1 / 106

Eksponentiel vækst

Eksponentiel vækst. Hvad forstås ved begrebet vækst? Vækstformlen – hvordan, hvorfor, hvornår? Hvordan regnes der med eksponentiel vækst? Eksempler…. Hvad forstås ved vækst?. Ved vækst forstås, at noget vokser… Priser på varerne i et supermarked, f.eks. havregrynen, vokser fra år til år.

ajay
Download Presentation

Eksponentiel vækst

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Eksponentiel vækst Hvad forstås ved begrebet vækst? Vækstformlen – hvordan, hvorfor, hvornår? Hvordan regnes der med eksponentiel vækst? Eksempler…

  2. Hvad forstås ved vækst? • Ved vækst forstås, at noget vokser… • Priser på varerne i et supermarked, f.eks. havregrynen, vokser fra år til år. • Lønningerne vokser. • Beløbet på bankkontoen vokser (hvis man ikke hæver penge på kontoen) • Antallet af biler i trafikken vokser. • Antallet af mus i buret vokser (hvis de er sunde og raske og har nok at spise). • Antallet af bakterier i en bakterieprøve vokser. • Antal indbyggere på jordkloden vokser. • Verdens produktion af forskellige afgrøder og forbrugsgoder vokser.

  3. Hvad forstås ved vækst? • … eller at noget falder (negativ vækst). • De små danske øer mister indbyggere fra år til år på grund af fraflytning. • Den radioaktive stråling (fra f.eks. Uran) falder (bliver mindre) med tiden. • Legemstemperaturen i et lig falder med tiden. • Jordens beholdning af fossile brændstoffer falder over en årrække. … osv.

  4. Hvad forstås ved vækst? Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):

  5. Hvad forstås ved vækst? Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):

  6. Hvad forstås ved vækst? Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):

  7. Hvad forstås ved vækst? Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):

  8. Hvad forstås ved vækst? Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):

  9. Hvad forstås ved vækst? Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):

  10. Hvad forstås ved vækst? Skal man afbilde envækst i absolutte talgrafisk i et koordinatsystem, bliver der tale om enret linie (enheden på x-aksen er tid, f.eks. årstal) Tid

  11. Hvad forstås ved vækst? Skal man afbilde envækst i procentergrafisk i et koordinatsystem, bliver der derimod tale om eneksponentialfunktion (enheden på x-aksen er igen tid) Tid

  12. Hvad forstås ved vækst? Kendetegnende ved vækst i absolutte værdier er, at tilvæksten er den samme for hver periode. Der lægges hele tiden det samme til! Ved vækst i procenter bliver tilvæksten større og større, desto længere tid der går. Dette skyldes begrebet ”rentes rente” – der tages hele tiden procenten af et større tal. Vækst i procenter (eksponentiel vækst) Vækst i absolutte værdier (lineær vækst) Tid

  13. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi først på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 10 % i rente pr. år.:

  14. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi først på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 10 % i rente pr. år.: Bemærk, at det beløb, man får tilskrevet i rente, vokser som årene går. Dette skyldes, at renten tages at et stadigt større beløb!

  15. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi først på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 10 % i rente pr. år.:

  16. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi først på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 10 % i rente pr. år.: Når vi afbilder indeståendet på vores bankkonto år for år, får vi en let stigende ”linie”

  17. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi dernæst på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 20 % i rente pr. år.:

  18. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi dernæst på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 20 % i rente pr. år.: Bemærk igen, at beløbet, man får tilskrevet i rente, vokser som årene går. Her er det bare mere markant, da procentsatsen er større!

  19. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi dernæst på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 20 % i rente pr. år.:

  20. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi dernæst på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 20 % i rente pr. år.: Her ser vi, at ”liniens” stigning bliver kraftigere end før – svarende til at vi før en større procentvis tilskrivning!

  21. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi samlet på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 10 %, hhv. 20 % i rente pr. år.: Jo større procentvis tilskrivning – desto stejlere ”linie”!

  22. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen:

  23. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen: K0 = det beløb, vi sætter i banken

  24. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen: K0 = det beløb, vi sætter i banken K1 = det beløb, der står på kontoen efter 1 år

  25. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen: K0 = det beløb, vi sætter i banken K1 = det beløb, der står på kontoen efter 1 år Kn = det beløb, der står på kontoen efter n år

  26. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen: K0 = det beløb, vi sætter i banken K1 = det beløb, der står på kontoen efter 1 år Kn = det beløb, der står på kontoen efter n år r = procentsatsen, der tilskrives i rente

  27. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen: K0 = det beløb, vi sætter i banken K1 = det beløb, der står på kontoen efter 1 år Kn = det beløb, der står på kontoen efter n år r = procentsatsen, der tilskrives i rente n = antallet af år, der går

  28. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: Udregningen vil se således ud for 1. år:

  29. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: Udregningen vil se således ud for 1. år: K1 = K0+K0·r/100

  30. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: Udregningen vil se således ud for 1. år: K1 = K0+K0·r/100 = K0·(1+r/100)

  31. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: Udregningen vil se således ud for 1. år: K1 = K0+K0·r/100 = K0·(1+r/100) (K1 = 100·(1+20/100) = 100·(1+0,20) = 100·1,20 = 120)

  32. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: … at lægge 20 % til = at gange med 1,20) Udregningen vil se således ud for 1. år: K1 = K0+K0·r/100 = K0·(1+r/100) (K1 = 100·(1+20/100) = 100·(1+0,20) = 100·1,20 = 120)

  33. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: - og se således ud for 2. år: K2 = K0·(1+r/100)2 (K2 = 100·(1+20/100)2 = 100·(1+0,20)2 = 100·1,202 = 144)

  34. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: … at lægge 20 % til 2 gange = at gange med 1,202) - og se således ud for 2. år: K2 = K0·(1+r/100)2 (K2 = 100·(1+20/100)2 = 100·(1+0,20)2 = 100·1,202 = 144)

  35. Vækstformlen - hvordan? Og hermed er vi nået frem til vækstformlen: Kn = K0·(1+r/100)n - hvor: K0 = startværdien Kn = værdien efter n år (eller perioder) r = procentsatsen, der tilskrives pr. år (eller periode) n = antallet af år (eller perioder), der går

  36. Vækstformlen - hvordan? Og hermed er vi nået frem til vækstformlen: Kn = K0·(1+r/100)n - hvor: K0 = startværdien Kn = værdien efter n år (eller perioder) r = procentsatsen, der tilskrives pr. år (eller periode) n = antallet af år (eller perioder), der går Bemærk, at der kan regnes i andre periodelængder end år. En periode kan f.eks. også være et halvt år, en måned, en dag, en time – eller enhver anden tidsangivelse.

  37. De 4 indgange… Da vækstformlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med vækst: Kn = K0·(1+r/100)n 1. Vi skal beregne Kn – det vil sige, at vi skal regne frem i tiden. Vi kender startværdien (K0), rentesatsen (r) samt ved, hvor langt frem i tiden, vi skal gå (n). Eks.: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 mennesker (K0). Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt (r). Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år (n)?

  38. De 4 indgange… Da vækstformlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med vækst: Kn = K0·(1+r/100)n 2. Vi skal beregne K0 – det vil sige, at vi skal regne tilbage i tiden. Vi kender slutværdien (Kn), rentesatsen (r) samt ved, hvor langt tilbage i tiden, vi skal gå (n). Eks.: Danmarks indbyggertal er på 5,5 mio. mennesker (Kn). Indbyggertallet stiger 0,35 % årligt (r). Hvor mange indbyggere var der i Danmark for 100 år siden (n)?

  39. De 4 indgange… Da vækstformlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med vækst: Kn = K0·(1+r/100)n 3. Vi skal beregne r– altså finde den procentvise stigning pr. år. Vi kender startværdien (K0) og slutværdien (Kn) samt ved, hvor lang tid, vi taler om (n). Eks.: 6,9 mio. biler (K0) kørte over Storebæltsbroen i 1999, og dette tal var i 2007 steget til 10,7 mio. biler (Kn) Hvor mange procent stiger trafikken med årligt? – der er jo tale om 8 år (n)?

  40. De 4 indgange… Da vækstformlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med vækst: Kn = K0·(1+r/100)n 4. Vi skal beregne n– det vil sige, finde det antal år, der går. Vi kender startværdien (K0) og slutværdien (Kn) samt ved, hvilken stigningsprocent (r), vi taler om. Eks.: Jeg indsætter 10.000 kr (K0) på en konto i en bank, der tilskriver 2,25 % årligt i rente (r). Hvor lang tid skal der gå, før der står 25.000 kr (Kn) på kontoen?

  41. De 4 indgange… Beregning af Kn

  42. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år?

  43. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år? K0 = 121.600 r = 1,4 % årligt N = 12 år Kn = K0·(1+r/100)n

  44. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år? K0 = 121.600 r = 1,4 % årligt N = 12 år Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 121.600·(1+1,4/100)12

  45. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år? K0 = 121.600 r = 1,4 % årligt N = 12 år Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 121.600·(1+1,4/100)12 På lommeregneren tastes: 121600·(1+1,4/100) 12=

  46. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år? K0 = 121.600 r = 1,4 % årligt N = 12 år Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 121.600·(1+1,4/100)12 På lommeregneren tastes: 121600·(1+1,4/100) 12= Bemærk parenteserne! De skal med, når du taster ind på lommeregneren!

  47. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år? K0 = 121.600 r = 1,4 % årligt N = 12 år Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 121.600·(1+1,4/100)12 På lommeregneren tastes: 121600·(1+1,4/100) 12= Kn = 143.678

  48. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år? K0 = 121.600 r = 1,4 % årligt N = 12 år Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 121.600·(1+1,4/100)12 På lommeregneren tastes: 121600·(1+1,4/100) 12= Kn = 143.678 Der er 143.678 indbyggere i Ålborg om 12 år

  49. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 2: Pers forældre indsætter ved Pers fødsel 10.000 kr på en børneopsparing. Hvor meget vil der stå på kontoen, når Per fylder 21 år, hvis banken giver 4,5 % pr år i rente? K0 = 10.000 r = 4,5 % årligt N = 21 år Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 10.000·(1+4,5/100)21 På lommeregneren tastes: 10000·(1+4,5/100) 21= Kn = 25.202 Der 25.202 kr på kontoen, når Per er 21 år.

  50. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 3: En vandprøve indeholder 400 colibakterier. Hvor mange bakterier er der i prøven 2 døgn senere, når colibakterier formerer sig med 12,7 % i timen? K0 = 400 r = 12,7 % i timen N = 2 døgn = 48 timer Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 400·(1+12,7/100)48 På lommeregneren tastes: 400·(1+12,7/100) 48= Kn = 124.282 Der er 124.282 colibakterier i prøven 2 døgn senere.

More Related