גז אידאלי – שיקולים מיקרוסקופיים

1. גז אידאלי – שיקולים מיקרוסקופיים

2. L כך ש- הוא הכוח הפועל על הדופן משוואת המצב של גז אידאלי – רקע (I) נניח שחלקיק יחיד נע בתוך תיבה, ומתנגש התנגשויות אלסטיות עם הדפנות • אם התיבה היא באורך L, התנגשות בדופן (מסויימת) מתרחשת אחת לDt=L/vx-. • בכל התנגשות בדופן שינוי התנע של החלקיק הוא Dpx=m2|vx| v m v x • במשך זמן t יש t/Dt התנגשויות בדופן, ולכן סך כל המתקף המועבר לדופן הוא

3. ונניח שיש N חלקיקים שהממוצע של שלהם הוא אז: • נגדיר ש- כשT- היא הטמפרטורה. כדי להתאים לניסויים, יוצא שעבור T במעלות קלווין, אז kB=1.3810-16erg/K זהו קבועBoltzmann משוואת המצב של גז אידאלי – רקע (II) • אמנם המתקף מועבר לדופן במכות בדידות, אך עבור t/Dt גדול מאוד, אפשר לומר שF- הוא ממוצע מייצג בזמן. • ואם F מחולק באופן אחיד על כל שטח הדופו, A, אז הלחץ על הדופן הוא

4. משוואת המצב של גז אידאלי – ניסוח מולארי • אפשר לספור את החלקיקים גם ביחידות של מוֹלים (moles); 1mol הוא מספר אבוגדרו NA=6.0221023 של חלקיקים. • עבור nm מולים, מתקבלת משוואת המצב כך: כאשר R הוא קבוע הגזים: R=8.31107erg/K=8.31Joule/K. משוואת מצב זאת מתארת היטב גזים אידאלים – אין תלות בחומר ממנו עשוי הגז. נקודת ייחוס מקובלת בכימיה: תנאי STP – לחץ של 1atm וטמפרטורה של 0C. בתנאי STP הנפח של מול אחד של גז אידאלי הוא 2.243104cm3, כלומר ~22.4 ליטר.

5. טענה (ללא הוכחה) : בקירוב טוב “root mean square velocity” מהירות טיפוסית • חלקיקים נעים בכל לאורך כל שלושת הצירים. לכל חלקיק אפשר להגדיר את המהירות הכללית בהנחה שאין כיוון מועדף במערכת: אוויר בP=1atm-T=300K: vrms≈527m/sec

6. גדלים אינטנסיביים ואקסטנסיביים ישנן בעיות רבות שבהן יש לדון בכל אלמנט נפח בנפרד: למשל, אם נרצה לתאר את החומר בשמש, יש לדון בצפיפות ובטמפרטורה בכל מקום בנפרד. לכן נוח לכתוב את משוואת המצב כך: n היא הצפיפות החלקיקית (מספר חלקיקים ליחידת נפח). בניסוח הזה כל הגדלים הם לוקאליים (מדידים בנקודה מסויימת); גדלים כאלה מכונים אינטנסיביים (intensive). גדלים אשר תלויים בגודל המערכת כולה, כמו נפח, מסה וכו' ("מצטברים כשמגדילים את המערכת") מכונים אקסטנסיביים (extensive). תמיד אפשר לעבור מגודל אקסטנסיבי לאינטנסיבי על-ידי חלוקה בנפח (לקבל צפיפות) או במספר החלקיקים (לקבל גודל סגולי).

7. אנחנו מניחים כקירוב כי • והרי הגדרנו • סיכום כל ההנחות שלנו מביא , אם כך, לתוצאה האנרגיה הפנימית בגז אידאלי (ניחוש ראשון) • אמרנו שהאנרגיה הפנימית קשורה בתופעות המיקרוסקופיות של המערכת • אם "תופעות מיקרוסקופיות" פירושו רק תנועות אקראיות של החלקיקים, אז סך האנרגיה הפנימית שווה לסך האנרגיה הקינטית:

8. האנרגיה הפנימית בגז אידאלי (שיפור) • התוצאה בשקף הקודם נכונה אם אכן אנרגיה פנימית מופיעה רק בצורה של אנרגיה קינטית של החלקיקים. • זהו המצב בגז מונואטמי (מולקולה מורכבת מאטום יחיד) כמו בהליום או ארגון.... • אבל אין כך הדבר כאשר המולקולות מורכבות יותר. למשל, בגז דו-אטומי, כמו מימן, חנקן או חמצן, המולקולוה יכולה לאגור אנרגיה גם בצורה של... ויברציה רוטציה

9. מומנט התמד קבוע "קפיץ" מסה תדירות זוויתית העתקה מהירות חוק החלוקה השווהthe equipartition theorem האנרגיה הפנימית במערכת מתחלקת באופן שווה בין כל דרגות החופש הריבועיות. דרגת חופש ריבועית (quadratic degree of freedom): דרגת חופש שבה האנרגיה תלוייה בגודל המשתנה בריבוע. תנועה: E=½mv2, רוטציה E=½Iw2, ויברציה E=½Kx2 אם האנרגיה הממוצעת בדרגת חופש אחת פר חלקיק היאE1, ויש לכל חלקיקfדרגות חופש ובסך הכלNחלקיקים, הרי שהאנרגיה הפנימית במערכת היאU=fNE1.

10. מסקנה: לפי הגדרה מסקנה : בגז אידאלי עם f דרגות חופש כך שבכל דרגת חופש יש אנרגיה של ½kBTפר חלקיק ולכן גם (ככל שf- גדול יותר, ה"יעילות" של ייצורלחץ על-ידי האנרגיה הפנימית יותר נמוכה).

11. דוגמא נחמדה של יישום חוק החלוקה השווה • החומר הבין-כוכבי בגלקסיה הוא מימן עם צפיפות של חלקיק אחד לסמ"ק וטמפרטורה של כ1000K-. מהו השדה המגנטי בגלקסיה? נניח לפי חוק החלוקה השווה שהשדה המגנטי הוא עוד דרגת חופש של המימן בחומר הבין-כוכבי (שמיעוטו מיונן ויכול להחזיק את קווי השדה), כך שיש לו אנרגיה של 3/2kBTפר חלקיק. מאחר שיש חלקיק אחד לסמ"ק, צפיפות האנרגיה של השדה המגנטי צריכה להיות 3/2kBTלסמ"ק. צפיפות האנרגיה של שדה מגנטי היא (בcgs-) B2/8p. מסקנה: וזה נכון! סדר הגודל של השדה המגנטי בשביל החלב הוא אכן מיקרוגאוס. במילים אחרות – התהליכים המייצבים את הטמפרטורה של החומר הבין-כוכבי גם מייצבים את השדה המגנטי שהוא מחזיק.

12. חוק החלוקה השווהיישום לפי סוג הגז בגז מונואטומי אכן יש רק דרגות חופש טרנסלוטוריות (תנועה), ולכן f=3. בגז דואטומי יש גם שתי דרגות חופש רוטציוניות (אפשר לסובב סביב שני הצירים הניצבים לציר החיבור בין שני האטומים; סיבוב סביב ציר המולקולה עצמו איננו דרגת חופש). לכן, אם אין דרגות חופש נוספות, בגזים כאלה f=5. (בטמפרטורות גבוהות יחסית (מסדר הגודל של אנרגיית הקשר של המולקולה) ניתן לעורר גם דרגות חופש ויברציוניות, וf- גדל). בפרט, אם בנוסף לדרגות החופש הטרנסלטורויות יש שתי דרגות חופש רוטציוניות, והמולוקולות מסתובבות בהן עם w1, w2 אז נצפה לקשר

13. וקיבול החום פר מול בגז אידאלי הוא קיבול החום של גז אידאלי קיבול החום של גז אידאלי בנפח קבוע קל לחישוב: • כאשר הנפח קבוע אין עבודה (PdV=0) ולכן dU=Q • קיבול החום בנפח קבוע הוא, כזכור: • ולכן עבור גז אידאלי נקבל • בצורה דומה, קיבול החום בלחץ קבוע הוא:

14. קיבול החום בנפח קבוע של גזים אידאליים - סיכום • כאשר מוסיפים חום בנפח אין עבודה, ולכן  U = Q = Cv T • בגז אידאליU=U(T), ולכן החישוב פשוט יחסית. כאשר f הוא מספר דרגות החופש הריבועיות. תמיד monatomic gas   diatomic gas   non-linear gas  נדון בשעור בטמפרטורת החדר להשכלה כללית (בלי הוכחה) ניחוש ראשון עבור מוצקים:U = 3NkTCV = 3NkB = 3nmR חוק Dulong-Petit

15. Cv=5nmR/2מתקיים בטמפרטורת החדר. מסתבר שבטמפרטורות מאוד נמוכות הרוטציות מדוכאות ונשארCv=3nmR/2 בטמפרטורות של אלפי מעלות מתעוררות גם ויברציות, ואזCv=7nmR/2 עובדות ניסיוניות זהו קיבול החום המולארי המדוד של מימן H2 (מתוך HRW)

16. חוק החלוקה השווה : הערה חשובה לסיכום חוק החלוקה השווה הוא קביעה (postulate) – למרות שיש לו גם בסיס מתמטי. אכן ניתן למצוא מקרים רבים שבהם דרגות חופש מסויימותמדוכאות לחלוטין או באופן חלקי. ובכל זאת, ההנחה שחוק החלוקה השווה מתקיים היא נקודת מוצא טובה בפיסיקה של מערכות, ומומלץ להניח אותה כניחוש ראשון.