Ch5 牛頓運動定律的應用

1. Ch5 牛頓運動定律的應用 § 5-1 質點系統的質心 § 5-2 動量守恆定律 § 5-3 衝量與動量 § 5-4 角動量與角動量守恆定律 § 5-5 物理因次

2. § 5-1質點系統的質心 1. 質心的意義：代表整體運動的點。 由前一章我們知道牛頓第二運動定律適用於質點，也適用於具有相同加速度的質點系統。如一輛直線行駛中的汽車每一點的加速度都相同。在這一章將證明對於每個質點都具有不同速度與加速度的質點系統，我們仍然可以找到一點來代表整體的運動，即其加速度滿足整體的牛頓第二運動定律，此點稱為系統的質心。 • 質心運動的實例： • 跳水人員不論如何翻滾，其質心軌跡為一拋物線。

3. 將一板手拋出後，其質心軌跡為一拋物線。 • 砲彈被射出後，在空中爆炸成許多碎片。這些碎片的運動甚為複雜，但整個炮彈的質心仍如炮彈未爆炸一樣，以拋物線繼續前進。

4. y x z 3. 質心的位置：將質點系統的質心位置定義為 4. 質心的位移： 5. 質心的速度：將上面質心位移公式兩端同除以所經時間Δt，再令Δt → 0，即得質心速度的公式

5. 6. 質心的加速度：將質心速度的公式兩端對 t 作微分，即得質心加速度的公式 7. 質心運動定理：我們將證明質點系統質心的加速度滿足牛頓定第二運動定律 此定理隱含質心的運動相當於是一個質量為 M的質點。

7. 例題：質量分別為 m 與 2m 的 A、B 兩質點，分別置於點（0，2）與點（0，5），則當 A 移動至點（3，0），B 移動至點（6，0），則系統質心位移為何？

8. 例題：長L質量不計的輕桿，左右兩端各繫質量分別為 2m 和 3m 的小球，靜置於光滑水平面上，兩小球均環繞通過系統質心的垂直軸作等速率圓周運動，3m 的速率為 v，則 2m 的運動速率為何？

9. y (北) vc 53o x (東) 例題：包含 A、B 兩質點的系統，A 的質量 1公斤，以 6公尺∕秒的速率向東運動，B 的質量 2公斤，以 4公尺∕秒的速率向北運動。求此系統質心的速度。

10. T T M m a a 例題：右圖的裝置裡，質量為 m 的物體和質量為 M 的另一物體以細繩相連，掛在滑輪上； M > m。繩子和滑輪的質量以及摩擦力均可忽略不計。在 M 下降、m 上升的期間，這兩個物體的質量中心下降的加速度為_________。 [82.日大]

11. 例題：一炸彈自 600 公尺之高空自由下落，於中途爆裂成兩個等重的破片，在垂直線上分上、下散開。如空氣阻力可以不計，炸彈下落後 10 秒時有一破片擊中地面，則此時另一破片距地面之高度為何？ [70.日大] 答案：220公尺

12. v0 θ 另一塊 其中一塊 質心 例題：一砲彈以之初速 v0及的仰角θ自水平地面斜向射出，達最高點時爆裂為質量相等的兩塊，其中一塊鉛直掉下，則另一塊著地時在水平方向上移動的距離為何？

13. C.M. C.M. 例題：有一重 250公斤，長 6公尺之頭尾對稱，密度均勻之船隻靜止於水中，當重量為 50公斤的人由船頭走到船尾，則此時間內船身移動多少距離？（不計水對船的阻力） [68.日大] 答案：1 公尺

14. m R 例題：一碗狀物體，質量為 M，其內壁呈半球形（半徑為 R）。設此物體被置於一光滑的水平面上﹙如右圖﹚，另一質量為m之小物體自碗之內壁頂端滑落至碗底時，碗移動之距離為何？ [69.日大]

15. C.M. C.M. 例題：有一質量 5.0kg 的框架，中心部分有質量為 1.0kg 與 4.0kg 的兩小球，框架兩端相距長度為 L，且兩端附有黏膠，整個裝置放在乾冰盤上，若兩小球因爆發而被水平彈開，最後兩球均被框架黏住，則框架移動的距離若干？ 答案：0.15 L

16. § 5-2動量守恆定律 • 動量：物體的質量與其速度的乘積，為向量。 • 動量的定義： • 動量的單位：公斤．公尺∕秒（kg．m∕s） • 動量與牛頓第二運動定律：牛頓在其原著裡將第二運動定律寫成如下形式：

17. 動量守恆定律：動量守恆定律對於質點系統特別有用，由質點系統的質心運動定理動量守恆定律：動量守恆定律對於質點系統特別有用，由質點系統的質心運動定理 動量守恆定律：若質點系統所受外力的合力為零，則系統的總動量守恆。

18. 動量為向量，因此更一般的動量守恆定律敘述為：系統不受某一方向的淨外力，則系統的總動量在此方向的分量保持定值。動量為向量，因此更一般的動量守恆定律敘述為：系統不受某一方向的淨外力，則系統的總動量在此方向的分量保持定值。 如上圖，做拋體運動的物體僅受到向下的重力作用，水平方向不受外力。因此雖然鉛直方向的動量會隨時間變化，水平方向的動量卻保持定值。

19. 例題：質量為 m之人靜立於質量為 M之船，船靜浮於水上，船與水間無摩擦。若人以相對於船之水平速度 v跳離船，則船之末速為何？

20. A B v vA vB 例題：A、B 兩人各穿著冰刀，面對面靜止站在冰上，今 A 把手中籃球拋傳給 B 接住。設兩人的質量各為 mA及 mB，籃球的質量為 m，而籃球傳出時的水平速度為 v，則當籃球傳過之後，A、B 兩人相對速度之大小為何？ [67.日大]

21. y (北) 53o x (東) 例題：質量為 9.00 kg 的物體，以速度 10.0 m/s 向北等速運動中，突然爆裂為三塊。第一塊質量 2.00 kg，向北以速度25.0 m/s 繼續前進，第二塊質量為 3.00 kg，向西以 10.0 m/s的速度彈開，則第三塊的速度若干？ 答案：12.5 m / s東偏北 53o

22. 例題：距地面 490 米高處，一隻質量為 450 公克的鳥以 2.00 m / s 的速度水平飛行，忽為一由後飛來，質量 50.0 公克、速度為 400 m / s的槍彈擊中，彈留體內，則鳥著地處與擊中處的水平距離若干？ 答案：418 公尺

23. v0 θ 例題：自水平地面作斜拋運動之物體，在最高點時之動量值恰為拋出時的 3∕5；此時突然分裂為質量相等的兩塊，其中一塊以初速為零落下，則此裂塊落地時的動量值與原拋出時物體動量值之比值為何？ [77.日大]

24. V v0 例題：一節無頂貨車質量為 M，在平直無摩擦力鐵軌上以速度 V運動，車外的人看見一物體質量為 m以速率 v0垂直掉入車內，當掉入之物體靜止於車內後，貨車之速度為何？

25. 例題：質量為 4M之無頂矮車箱，在無摩擦之水平軌道上以 5V之速度運動，今自天上落下一陣雨，以速度 u進入車箱內，使車箱盛有總值量為 M之雨 。（|u| = 40V） (甲) 若 u對車箱而言是垂直落下，則雨後車速大小為 V之________ 倍。 (乙) 若 u對地而言是垂直落下，則雨後車速大小為 V之 ________ 倍？ [63.夜大] 答案：(甲) 5；(乙) 4

26. θ1 θ2 例題：一小球被擲向光滑之地面後反彈跳起。在碰撞發生前後，其入設速度及反彈速度分別與鉛錘線成夾角θ1及θ2（如圖所示）。若反彈過程為非彈性碰撞，小球剛反跳時的動能降為碰撞前瞬間動能的1∕C 倍，其中 C > 1，則 sinθ2∕sinθ1 之值為何？ [85.日大]

27. m v M 例題：一斜面質量為 M，一物體質量為 m，同置於光滑水平面上。物體以 v 的初速朝靜止的斜面運動。則當物體沿斜面上升到最大高度時，斜面之速率為若干？

28. 8 v 例題：一質量為 55公斤的人，手持 5.0公斤的球，乘坐在一質量為 20公斤的車子上，車子在平直光滑軌道上以 2.0公尺∕秒的速率前進。如將球沿車行方向水平拋出，球拋出瞬間相對於人的速率 8.0公尺∕秒，則球拋出後車子對地的速率為__________公尺∕秒。 [85.日大] 答案：1.5

29. 例題：質量 100kg的台車靜止於光滑水平軌道上，其上載有2 個質量均為 50kg 的人，若每人相繼以相對于台車 v的速度跑步並跳離車，則車速最後變為若干？若兩人改為同時以相對于台車 v的速度跑步並跳離車，則車速最後變為若干？

30. 例題：一動量為 P，質量為 m的甲質點，與一質量為 M，靜止的乙質點作彈性碰撞。碰撞後甲質點的動量變成 Pˊ，且與原來的入射方向成 90o角射出。此時乙質點速度大小為何？ [72.日大]

31. 例題：一砲彈自水平地面以 37o 仰角、100m/s 之初速射出，於最高點爆裂為質量相等的兩塊碎片，其中一片於砲彈射出後經 8 秒著地，則未落地的那一片將於砲彈射出後約經幾秒著地？ 答案：24 秒

32. F t § 5-3衝量與動量 • 衝量：假如我們以棒子將一棒球擊出，則球所受的力量將如右圖所示，作用的力量很大，作用的時間極短。此為兩物體撞擊時的典型作用力稱為衝力。作用力的平均值與作用時間的乘積稱為物體所受到的衝量。 • 衝量的定義： • 作用於物體的力量如為定值，則物體受到的衝量定義為作用力與作用時間的乘積。符號上寫成 • 作用於物體的力量如不為定值，則衝量需以積分來計算。

33. 此關係式可以讓我們用來計算兩物體在碰撞過程中作用力的平均值，即此關係式可以讓我們用來計算兩物體在碰撞過程中作用力的平均值，即 • 衝量的單位：牛頓．秒 = 公斤．公尺∕秒。 • 動量與衝量的關係：物體受到衝量後速度將產生變化，因此動量也產生了變化。物體的動量變化量等於其所受到的衝量，即

34. 30m/s v 10m 例題：100克的小球，在離地 5公尺高以 30公尺∕秒速度水平飛來，被球棒擊中反向水平飛落打擊點前方10公尺，則球所受衝量大小為何？（g =10米∕秒2） 答案：4（kg.m /s）

35. 40 53o 30 30 例題：質量 200公克的棒球，以 30公尺∕秒的速率，水平飛進本壘。被球棒擊中後，以 50公尺∕秒的速率及 53o的仰角飛向外野，假設球與球棒接觸時間為 0.02秒。求球棒接觸的時間內 (1)球受到衝量的大小 (2)球受力的平均量值。

36. v v Δv 例題：質量為 m的物體，以每秒 f轉的轉速，做半徑 R的等速率圓周運動，當它轉過 ¼ 圓周時，向心力對物體所施的衝量大小若干？

37. 例題：質量為 0.1kg 的物體繫於彈簧做 S.H.M.，週期為0.2π秒，其振幅為 0.1米，則物體自平衡點經 0.1π秒後，所受的衝量大小若干？ 答案：0.2（kg．m / s）

38. N mg 例題：某人坐在蘋果樹下，忽然有顆成熟的蘋果落下，打在他頭上，並在接觸 0.10秒後靜止於頭上，設蘋果質量為 0.20公斤，落下的距離為 2.5公尺，則在碰撞過程中，蘋果所受淨力的平均值為何？頭受到撞擊力的平均值為何？ 答案：14 牛頓；15.96 牛頓

39. 例題：一質量 1 公斤的球，自離地高 1.8 公尺處自由落下，碰地後鉛直反彈至離地面 0.8 公尺高處，球與地面接觸時間為 0.2 秒，則球碰地時間地面施於球的平均力大小為若干？（g = 10 公尺∕秒 2） 答案：60 牛頓

40. 例題：一機槍每秒發射 n 顆子彈，已知子彈的質量為 m，速度為 v，且射入牆內即陷入其內，則牆所受的平均力為何？ [71.夜大] 答案：nmv

41. 例題：粗細均勻的水管內有水流動，若流出水量為每秒 20.0 公斤，而水流速保持為 2.00 公尺∕秒，則在轉彎處水施於水管的合力若干？

42. A θ θ v Δv θ v 例題：一噴管截面積為 A，以速率 v噴出質量為 m的氣體分子，如圖所示，氣體分子和器壁作用後，方向改變，但速率不變，若噴出氣體的密度為 n（分子∕立方米），則氣體分子作用於器壁之壓力為多少？

43. A B 例題：質量分別為 100公克、200公克的 A、B 兩木塊，緊靠在一起並靜置在光滑水平面上。有一質量為 1 g 的子彈以 500 m/s的初速，自 A 木塊的左端射入，並以 140 m/s 的速度，從 B木塊的右端射出。如果子彈在兩木塊中所受的阻力及作用時間均相同，則連續射穿兩木塊後，B 木塊的速度量值為何？ 答案：1.5 m/s

44. 例題：設沙粒均靜止於甲、乙兩沙漏之底部，將此二沙漏分別置於天平兩邊之秤盤上，天平保持水平。今將沙漏乙反轉仍置於同一秤盤上，則在乙沙漏內沙粒下落之期間中，下列敘述何者正確？ (A)沙漏甲較重 (B)沙漏乙較重 (C)兩沙漏一樣重 (D)有時沙漏甲重，有時沙漏乙重。 [70.日大] 答案：C

45. 例題：設於地球上有一垂直向上發射的火箭，其質量為 2600公斤，每秒鐘能將 100公斤之燃料燃為氣體以 240公尺∕秒對火箭之相對速度噴出，則火箭於開始發射後多久時間能離開地面升起？ (A) 1秒內 (B) 1秒至2秒間 (C) 2秒至3秒間 (D) 3秒至4秒間 (E) 4秒至5秒間。[71.日大] 答案：B

46. 例題：每公尺長質量 0.6公斤的長鐵鏈總質量為 120公斤，靜止盤曲在光滑水平面上。欲將其一端以 4公尺∕秒的速度沿水平方向上拉動，在長鐵鏈未完全拉完之前需施力大小為多少牛頓？ 答案：9.6 牛頓

47. 例題：質量 m，長 L的均勻鐵鍊，下端置於秤盤上，垂直向上拉直後由靜止釋放，如右圖。則磅秤最大讀數為何？ 解：當鐵鍊恰完全落於磅秤上時，磅秤的讀數為最大值。此時磅秤的讀數為鐵鍊的重量加上鐵鍊撞擊秤盤的作用力，此撞擊力的大小 因此磅秤的讀數為 3mg。

48. θ m O § 5-4 角動量與角動量守恆定律 (2) 單位：公斤‧公尺2∕秒（kg‧m2∕s）

49. θ m O • 轉動運動定律： • 考慮一質量為 m 的質點在作移動時滿足牛頓運動定律 如把質點看成是在繞 O 點作轉動（如右圖），則滿足轉動運動定律

50. θ m O 證明： • 角動量守恆定律： • 若物體不受外力矩或所受合外力矩為零時，其角動量不隨時間改變。