者至少依賴了I. 8，因而一定逆推回I. 5，於是，循環謬誤仍然無法避免。同理，證明III. 29必須依賴III. 27，於是，循環謬誤依然。