מספרים ראשוניים ומספרים פריקים חזקות

1. מספרים ראשוניים ומספרים פריקים • חזקות

2. מספרים ראשוניים ומספרים פריקים חשיבות הנושא • נושא מתמטי החשוב בפני עצמו ולאו דווקא לשם יישום מיידי כלשהו • העמקה בנושא אִפשרה התפתחות ענפים נוספים במתמטיקה • הנושא מאפשר חקר מתמטי אמיתי אפילו ברמת תלמיד של בית הספר היסודי.

3. מספרים ראשוניים ומספרים פריקים בתכנית הלימודים (עמוד 88) מתוך תכנית הלימודים במתמטיקה לכיתות א-ו בכל המגזרים עמוד 88

4. מספרים ראשוניים ומספרים פריקים מוכנות ללימוד הנושא • שליטה בעובדות לוח הכפל (כולל תרגילי החילוק) • יכולת לבצע תרגילי כפל וחילוק מעבר ללוח כפל • סימני התחלקות ב-2, ב-5 וב-10 • הבנה (אינטואיטיבית) של חוק החילוף וחוק הקיבוץ של הכפל.

5. א. מספר ראשוני ומספר פריק (עמ' 46 – 51) • הגדרת המושג מחלק • מספר המחלקים של מספר טבעי נתון • מיון המספרים הטבעיים לפי מספר המחלקים שלהם: • מספרים שיש להם יותר משני מחלקים שונים • מספרים שיש להם בדיוק שני מחלקים שונים - המספר עצמו והמספר 1 • מספרים שיש להם רק מחלק אחד • הגדרת מספר ראשוני ומספרפריק • ייחודו של המספר 1 • מספר ראשוני וגם זוגי – הייתכן?

6. א. מספר ראשוני ומספר פריק (עמ' 46 – 51) מציאת כל המספרים הראשוניים עד למספר שלם מסוים

7. ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים (עמ' 52– 56) פירוק לגורמים – למה הכוונה? פירוק לגורמים כלשהם: 4 × 8 × 8 × 8 = 2,048 4 × 8 × 8 × 8 4 ×4 ×4 × 4 × 8 4 ×4 ×4 × 4 × 8 = 2,048 לאותו מספר קיימים כמה פירוקים שונים זה מזה.

8. ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים (עמ' 52– 56) פירוק לגורמים – למה הכוונה? הפעם נפרק לגורמים ראשוניים: 1,176 588 × 2 = 294 × 2 × 2 = 1,176 147 × 2 × 2 × 2 = 1,176 49 × 3 × 2 × 2 × 2 = 1,176 7 × 7 × 3 × 2 × 2 × 2 = 1,176

9. ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים (עמ' 52– 56)

10. ג. בניית מספר מגורמים ראשוניים (עמ' 57– 58) • נתונים שני מספרים ראשוניים:2 ו-3. • כופלים את 2 בעצמו 29 פעמים ואת 3 בעצמו 47 פעמים, ואת התוצאות כופלים זו בזו. מקבלים מספר טבעי מסוים, אך כעת לא נעסוק בחישובו. • כופלים את 2 בעצמו 33 פעמים ואת 3 בעצמו 25 פעמים, ואת התוצאות כופלים זו בזו. מקבלים מספר טבעי אחר. גם הפעם לא נחשב את המספר עצמו. • מדוע אנו יכולים להיות בטוחים, ששני המספרים האלה יהיו שונים זה מזה? 225 = 5 × 5 × 3 × 3 625 = 5 × 5 × 5 × 5 125 = 5 × 5 × 5 126 = 7 × 3 × 3 × 2 84 = 7 × 3 × 2 × 2 42= 7 × 3 × 2

11. הרחבה למורים: נתון מספר שהוא מכפלה של 4 מספרים ראשוניים שונים. כמה מחלקים שונים (לאו דווקא ראשוניים) יש למספר הנתון? נסו להרכיב מספרים מתאימים ולבדוק.

12. מספרים ראשוניים ומספרים פריקים • חזקות

13. כמה מילים על פעולת החזקה... • פעולת החזקה במספרים טבעיים כהרחבה של פעולות חשבון שנלמדו עד עכשיו • האם חוקי הפעולות (חילוף, קיבוץ, פילוג) מתקיימים בפעולת החזקה? - אם לא – מדוע? - אם כן – כיצד?

14. חזקות בתכנית הלימודים מתוך תוכנית לימודים, מתמטיקה לכיתות א-ו בכל המגזרים. עמוד 89

15. א. תרגילי שרשרת – כפל לעומת חיבור (עמ' 60– 61) 15 6 24 60 18 24 72 96 1 2 1 16 3 4 256 81

16. ב. מהו תרגיל חזקה (עמ' 62– 61) לימוד השפה המתמטית – הקשר בין כתיב חזקה, תרגיל שרשרת של כפל ושם במילים תשע בחזקת שלוש 5 × 5 × 5 10 × 10 × 10 × 10 עשר בחזקת ארבע

17. ג. בסיס ומעריך (עמ' 64– 66)

18. ג. בסיס ומעריך (עמ' 64– 66) 16 8 4 2

19. ד. סדר המספרים בתרגיל החזקה (עמ' 67– 70) 7 7 4 3 3 4 12 12 3 3 4 4 3 4 81 64 4 3

20. חזקות ופירוק לגורמים = 4 × 8 × 8 × 8 = 2,048 = 4 ×4 ×4 × 4 × 8 = 2,048

21. חזקות ופירוק לגורמים ראשוניים = 625 = 5 × 5 × 5 × 5 = 125 = 5 × 5 × 5 = 126 = 7 × 3 × 3 × 2 = 3,528 = 7 × 7 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2

22. חזקות - הרחבה למורים: • כתיב חזקה – גם תרגיל חשבוני (כפל חוזר) וגם ייצוג של מספרים • שתי פעולות הפוכות לחזקה:

23. חזקות - הרחבה למורים: המספר 0 והחזקה: 0=03=0×0×0 מהו 30?

24. חזקות - הרחבה למורים: המספר 0 והחזקה: 0n=0 n0=1 מצד אחד: 00=1 (כי n0=1) מהו 00? מצד אחר: 00=0 (כי 0n=0) רואים שאין עקביות בהגדרת הפעולה, לכן הוגדר הביטוי 00כביטוי חסר משמעות.

25. תודה רבה!צוות המתמטיקהwww.cet.ac.il/math

26. מהו חוק החילוף? נסמן פעולה כלשהי בסימן #. אם לכל שני מספרים a ו- b מתקיים: a # b = b # a, אזי עבור הפעולה # מתקיים חוק החילוף. לדוגמה, # מסמן חיבור (+): 5 # 8 = 8 # 5 (13 = 8 + 5) (13 = 5 + 8) עבור פעולה זו (חיבור) מתקיים חוק החילוף.

27. מהו חוק החילוף? הפעם # מסמן חזקה (שימו לב: לפעולת חזקה אין סימן מיוחד, מסמנים אותה רק על ידי כתיבה מוסכמת) נבדוק את קיומו של חוק החילוף עבור חזקה: 2 # 4 = 4 # 2 = בדיקה נוספת: 2 # 3 3 # 2 9 = 3 × 3 = 8 = 2 × 2 × 2 = קיום דוגמה נגדית אחת מראה כי עבור פעולת חזקה לא קיים חוק החילוף. 3 4 2 2 2 2 4 3

28. מהו חוק הקיבוץ? אם לכל שלושה מספרים a, b ו-c מתקיים: (a # b) # c = a # (b # c) אזי עבור הפעולה # מתקיים חוק הקיבוץ. ברור אפוא, כי עבור פעולת החזקה חוק הקיבוץ לא מתקיים