Množiny

1. Množiny

2. Základné pojmy • prvok – objekt, z ktorých sa skladá množina • množina – súhrn objektov určitej vlastnosti • je jednoznačne určená, keď o každom prvku vieme povedať, či danú vlastnosť má alebo nemá, t.j. či do množiny patrí alebo nepatrí • označenie množiny – A, B, C, X, N, R, Z, Q, . . . • označenie prvku – a1, x2, . . . • označenie vzťahu • prvok x patrí do množiny A x  A • prvok x nepatrí do množiny A x  A • označenie počtu prvkov množiny  A  = číselná hodnota

3. Určenie množiny • vymenovaním všetkých jej prvkov (pri konečných množinách) Konečná množina: je to množina, ktorá má konečný počet prvkov napr.: A = {1,2,3,4}, B = {Jano,Fero,Mišo,Adam} • udaním charakteristickej vlastnosti prvkov množiny (pri nekonečných množinách) Nekonečná množina: je to množina, ktorá má nekonečný počet prvkov napr. množina všetkých reálnych čísel, B = {xN; x >6}

4. Zobrazenie množín • spôsob - kruhy: • spôsob – Vennove diagramy:

5. Zvláštny prípad množiny Prázdna množina je množina, ktorá neobsahuje žiaden prvok • zápis: A = Ø

6. Vzťahy medzi množinami • Rovnosť množín: def.: Množiny A a B sa rovnajú (A=B) práve vtedy, keď každý prvok je súčasne prvkom množiny A aj B zápis: x: A=B x A x B • Množinová inklúzia (podmnožina): def.: Množina A je podmnožinou množiny B (A  B), ak každý prvok množiny A je zároveň prvkom množiny B. (opačne to neplatí) zápis: x: AB (x A  x B) Ø Ø Ø

7. Operácie s množinami • Prienik množín: def.: Prienikom množín A,B nazývame množinu A  B tvorenú práve tými x, ktoré sú súčasne prvkami oboch množín A, B zápis: x  A B x A  x B • Zjednotenie množín: def.: Zjednotením množín A,B nazývame množinu A B tvorenú práve tými x, ktoré sú prvkami aspoň jednej z množín A,B zápis: x  A Bx A  x B

8. Operácie s množinami • Rozdiel množín: def.:Rozdielom množín A,B (v uvedenom poradí) nazývame množinu A – B tvorenú práve tými x, ktoré patria do množiny A a nepatria do množiny B zápis: x  A\B x A  x B • Doplnok (komplement) množiny: def.: Doplnkom množiny A v jej nadmnožineB nazývame množinu A’Btvorenú práve tými x, ktoré sú prvkami B, ale nie sú prvkami A zápis: x  A’Bx  B x  A

9. Príklad 1 Dané sú množiny A = x N x  6 B = x Z -3  x  3 C = x N x /24(x delí číslo 24). • Vymenujte prvky jednotlivých množín • Určte prieniky dvojíc množín aj všetkých troch • Nakreslite množiny A, B, C v jednom obrázku riešenie

10. Príklad 2 Uložte prvky na Vennovom diagrame do správnej časti, ak množiny A, B majú prvky: A = 1, 2, 3, 4, 5 B = 1, 3, 5, 7 riešenie

11. Príklad 3 Uložte prvky na Vennovom diagrame do správnej časti, ak množiny A, B, C majú prvky: A = 1, 2, 3, 4, 5 B = 1, 3, 5, 7, 8 C = 2, 3, 6,7 riešenie

12. Príklad 4 Zobrazte na Vennovom diagrame množiny: • A  B’ • A’  B • A  B  C’ • B  A’  C • C’  A  B’ • A  B  C’ • B’  A  C • C’  A’  B • A  B’  C’ • A  C  B’ • B  C’  A’ • A  B  C’ riešenie a)-f) riešenie g)-l)

13. Príklad 4 Zobrazte na Vennovom diagrame množiny: • A \B’ • A’ \ B • A \ B  C’ • B  A’ \ C • C’  A  B’ • A \ B \ C’ • B’ (A \ C)’ • C’  (A’  B) • (A  B)’  C’ • A (C  B)’ • (A C)’ B’ • (A  B  C)’ riešenie m)-r) riešenie s)-x)

14. Príklad 5 15 žiakov triedy chodí na angličtinu, 13 na nemčinu. Na angličtinu aj nemčinu chodí 7. Koľko žiakov má trieda, ak každý žiak chodí aspoň na jeden jazyk? N A  A  = 15 •  N  = 13 •  A  N  = 7 15 - 7 13 - 7 8 7 6 Počet žiakov: 8 + 7 + 6 = 21 V triede je 21 žiakov.

15. Príklad 6 11 žiakov triedy chodí na angličtinu, 19 na nemčinu, a 15 na francúzštinu. 8 chodia na angličtinu aj nemčinu, 9 na nemčinu a francúzštinu a 6 na angličtinu a francúzštinu. 5 žiakov chodí na všetky tri jazyky. Koľko žiakov má trieda, ak každý žiak chodí aspoň na jeden jazyk? N A  A  = 11  N  = 19 •  F  = 15 •  A  N  = 8 •  N  F  = 9 •  A  F  = 6 •  A  F  N  = 5 3 2 7 5 1 4 5 Žiakov: 2+1+3+5+7+4+5=27 F V triede je 27 žiakov.

16. Príklad 7 Z obrázka vyčítajte počty žiakov chodiacich na angličtinu, nemčinu a ruštinu. •  A  = •  N  = •  R  = •  A  N  = •  N  R  = •  A  R  = •  A  R  N  = N A 2 1 5 4 1 3 2 R V triede je ..... žiakov.

17. koniec

18. Riešenie príklad 1 Dané sú množiny A = x N x  6 B = x Z -3  x  3 C = x N x /24(x delí číslo 24) • Vymenujte prvky jednotlivých množín • Určte prieniky dvojíc množín aj všetkých troch • Nakreslite množiny A, B, C v jednom obrázku a) A = 1, 2, 3, 4, 5 B = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 C = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 • b) • A  B = 1, 2, 3 • A  C = 1, 2, 3, 4 • B  C = 1, 2, 3 • A  B  C = 1, 2, 3 • c) späť

19. Riešenie príklad 2 Uložte prvky na Vennovom diagrame do správnej časti, ak množiny A, B majú prvky: A = 1, 2, 3, 4, 5 B = 1, 3, 5, 7 späť

20. Riešenie príklad 3 Uložte prvky na Vennovom diagrame do správnej časti, ak množiny A, B, C majú prvky: A = 1, 2, 3, 4, 5 B = 1, 3, 5, 7, 8 C = 2, 3, 6,7 späť

21. Riešenie príklad 4a)-f) Zobrazte na Vennovom diagrame množiny: • A  B’ • A’  B • A  B  C’ • B  A’  C • C’  A  B’ • A  B  C’ späť

22. Riešenie príklad 4g)-l) • B’  A C • C’  A’ B • A  B’  C’ • A  C  B’ • B  C’  A’ • A  B  C’ späť

23. Riešenie príklad 4m)-r) • A \ B’ • A’ \ B • A \ B  C’ • B  A’ \ C • C’  A  B’ • A \ B \ C’ späť

24. Riešenie príklad 4s)-x) • B’ (A \ C)’ • C’  (A’  B) • (A  B)’  C’ • A (C  B)’ • (A C)’ B’ • (A  B  C)’ späť