בס"ד אינטגרלים משולשים (והחוט המשולש לא במהרה יינתק)

1. בס"דאינטגרלים משולשים(והחוט המשולש לא במהרה יינתק) פרופ' נח דנא-פיקארד אדר ב' תשס"ח

2. סכומי רימןחלוקת התחום לתיבות אלמנטריות • אם הגבול באגף ימין קיים וסופי, פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

3. אינטגרציה על קופסה (1) פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

4. אינטגרציה על קופסה (2) פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

5. אינטגרציה על קופסה (3) פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

6. משפט פוביני (חלש) • תהי f פונקציה אינטגרבילית על התיבה אזי פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

7. דוגמאות • דוגמא 1: • דוגמא 2: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

8. תחומים "פשוטים" פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

9. תחום z-פשוטהפאה העליונה נתונה ע"יx+y+z=2 פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

10. תחום y-פשוטהפאה העליונה נתונה ע"יx+y+z=2 פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

11. גלילים • דוגמא 1: • דוגמא 2: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

12. חישוב אינטגרל: דוגמא • חשב את האינטגרל כאשר D הוא האיזור בשמיני הראשון המוגבל ע"י המישור שמשוואות היא x+y+z=2 . פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

13. אלגברת האינטגרלים פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

14. מציאת גבולות האינטגרציה פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

15. דוגמאות: חשב את הנפח של הגופים הנתונים • הטטרהדרון בשמיני הראשון המוגבל ע"י מישורי המערכת והמישורים שמשוואותיהם הן x+z=1 ו- y+2z=2. • הפרוסה הנחתכת מן הגליל שמשוואתו היא y=x2-1 והמשיורים שמשוואותיהם הן z+y=0 ו- z=0. פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

16. ועוד חישוב נפח - 1 • מצאו את נפח האיזור במרחב הנמצא מעל הריבוע הנתון ע"י והמוגבל ע"י המשטחים הנתונים ע"י המשוואות הבאות: • תשובה: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

17. פקודות Maple פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

18. חישוב נפח - 2 • מצאו את נפח האיזור במרחב המוגבל ע"י המשטחים הנתונים ע"י המשוואות הבאות: • תשובה: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

19. חישוב נפח - 3 • מצאו את נפח האיזור במרחב המוגבל ע"י המשטחים הנתונים ע"י המשוואות הבאות: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

20. ממוצע של פונקציה על תחום סגור וחסום במרחב התלת-מימדי • אם fהיא פונקציה מוגדרת ורציפה בתחום D סגור וחסום במרחב R3, אזי הממוצע של f על D נתון ע"י הנוסחה: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

21. ממוצע - דוגמא • נתון • אזי הממוצע על הקוביה הנתונה הוא (תזכורת:נפח הקוביה הזאת הוא 1): פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

22. החלפת סדר האינטגרציה שינו את סדר האינטגרציה וחישבו את האינטגרלים: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

23. מסה ומרכז כובד נתון תחום D סגור וחסום במרחב התלת-מימדי. בעצם D מגדיר גוף שבו צפיפות החומר בנקודה (x,y,z) מסומנת ב- δ(x,y,z). המסה של הגוף: מומנטים ראשונים: קואורדינטות של מרכז הכובד: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

24. דוגמא • מצא את מרכז נכובד של הגוף בעל צפיפות אחידה δהמוגבל ע"י מישור xy והפרולואיד שמשוואתו היא z=4-x2-y2. • תשובה: G(0,0,4/3). פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

25. > ?coords > ?changecoords > ?plot3d[coords] פקודות Maple החלפת קואורדינטות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

26. קואורדינטות גליליות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

27. משטחים מיוחדים- קואורדינטות גליליות קואורדינטות גליליות מתאימות לתאור המשטחים הבאים: • גלילים בעלי ציר לאורך ציר ה-z • מישורים המכילים את ציר ה-z • מישורים מאונכים לציר ה-z פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

28. משטחים מיוחדים- קואורדינטות גליליות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

29. נפח אלמנטרי בקואורדינטות גליליות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

30. חישובי אינטגרלים משולשים בעזרת קואורדינטות גליליות נתונה פונקציה f של שלושה משתנים (x,y,z) בתחום חסום וסגור D במרחב R3. אזי: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

31. דוגמא • מצא את גבולות האינטגרציה עבור פונקציה המוגדרת בתחום D ב- R3 המוגבל ע"י • מישור xy • הגליל שמשוותו היא x2+(y-1)2=1 • הפרבולואיד שמשוואתו היא z=x2+y2 פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

32. פתרון השאלה הקודמת 1. הבסיס של Dהוא העיגול R במישור xyבעל משוואה x2 + (y-1)2 = 1 x2 + y2 - 2y + 1 = 1 r2 - 2r sinθ = 0 2. גבולות-z:ישר העובר דרך נקודה M(r,θ) בבסיס R ומקביל לציר z נמצא בתוך D מ- z=0 עד z=x2+y2=r2 . פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

33. המשך הדוגמא 3. גבולות-r: קרן היוצאת מן הראשית במישור xy נכנסת כאשר r=0 ויוצאת כאשר r=2 sin θ. 4. גבולות-θ: כאשר הקרן הנ"ל עוברת על כל R, הזוית שלה עם ציר ה-xעוברת מ- θ=0עד θ=π. פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

34. מסקנת העבודה • האינטגרל המבוקש: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

35. עוד דוגמא בקואורדינטות גליליות • D הוא הגוף התחום ע"י הגלילים שבסיסיהם הם מעגל היחידה והקרדיואיד שמשוואתו היא r=1+cos(θ), וכך שהתחתית במישור xy וה"גג" במשיור שמשוואתו היא z=4. פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

36. קואורדינטות כדוריות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

37. משטחים מיוחדים- קואורדינטות כדוריות קואורדינטות כדוריות מתאימות לתיאור המשטחים הבאים: • כדורים שמרכזם בראשית הצירים • חרוטים שקודקודם בראשית הצירים • מישורים העוברים דרך ציר ה-z פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

38. משטחים מיוחדים: כדור בקואורדינטות כדוריות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

39. משטחים מיוחדים: חרוט בקואורדינטות כדוריות > restart;with(plots): > sphereplot([r,theta,Pi/3], r=0..2,theta=0..2*Pi, axes=normal, style=patchnogrid, view=[-2..2,-2..2,0..2]); פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

40. משטחים מיוחדים: מישור בקואורדינטות כדוריות > restart;with(plots): > sphereplot([r,Pi/3,phi], r=0..2,phi=0..2*Pi, axes=normal, style=patchnogrid, view=[-2..2,-2..2,0..2]); פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

41. התמרת קואורדינטות מכדוריות לגליליות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

42. נפח אלמנטרי בקואורדינטות כדוריות פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

43. חישובי אינטגרלים משולשים בעזרת קואורדינטות כדוריות נתונה פונקציה f של שלושה משתנים (x,y,z) בתחום חסום וסגור D במרחב R3. אזי: פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

44. מצא את הנפח של הגוף המוגבל ע"י כדור שמרכזו בראשית ורדיוסו 2, והחרוט שקודקודו בראשית וזית הראש שלו היא > s1:=plot3d(4,t=0..2*Pi, p=0..Pi/4,coords=spherical, axes=boxed, scaling=constrained, color=blue): s2:=plot3d(z,t=0..2*Pi, z=0..2*sqrt(2), coords=cylindrical, axes=boxed, scaling=constrained, color=yellow): עוד חישוב נפח פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

45. חישוב נפח פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

46. החלפת קואורדינטות באינטגרלים משולשים • נניח שהתחום G במרחב uvw נהפך לתחום D במרחב xyz ע"י העתקות גזירות • כל פונקציה F של המשתנים x,y,zמגדירה פונקציה H של המשתנים u,v,w : • אזי פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

47. דטרמיננטת יקובי - היקוביאן • האינטגרל: • כאשר המטריצה נקראת היקוביאן של הטרנספורמציה (החלפת הקואורדינטות) פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

48. דוגמא פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

49. המשך הדוגמא • הקואורדינטות מסודרות לפי פאה קדמית-פאה אחורית: DG פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים

50. מקורות של חלק מהתמונות • http://mathworld.wolfram.com/ • http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/spherical/body.htm • http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/cylindrical/body.htm פרופ' נח דנא-פיקארד - אינטגרלים משולשים