《计算数论》复习提纲

《计算数论》复习提纲

整数的因子分解(ch1) • 1.整数的唯一分解定理 • 2.欧几里德算法 • 最大公因子的求法 • 最大公因子的整数线性表示 • 模n的逆元 • 一元线性同余方程的求法 • Mersenne素数 • Fermat素数

同余（ch2） • 同余，简化了数论中的许多问题. • 同余的基本性质 • 剩余类环 • 同余方程的求解方法 • 线性同余方程的求解 • 高次同余方程的求解 • 同余方程组的求解方法 • 原根和指数 • 缩系 • 应用

二次剩余（ch3） • 二次剩余的概念 • 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余 • 勒让德符号 • 雅可比符号重点：二次同余方程有解的判断与求解

连分数(ch5) • 连分数的定义和性质： • 连分数、简单连分数的概念、性质 • 每一个简单连分数都是一个实数 • 实数表示为连分数： • 任一无理数都可表为无限简单连分数， • 有理数的连分数表示法 • 循环连分数： • 二次代数数都是循环连分数 • 二次方根的连分数 • 最佳渐近分数

有限域(ch6) • 有限域 • GF(pm)的结构、组成、运算

素性检测(ch8) • 确定性算法 • 试除法 • 利用n-1、n+1的因子分解的素性检验 • 概率算法 • Miller-Rabin算法 • Lehmann算法 • Solovay-Strassen

大整数因子分解算法（ch9） • 通用整数因子分解方法：理论基础 • 连分数方法（CFRAC）， • 二次筛法（QS） *数域筛法（NFS） • 专门用途的因子分解方法 • “rho”方法 • “p-1”方法

数论在密码学上的应用(ch10) • 公钥密码 • RSA机制 • Elgamal机制

习题

习题（续） • 1.设用户A的公开参数为(NA=55，eA=23)，用户B的公开参数为(NB=33，eB=13)，用户A应用RSA算法向用户B传送的消息m=6时，求A发送的带签名的保密信息。 • 2.设用户A选取p=11和q=7作为模数为N=pq的RSA公钥体制的两个素数，选取eA=7作为公开密钥。请给出用户A的秘密密钥，并验证3是不是用户A对报文摘要5的签名。

例2：设素数p>2，则2P-1的质因数一定是2pk+1形。例2：设素数p>2，则2P-1的质因数一定是2pk+1形。证：设q是2P-1的质因数，由于2P-1为奇数， ∴ q≠2， ∴ （2，q）=1。由条件q| 2P-1, 即2P≡1（mod q）又∵ （q,2）=1，2q-1≡1（mod q）设i是使得2x≡1（mod p）成立最小正整数，即i是 2模p的阶。若1<i<p，则有i|p，则与p为素数矛盾，∴ i=p, ∴ p|q-1 又∵ q-1为偶数，2|q-1, ∴ 2p|q-1,q-1=2pk,即q=2pk+1

例4 设x为整数，证明形如 的整数的所有奇因都有4h+1的形式（其中h为整数）证明：设2n+1是整数的任一奇素因数，于是有即故-1是模2n+1的平方剩余，即其中2n+1是奇素数。所以故，。所以n是偶数，记n=2h,便有2n+1=4h+1.这样便证明了整数的所有奇素因数必形如4h+1。又由于两个4h+1形式的数的乘积仍为4h+1 形式的数，故形式的数的奇因数必为 4h+1形式的数。

例5解同余方程 解：d=(12,30)=6, 查表ind2=24, 6|24，有解且本题有6个解， 12indx=ind2(30) 即indx≡4(mod 5) ∴ indx≡2,7,12,17,22,27(mod 30) 查模31指标表， ∴ x≡9,17,8,22,14,23(mod 31)

例6 解同余方程28x≡21(mod 35) • 解：∵ （28,35）=7|21， ∴ 原同余方程有解，且有7个解原同余方程等价于4x≡3(mod 5) 而且4x≡3(mod 5)解为x≡2(mod 5) ∴ 原同余方程解为2，7，12，17，22，27，31（mod 35）

例7 设p=4n+3是素数，试证当q=2p+1也是素数时，梅素数Mp不是素数证：∵ q=8n+7, ∴ q |Mp，∴ Mp不是素数。

例9 若p和q=4p+1均为奇素数，则2是模q的一个原根。

解：因为，所以方程有4解。 例解同余式

《 计算数论 》 复习提纲