第四章函数

第四章 函数

第四章函数 4-1 函数的概念定义4-1.1设X，Y为任何两个集合，如果f 为X到Y的关系（fXY），且对每一 xX，都有唯一的 yY，使 <x , y>f。则称f是X到Y的函数（functions），记为 f：X→Y，函数也称映射（mapping）或变换(transformation）。当X=X1…Xn时，称 f 为n元函数。若<x , y>f，则x称为自变元，y称为x在f作用下x的象， <x , y>f记作y=f(x)。由所有xX的象构成的象集合称为函数的值域ranf，即 ran f=f(X)={f(x)|xX}Y

前域（定义域）dom X，值域(象集合)ran f， 陪域（共域）Y 由函数的定义可知，函数是特殊的关系，特殊点有以下两点：（1）函数的定义域是X，而不是X的真子集。即任意xX都有象yY存在（象存在性）。（2）一个x只能对应唯一的一个y（象唯一性）。函数的定义式还可以写成： f={ <x,y> | xX∧ yY∧ f(x)=y}

定义3-5.3 令A和B是任意两个集合，直积AB的子集 R称为X到Y的二元关系。 x3  y1 x1  y3   x4  y2 x2   y4  x5 y5 A   y6 R  B domR ranR

x3  y1 x1  y3   x4  y2 x2   y4  x5 y5 X   y6 f  Y Dom f ran f

定义4-1.2 设函数 f:A→B，g:C→D，如果A=C，B=D，且对所有xA和xC，都有f(x)=g(x)，则称函数f等于函数g, 记为f=g。如果AC，B＝D，且对每一xA，f(x)＝g(x)。则称函数f包含于函数g，记为fg。设X和Y都是有限集合，X  = m，Y  = n，由于从X到Y任意一个函数f的定义域都是X，每一个f都有m个序偶（象存在性），那么{f  f: X→Y}的基数为nm。即共有nm个X到Y的函数。

定义4-1.3、4、5设f：X→Y。 （1）如果对任意 yY，均有 xX，使 y=f(x)，即ran f=Y，则称 f为X到Y的满射函数(surjection)，满射函数也称映上的函数。（2）如果对任意x1，x2X , x1x2蕴涵 f(x1) f(x2)。则称 f为X到Y的单射函数(injection)，单射函数也称一对一的函数或入射函数。（3）如果f既是X到Y的单射，又是X到Y的满射，则称 f 为X到Y的双射函数（bejection）。双射函数也称一一对应。

定理4-1.1 令X和Y为有限集，若X和Y的元素个数相同，即X = Y，则有 f:X→Y是入射当且仅当它是一个满射。  证明思路：a.先证f:X→Y是入设它是一个满射若f是入射，则X = f(X)(一对一映射源的个数=象的个数)。因为f(X) = Y(由定理条件X=Y，象的个数=Y的元素个数)和f(X)Y。又因为Y是有限集合，故f(X) =Y。 f:X→Y是满射， b.再证f:X→Y是一个满射它是入射若f是满射（f(X) =Y），则X = Y = f(X)。又因为X是有限集合，源的个数=象的个数，所以f:X→Y是入射。  此定理不适用于无限集合上的映射。

4-2 逆函数和复合函数 对于关系R，把每个序偶的第一元素和第二元素颠倒顺序后得到其逆关系Rc。对于函数，源和象颠倒后是否还是函数，要做一些限制。定理4-2.1设f:X→Y是一个双射函数，那么fc为Y到X的双射函数，即有fc :Y→X。此定理可以分三步证明：

证明：a). 先证fc是一个函数（需要证存在性和唯一性）设f={ <x, y> | xX∧ yY∧ f(x)=y} 和fc={ <y, x> | <x, y>  f} 因f是双射，所以f是满射，即所有的yY都有x与它对应，这正是fc的存在性。又因f是双射，所以f是入射，即所有的yY都只有唯一的x与它对应，这正是fc的唯一性。 b). 二证fc是一个满射又因ran fc =dom f=X, fc是满射。 c). 三证fc是一个单射反设若y1≠ y2,有fc(y1)=fc(y2) 因为 fc(y1)=x1, fc(y2)=x2,得x1=x2，故f(x1)=f(x2)，即y1 =f(x1)=f(x2)= y2 。得出矛盾，假设不成立。定理证毕。 

定义4-2.1设f:X→Y是一个双射函数，称Y→X的双射函数fC为f的逆函数，记为f-1。定义4-2.1设f:X→Y是一个双射函数，称Y→X的双射函数fC为f的逆函数，记为f-1。定义4-2.2设函数f:X→Y, g:W→Z,若f(X)W，则 gf={<x,z>|xX∧zZ∧(y)(yY∧y=f(x)∧z=g(y))},称g在函数f的左边可复合。

定理4-2.2设两个函数的复合是一个函数。  证明：设g:W→Z ,f:X→Y为左复合,即f(X)W， a). 先证象存在性对于任意xX,因为f为函数，故必有唯一的序偶<x,y>使y=f(x)成立。而f(x) f(X)，即f(x) W，又因为g是函数，故必有唯一的序偶<y,z>使z=g(y)成立,根据复合定义， <x,z>  gf。即X中的每个x对应Z中的某个z。 b).再先证象唯一性假定gf中包含序偶<x,z1>和<x,z2>且z1≠z2，这样在Y中必存在y1和y2，使得在f中有<x,y1>和<x,y2>,在g中有<y1, z1 >和< y2, z2 > 。因为f为函数，故y1=y2。于是g中有<y,z1>和<y,z2>,但g为函数，故z1=z2。即每个x只能对应一个唯一的z，满足<x,z>  gf。由a).和b).知gf是一个函数。定理证毕。 

定义4-2.2补充设函数f:X→Y, g:Y→Z, 则 gf={<x,z>|xX∧zZ∧(y)(yY∧y=f(x)∧z=g(y))}, 称为复合函数，或称gf为g对f的左复合。此定义中假定ran fdomg如果不满足这个条件，则定义gf为空。例题1 解 gf={<1,b>,<2,b>,<3,b>} f p 1 a   g  Z X Y 2  b   q 3  gf

定理4-2.3 设 f:X→Y，g:Y→Z，gf是一个复合函数，则（1）如果 f和g是满射的，则gf也是满射的。（2）如果f和 g是单射的，则gf也是单射。（3）如果 f和 g是双射的，则gf也是双射的。 定理4-2.3证明： a).设 f:X→Y, g:W→Z为,令z为Z的任意一个元素，因g是满射，故必有某个元素yY使得g(y)=z，又因为f是满设，故必有某个元素xX使得f(x)=y，故 gf(x)=g(f(x))=g(y)=z 因此，Rgf =Z， gf是满射的。

b).设令x1、x2为X的元素，假定x1≠x2，因为f是入射的,故f(x1)≠f(x2) 。又因为g是入射的,故g(f(x1))≠g(f(x2)), 于是x1≠x2 gf(x1) ≠ gf(x2)，因此，gf是入射的。 c).因为g和f是双射，故根据a).和b).， gf为满满射和入射的，即gf是双射的。定理证毕。  定义4-2.3 函数f:X→Y叫做常函数,如果存在某个 y0Y,对于每个xX都有f(x)=y0 ,即f(X)={y0} 。定义4-2.4 ，如果Ix={ <x,x> | xX} 则称函数Ix:X→Y为恒等函数。定理4-2.4 设f：X→Y，则f=fIx=Iyf

定理4-2.5 如果函数f:X→Y，有逆函数f-1:Y→X,则f-1 f = Ix且f f-1= Iy 证明： a). f-1 f 与Ix的定义域都是X。 b).因为f是一一对应的函数，故f-1也是一一对应的函数。若f: x→f(x)则 f-1(f(x)) =x,由a).和b).得f-1 f=Ix。故xX(f-1f)(x)=f-1(f(x)) =x。定理证毕。 例题3见P-155页

定理4-2.6若f:X→Y是可逆的，则(f -1) -1= f 。  证明： a).因f:X→Y是一一对应的函数，故f-1 :X→Y也是一一对应的函数。因此(f -1) -1 :X→Y又是一一对应的函数。显然 dom f = dom (f -1) -1 =X b). 设xXf: x→f(x) f-1:f(x)→x (f -1) -1 : x→f(x) 。由a).和b).得(f -1) -1= f 。定理证毕。

定理4-2.7 设 f:X→Y,g:Y→Z 都是可逆的,那么 g f也是可逆的，且(gf)–1 = f-1g–1。  证明：a).因f:X→Y,g:Y→Z都是一一对应的函数,故f-1 和 g-1均存在，且f-1:Y→X，g-1:Z→Y，所以f-1 g–1 :Z→X。根据定理4-2.3， g f:X→Z是双射的，故(gf)–1存在且(gf)–1 :Z→X。 dom (f-1g–1) = dom (gf)–1 = Z b). 对任意zZ存在唯一yY,使得g(y)=z存在唯一xX,使得f(x)=y,故 (f-1g–1)(z)= f-1(g–1(z))= f-1(y)=x 但(gf)(x)=g(f(x)) =g(y)=z 故 (gf)–1(z)=x 因此对任意zZ有： (gf)–1(z)= (f-1g–1)(z) 由a).和b).得(f-1g–1)=(gf)–1。定理证毕。

4-4基数的概念 定义4-4.1 给定集合A的后继集定义为集合： A+=A∪{A} 若A为空集，则后继集为+ ，(+)+ ，((+)+)+，…，这些集合可写成如下形式并分别命名为1，2，3，…： 0=  0+=1= + = ∪{} ， 1+=2= (+)+ = + ∪{+ } = ∪{} ∪{∪{}}， 2+=3=((+)+)+ = (+)+ ∪{(+)+ } = ∪{}∪ { ∪{}}∪{∪{}∪ {∪{}}}， …，这样，就定义了自然数集合： { 0，1，2，3，… }

自然数集合概括为如下的公理形式： 1）0N（其中 0=）。 2）如果nN，那么n+N（其中n+ =n∪{n}). 3）如果一个子集SN具有（极小）性质： a) 0S 。 b) 如果nS，有n+S，则S=N。性质3）指明了自然数系统的极小性质，即自然数系统是满足公理 1）和 2）的最小集合。定义4-4.2 给定两个集合P和Q，如果对P中每个不同元素，与Q中每个不同元素，可以分别两两成对，那么称P的元素与Q的元素间存在着一一对应。定义4-4.3 当且仅当集合A的元素与集合B的元素之间存在着一一对应，集合A与集合B称为是等势的（或称同浓的）。记为A~B 。

例题1和例题2都是证明两个集合等势。证明方法是“构造一个从一个集合到另一个集合的一一对应。”例题1和例题2都是证明两个集合等势。证明方法是“构造一个从一个集合到另一个集合的一一对应。” 定理4-4.1 在集合族上等势关系是一个等价关系。  证明：利用等价三判据“自反、对称、传递” 设集合族为S a) 对于任意集合AS，必有A~A，等势关系是自反的。 b) 对于任意两个集合A、BS，若A~B，则必有B~A，等势关系是对称的。 c) 对于任意三个集合A、B、CS，若A~B，且B~C，则必有A~C，等势关系是传递的。  定义4-4.4 如果有一个集合{0,1,…,n-1}到A的双射函数，那么称集合A是有限的；如果集合A不是有限的，则它是无限的。

定理4-4.2 自然数集合N是无限的。  证明思路：对于任意有限自然数nN 考察两个集合 A={1，2，3，…，n-1} 和 N={1，2，3，…，n-1，n，...} 证明出不能构造出一个A到N的一一对应。只要令k=1+ max{f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n-1)} 显然kN,且k不是集合A中任一元素的象。即不存在A到N的一一对应。  定义4-4.5所有与集合A等势的集合所组成的集合，称为集合A的基数，记为K[A]。由基数定义知：“有限集合的基数就是其元素个数。” 约定空集的基数为0

4-5可数集与不可数集 定义4-5.1 所有与自然数集合N等势的集合称为可数的，可数集合的基数记为א0。有限集和可数集统称为至多可数集。定理4-5.1 A为可数集的充分必要条件是其元素可以排列成: A={a1，a2，a3，…，an ，...}  证明思路：a).先证充分性： A可排列成上述形式 A为可数集 b).再证必要性： A为可数集  A可排列成上述形式构造移易对应 f(n)=an即可。 

定理4-5.2 任意一个无限集必含有可数子集。  证明：从一个无限集A中任意取出一个元素a1后，A-{a1}仍然是一个非空集合。在取出一个元素a2后， A-{a1，a2}仍然是一个非空集合。以此类推，就得到A的一个可数子集{a1，a2 ，…,an ,…}。 定理4-5.3 任意一个无限集必与其某一真子集等势。  证明：设M是一个无限集，M必含有一个可数子集A={a1，a2 ，…,an ,…}，设M-A=B，构造集合M到其自身的映射f:MM-{a1}，使得 f(an)=an+1(n=1,2,…) 且对于任意bB,有f(b)=b。这样定义的f是双射。 定理4-5.3的几何意义见图4-5.1 。

定理4-5.4 任意一个可数集合的无限子集必是可数集。  证明：设A是一个可数集合，BA为一无限子集，如果将A的元素排列成a1，a2 ,…,an ,…,从a1开始向后检查,不断地删去不在B中的元素，则得到新的一列: ai1,ai2 ,…, ain ,…,它与自然数一一对应,所以B是一个可数子集。 定理4-5.5 可数个两两不相交的可数集之并，仍然是一个可数集。  证明：设M是一个无限集，M必含有一个可数子集 S1={a11，a12 ，…,a1n …} S2={a21，a22 ，…,a2n …} ………………… ∞ 令S=S1∪S2∪…∪Sn∪…=∪Sk,对S的元素作如下排列: k=1

    足标之和： a11 a12 a13 a14 … a21 a22 a23 a24 … a31 a32 a33 a34 … a41 a42 a43 a44 … ………………… 在上述元素的排列中，由左上端开始，其每一对角线上的元素足标之和都相等，依次为2,3,4,5,…，各对角线上元素的个数依次为1，2，3，4,5,…，故 ∞ ∪ Sk,S的元素作如下排列:a11,a21,a12,a31, a22, a13…。 k=1

定理4-5.6 可设自然数集合N，则NN是可数集。  证明：首先把的元素足码按表4-51排列，并对表中每个序偶注以标号。表4-5.1 0 1 3 6 10 <0,0> <0,1> <0,2> <0,3> <0,4> … 2 4 7 11 <1,0> <1,1> <1,2> <1,3> <1,4> … 5 8 12 <2,0> <2,1> <2,2> <2,3> <2,4> … 9 13 <3,0> <3,1> <3,2> <3,3> <3,4> … 14 <4,0> <4,1> <4,2> <4,3> <4,4> …

作双射f：NN→N如下： f(m,n) = [(m+n)(m+n+1)+m]/2 把f(m,n)看作表4-5.1中的序偶<m,n>的标号，则 f：NN→N是一个双设函数。下面分两步予以证明： a). 先证明任意给出一个序偶<m,n>，能够唯一地确定一个自然数k= f(m,n)N 证明过程是初等数学运算，化简、整理。略 b). 再证明任意给出一个自然数k= f(m,n)N，能够唯一地确定一个序偶<m,n>，证明过程是初等数学运算，化简、整理。略。 

定理4-5.7 有理数的全体组成的集合是可数集。  证明：由定理4-5.6可知， NN是可数的，在NN集合中删除所有m和n不是互为质数的序偶<m,n>，得到集合SNN，S={<m,n>|mN,nN且m和n互质}。因为S是NN的无限子集，故由定理4-5.4可知，S是可数集合。令g:S→Q+即g: <m,n>→m/n（其中m和n互质），因为g是双射，故Q+是可数集。又因为Q+~Q-，故 Q= Q+∪Q-∪ {0} 是可数集。 

定理4-5.8 全体实数组成的集合R是不可数集。  证明：因为f:(0,1)→R是双射函数，令 S={<x|xR且(0<x<1)} 若能证明S是不可数集，则R也必为不可数集。用反证法：先反设S={S1，S2，S3，…}是可数集，推出矛盾的结论。见P-169页的详细证明过程。  我们把集合(0,1)的基数记为“א”，因为(0,1)~R，故K[R]=א。“א”称为连续统的势。

4-6基数的比较 定义4-6.1 设A，B为任意集合。（1）如果有双射f:A→B或双射f:B→A，则称A，B基数相等，记为A=B 。（2）如果有入射f:A→B或满射f:B→A，则称A的基数不大于（小于等于）B的基数，记为A≤B。（3）如果A≤B, 且AB，则称A的基数小于B的基数，记为 A<B。

定理4-6.1（Zermelo定理）对任意集合A，B， a). 或者A < B， b). 或者B < A， c). 或者A = B，且不能兼而有之。定理4-6.2（Cantor-Schroder-Bernstein定理）对任意集合A，B，如果A≤B且B≤A，则A = B。此定理给出了证明集合基数相同的方法：若能构造一个入射函数f:A→B，则说明A≤B，又,若能构造一个入射函数g:B→A,则说明B≤A。定理4-6.3 对任意有限集合A,都有A<א0<א。连续统假设：不存在任何基数使得א0<S<א成立。

 证明：设A=n，则A~{0,1,2,…,n-1}。 a).先证A< א0 定义函数f:{0,1,2,…,n-1}→N ， f(x)=x是入设函数，故 A≤N 在定理4-4.2中已经证明N到A之间不存在双射函数，所以 A≠N 故 A<N ，即A<א0。 b).再证א0 < א 作映射g:N→[0,1]，g(n)=1/(n+1),g是入设函数，故 א0≤א。因为N与[0,1]间不能一一对应,故א0≠א,因此א0<א。 定理4-6.4 若A是无限集合,则有א0≤A。  证明：因为A是无限集合，故A必包含一个可数无限子集A’，作函数f:A’→A,使得f(x)=x,对x∈A’，f是入射函数，故A’≤A。但A’ = א0，因此א0≤A。 

定理4-6.5（Cantor定理）设M是一个集合， T是M的幂集，即T=P(M)，则 M<T。  证明：设A=n，则A~{0,1,2,…,n-1}。 a).先证M≤T 定义函数f:M→T，使得f(a)={a} ,则f是入设函数，故 M≤T。 b).再证M≠T （用反证法）反设M=T ，则必有双射:M→T，对于任意 m∈M,必有T中唯一的(m),与之对应，即m→(m)。若m∈(m)，称m为M的内部元素，若m(m)，称m为M的外部元素。设S={x|xM且x(x)}，即S为M的外部元素集合。则有SM，故S∈T 。因为是双射，故必有一个元素bM，使得 (b)=S 若b∈S,因为(b)=S,此时b为M的内部元素，矛盾。若bS,因为(b)=S,此时b为M的外部元素，矛盾。故M≠T ，由a).和b).得M<T 。

第 四 章 函 数