第五章 資料結構

1. 計算機概論 第五章 資料結構 陳維魁/陳邦治 旗標出版社

2. 本章重點 • 二大類主題 • 表示資料的基本工具 • 常用的演算法 • 在設計程式的過程中經常被用來表示資料的基本工具例如陣列、鏈結串列、堆疊、樹狀結構及圖形等都算是資料的結構 • 在撰寫程式的過程中所經常使用的演算法例如搜尋法、排序法、樹及圖形的追蹤法等都是資料結構所含括的內容 • 資料結構、演算法及程式設計這三個主題彼此間具有密不可分的關係

3. 大綱 • 陣列(array) • 鏈結串列(linked list) • 堆疊與佇列(stack and queue) • 樹(tree) • 搜尋作業(searching) • 排序作業(sorting) • 圖形(graph) 3 3

4. 陣列 • 陣列主要是由陣列的名稱，維度(dimension)，元素型態以及陣列註標(index)組成 • 陣列有二項特別的限制 • 必須配置連續的記憶體空間給陣列元素使用 • 陣列中所有元素的型態必須完全相同，也就是說每個元素所佔用的記憶體空間必須是相同的

5. 範例 • 若A是一個包含5個元素的陣列，元素的型態為整數。若整數型態資料佔用記憶體的空間為2個位元組，假設配置給陣列A的記憶體位址由100開始，利用A[1]、A[2]、A[3]、A[4]及A[5]來表示陣列的5個元素，則陣列A的所有元素之記憶體空間使用情形將如下圖所示 由上圖知A[1]、A[2]、A[3]、A[4]及A[5]佔用了連續的記憶體空間且因為元素的型態相同，因此使用的記憶體空間也相同

6. 陣列儲存方法 • 陣列在記憶體中的儲存方式 • 「以列為優先」(row major ordering) • 「以行為優先」(column major ordering) • 「以列為優先」是在編排陣列中元素之順序時，由最右邊的註標值開始進位 • 「以行為優先」則是在編排陣列中元素之順序時，由最左邊的註標值開始進位 • 以列為優先法較符合人類的習慣，因此除了FORTRAN採用「以行為優先」外，其他的程式語言多是採用「以列為優先」

7. 範例 • 請針對二維陣列X[1:3, 1:5]，說明「以列為優先」陣列元素在記憶體中排列的順序

8. 範例 • 請針對二維陣列X[1:3, 1:5]，說明「以行為優先」陣列元素在記憶體中排列的順序

9. 陣列求址公式 • 對於陣列中特定的元素若要知道儲存該元素的記憶體空間之位址，必須利用陣列求址公式來計算 • 陣列求址公式分為 • 一維陣列 • 二維陣列 • 多維陣列

10. 一維陣列求址公式 • 陣列為X(l:u)，其中l為陣列之註標下限，u為陣列之註標上限，w為每個元素所使用的記憶體空間大小 • 陣列元素個數：(u- l+1)。 • 陣列佔用記憶體空間量：(u- l+1)×w。 • 陣列X的位址函數L：L(X[i])=α＋w×(i-l) 其中α為陣列X在記憶體中之起始位址

11. 一維陣列求址範例 • 假設一陣列規格如下：int X [1:100]；陣列起始為20，一個整數佔用二個記憶體空間，則X這個陣列佔用的記憶體空間的計算方法如下

12. 二維陣列求址公式 • 陣列為X(l1:u1, l2:u2)，其中l1為陣列左方維度之註標下限，u1為陣列左方維度之註標上限，l2為陣列右方維度之註標下限，u2為陣列右方維度之註標上限 • 陣列元素個數：(u1- l1+1)×(u2- l2+1) • 陣列佔用記憶體空間量：(u1- l1+1)×(u2- l2+1)×w • 陣列X的位址函數，分為「以列為優先」及「以行為優先」二種，假設α為陣列X在記憶體中之起始位址： • 「以列為優先」位址函數： • Lrow (X[i,j])=α＋w×[(i-l1)×(u2- l2+1)+(j-l2)] • 「以行為優先」位址函數： • Lcolumn (X[i,j])=α＋w×[(j-l2)×(u1- l1+1)+(i-l1)]

13. 二維陣列求址範例 • 假設一陣列規格如下：int X [1:100, 5:90]；陣列起始為20，一個整數佔用二個記憶體空間，則X陣列佔用的記憶體空間的計算方法如下

14. 二維陣列求址範例 (cont.)

15. 多維陣列求址公式

16. 多維陣列求址公式 (cont.)

17. 多維陣列求址範例 • 三維陣列A[1:4;0:5;2:6]，共有幾個元素？ • 解：120 分別計算各個維度元素的個數： 「1:4」：有4個元素，「0:5」：有6個元素，「2:6」：有5個元素。 將各個維度元素的個數相乘即為所求：4×6×5＝120。 由以上說明可知，題意的三維陣列A共有120個元素

18. 特殊矩陣表示法 • 矩陣便是二維陣列 • 介紹三種特殊矩陣表示法 • 稀疏矩陣(sparse matrix) • 下三角矩陣(lower triangular matrix) • 上三角矩陣(upper triangular matrix)

19. 稀疏矩陣 • 稀疏矩陣是指矩陣中非零的元素數量很少，常用的表示法有「直接表示法」及「列-行索引表示法」(row-column indexing)二種

20. 稀疏矩陣--直接表示法 直接利用二維陣列A來表示稀疏矩陣。因稀疏矩陣共有25個元素， A便需宣告為有25個元素的二維陣列，一個陣列元素存在一個矩陣元素，對應關係如下頁

21. 稀疏矩陣--直接表示法 (cont.)

22. 稀疏矩陣--列-行索引表示法 • int A[S] [3]; • S : 總非零項個數 • A [0] [0] : 總列數 • A [0] [1] : 總行數 • A [0] [2] : 非零項總個數 • 第i個非零項相關資料如下(由左而右，由上而下)： • A [i] [0] : 所在列數 • A [i] [1] : 所在行數 • A [i] [2] : 值

23. 下三角矩陣 • 「下三角矩陣」是指矩陣內對角線以上(不含對角線)所有元素之值皆為0，如右圖 • 以列為主序(即依照第一列，第二列，…，第n列之順序)，將「下三角矩陣」依序儲存則，aij元素代表第i列第j行的元素，相當於「下三角矩陣」中第[1+2+…+(i-1)]+j = 個元素 • 以行為主序(即依照第一行，第二行，…，第n行之順序)把「下三角矩陣」則aij元素代表第i列第j行的元素，相當於「下三角矩陣」中第[n+(n-1)+…+(n-(j-2)]+(i-j)+1 = 個元素

24. 上三角矩陣 • 「上三角矩陣」是指矩陣內對角線以下(不含對角線)所有元素之值皆為0，如右圖所示 • 以列為主序，將「上三角矩陣」依序儲存則，aij元素代表第i列第j行的元素，相當於「上三角矩陣」中第 個元素 • 以行為主序把「上三角矩陣」則aij元素代表第i列第j行的元素，相當於「上三角矩陣」中第[1+2+…+(j-1)]+i = 個元素

25. 鏈結串列 • 鏈結串列(linked list)是寫作程式時，常用的一種資料結構。在鏈結串列中是利用指標來表示元素之下一個元素的位址。常用的格式如下 • 上圖中「資料欄位」用來存放資料內容，若資料項目有多個則可以有多個「資料欄位」，而「鏈結欄位」則是用來存放下一筆資料的位址

26. 鏈結串列實例 • 最後一筆資料的「鏈結欄位」內容為「nil」代表該筆資料的後方已無資料

27. 使用鏈結串列資料結構的理由

28. 鏈結串列與陣列的比較

29. 堆疊 • 堆疊(stack)是指一有序串列(ordered list) • 僅能由一端做加入(add)與刪除(deletion)的動作 • 此端稱作開口端(或頂端)，而另一端則稱為封閉端(或底端)， • 堆疊 • 先進後出(First In Last Out--FILO) • 後進先出(Last In First Out--LIFO)

30. 堆疊的操作 • 堆疊有下列五項主要操作 • create (新建一個堆疊) • push (加入一新資料項進入堆疊) • pop (由堆疊中刪除一個資料項) • top (讀取出堆疊中最頂端的資料項，但堆疊內容未被破壞) • isempty (檢查是否為空堆疊)

31. 堆疊的操作 – create, 建立一個新的堆疊

32. 堆疊的操作 – push, 加入一新資料項進入堆疊

33. 堆疊的操作 – pop, 從堆疊中取出一個元素

34. 堆疊的操作 – top,從堆疊中讀取最靠近開口端元素之值，但不破壞堆疊之結構

35. 堆疊的操作 – isempty,檢驗堆疊是否為空堆疊

36. 範例 • 若有一堆疊，其內的資料為ABCDEF，其中堆疊頂端的資料是F。假設push(X)代表將資料X壓入堆疊中，而pop代表從堆疊頂端取出資料，試問當堆疊的操作順序是push(X)，pop，pop，push(X)，pop，pop，push(X)，push(X)，pop，pop時，完成此序列操作後，堆疊頂端的資料應為何？ • ANS: D

37. 運算式的轉換 • 運算式是用來表達計算過程的表示法 • 例如「a+b」便是對運算元(operand) a與b執行加法運算子(operator)之計算 • 運算式常見的表示法有中置式(infix)、前置式(prefix)及後置式(postfix)三種 • 人類習慣採用中置式來表示運算式 • 計算機的運算則是採用前置式或後置式較為方便 • 程式設計師利用中置式來表達計算過程，但這些以中置式寫成的敘述，在計算機處理前會先被轉換成前置式或後置式

38. 中置式 • 將運算子擺放在對應運算元的中間 • <運算元> <運算子> <運算元>；如：x＋y。

39. 前置式(prefix) • 將運算子擺放在對應運算元的前面，又稱polish notation • <運算子> <運算元> <運算元>；如：＋xy

40. 後置式(postfix) • 將運算子擺放在對應運算元的後面，又稱reverse polish notation • <運算元> <運算元> <運算子>；如：xy＋

41. 中置式轉換為前置式 • 將運算式中的運算子以左小括號「(」及右小括號「)」分隔開來，分隔之方式是對每一個運算子加入一組相對應的「(」，「)」且分隔時需考慮運算子運算的優先順序 • 依照運算子的優先順序對「(」，「)」加入編號 • 將運算子取代相對應的「(」，並去除剩餘的所有「)」

42. 中置式轉為後置式 • 將運算式中的運算子以左小括號「(」及右小括號「)」分隔開來，分隔之方式是對每一個運算子加入一組相對應的「(」，「)」且分隔時需考慮運算子運算的優先順序 • 依照運算子的優先順序對「(」，「)」加入編號 • 將運算子取代相對應的「)」，並去除剩餘的所有「(」

43. 範例 • 若有一中置式為A+B-C*D/E請將其轉換為對應的前置式及後置式

44. 範例 • 請利用堆疊對以下前置式作求值動作： - + A B / * C D E • 利用堆疊對「前置式」作求值動作時，必須由右至左來處理，遇到運算元時將運算元push到堆疊中，遇到運算子時由堆疊中pop出二個運算元執行該運算子之運算後，再將結果push回堆疊中

45. 範例 • 請利用堆疊對以下後置式作求值動作： AB+CD*E/- • 利用堆疊對「前置式」作求值動作時，必須由左至右來處理，遇到運算元時將運算元push到堆疊中，遇到運算子時由堆疊中pop出二個運算元執行該運算子之運算後，再將結果push回堆疊中

46. 範例 • 考慮下面這一個遞迴公式，其中n是正整數f(n)=f(n-1)×n，f(1)=1請問f(100)是什麼？ • 解：100! • 本題為求階層值的重要範例，建議由最小的輸入值1開始往目標值100的方向來處理，處理步驟如右

47. 佇列 • 佇列(queue)是一個有序串列，元素的加入與刪除是在不同端進行，所以佇列有先進先出(FIFO)的特性，元素的刪除由前端(front)進行，而元素的插入則由後端(rear)進行

48. 範例 • 若有一佇列，初始時為空佇列。假設Add(X)代表將資料X加入佇列後端，而Delete代表從佇列前端取出資料，試問當佇列的操作順序是Add(A)，Add(B)，Delete，Add (C)，Add (D)，Delete，Add (E)，Add (F)，Delete時，完成此序列操作後，佇列內的資料應為何？ • 解：C

49. 佇列的操作 • 佇列有下列五項主要操作，分別是： • create (新建一個佇列) • add (加入一新資料項進入佇列) • delete (由佇列中刪除一個資料項) • front (讀取出佇列中最頂端的資料項，但佇列內容未被破壞) • isempty (檢查是否為空佇列)

50. 佇列的操作– create, 新建一個佇列