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冪級數與泰勒級數及馬克勞林級數

冪級數與泰勒級數及馬克勞林級數. 組長： 李昕穎 組員： 黃碩彬 、 張維定 、 曾于倫 、 林育賢. 冪級數. 在數學中， 冪級數 是一類形式簡單而應用廣泛的函數級數，變數可以是一個或多個。單變數的冪級數形式為： 冪級數中的每一項都是一個 冪函數 ，冪次為非負整數。冪級數的形式很像多項式，在很多方面有類似的性質，可以被看成是「 無窮次的多項式 」。. 範例 1. (1) 這個級數為 若將 帶入 0 時，他將會呈現收斂，因此將 0 認為此級數的中心。 (2) 以此類推 若將 帶入 1 時，他將會呈現收斂，因此將 1 認為此級數的中心。 (3) 以此類推

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冪級數與泰勒級數及馬克勞林級數

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  1. 冪級數與泰勒級數及馬克勞林級數 組長：李昕穎 組員：黃碩彬、張維定、曾于倫、林育賢

  2. 冪級數 • 在數學中，冪級數是一類形式簡單而應用廣泛的函數級數，變數可以是一個或多個。單變數的冪級數形式為： • 冪級數中的每一項都是一個冪函數，冪次為非負整數。冪級數的形式很像多項式，在很多方面有類似的性質，可以被看成是「無窮次的多項式」。

  3. 範例1 (1)這個級數為 若將帶入0時，他將會呈現收斂，因此將0認為此級數的中心。 (2)以此類推 若將帶入1時，他將會呈現收斂，因此將1認為此級數的中心。 (3)以此類推 若將帶入-1時，他將會呈現收斂，因此將-1認為此級數的中心。

  4. 比值檢驗法 • (1) • (2) • (3)法無法判斷級數收斂或發散。

  5. 範例2 求出使得下列的級數收斂 (1) 提示：由比值檢定法

  6. 此當數＝＜１時收斂，當＝１時發散。 當ｘ 當ｘ 所以在-3x。

  7. 冪級數的收斂區間為下列三者其中之一： (1)僅在處 (2)(-r,r)or[-r,r)or(-r,r]or[-r,r] (3)整個實數線 收斂半徑定義：

  8. 範例3 <解答>

  9. 範例4 尋找收斂半徑 (1)在冪級數中找出收斂半徑： 對於此冪級數，因此你得到 所以藉由比例測試，此級數對於所有收斂而且其收斂半徑是無窮的。

  10. 泰勒級數及馬克勞林級數 • 泰勒定理用來解答尋找冪級數於給定函式的問題，此定理說明如何使用對函式 f 微分，來寫出 f 的冪級數。 • 假如函數 f 在 x=c處可由一冪級數來表示，則此冪級數的形式為 • 若存在區間

  11. 範例5 解答：所以馬可勞林級數為

  12. 資料來源 • 維基百科：http://zh.wikipedia.org/zh-tw/Wikipedia:%E9%A6%96%E9%A1%B5 • Power Series and Taylor's Theorem: http://dufu.math.ncu.edu.tw/calculus/calculus_bus/node80.html • 微積分課本

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