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教学目的： 不定积分换元法 教学重点： 凑微分法 教学难点： 第二类换元法

第二讲 换元法. 教学目的： 不定积分换元法 教学重点： 凑微分法 教学难点： 第二类换元法. 主视图. 凑微分法. 问题. ？. 求导数验证结果. 利用复合函数，设置中间变量. 解决方法. 过程. 令. 换元. 换元以后再还原. 凑微分法. 定理 1. 第一类换元公式 （ 凑微分法 ）. 说明. 使用此公式的关键在于将. 难. 易. 证明. 证 由复合函数求导法则有. j. [. (. )]. F. x. ¢. j. j. f. [. (. x. )]. (. x. ). (1). 可见. 是.

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Presentation Transcript

  1. 第二讲 换元法 • 教学目的：不定积分换元法 • 教学重点：凑微分法 • 教学难点：第二类换元法

  2. 主视图

  3. 凑微分法 问题 ？ 求导数验证结果 利用复合函数，设置中间变量. 解决方法 过程 令 换元 换元以后再还原

  4. 凑微分法 定理1 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 难 易

  5. 证明 证由复合函数求导法则有 j [ ( )] F x ¢ j j f [ ( x )] ( x ) (1) 可见 是 的一个原函数，故公式 成立． ò ò ò ò ¢ = j j = j j = (2) g ( x ) dx f [ ( x )] ( x ) dx f [ ( x )] d ( x ) f ( u ) du u = j ( ) u x f ( u ) F ( u ) 对 积分求出 的原函数 ，再以 代回即得 所求积分，这种方法称为 凑微分法 ． 不便计算时，可考虑将 公式（１）说明：当积分 的形式，那么 g(x)化为

  6. 例题 例1求 解（一） 解（二） 解（三）

  7. 例题 例2求 解 一般地

  8. 例题 例3求 解

  9. 例题 例4求 解

  10. 例题 例5求 解

  11. 例题 例6求 解

  12. 例题 例7求 解

  13. 例题 例8求 解

  14. 例题 例9：求 解：原式

  15. 例题 例11: 例10：求 解：原式 解：原式=

  16. 例题 例12求 解

  17. 例题 例13求 解 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. 说明

  18. 例题 例14求 解

  19. 例题 例15:求 解（一）

  20. 例题 解（二） 类似地可推出

  21. 思考 思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积

  22. 例题 例16设 求 . 令 解

  23. 例题 例17求 解 换元积分法技巧性强，需要多作练习， 不断归纳，积累经验，才能灵活运用．

  24. 凑微分公式 1 ò ò + = + + f ( ax b ) dx f ( ax b ) d ( ax b ) ； ¹ ( a 0 ) a 1 ò ò 2 2 2 + = + + f ( ax b ) xdx f ( ax b ) d ( ax b ) ¹ ( a 0 ) ； 2 a ò ò x x x x = f ( e ) e dx f ( e ) de ； dx ò ò = (ln ) (ln ) ln f x f x d x ； x ò ò = - (cos ) sin (cos ) cos f x xdx f x d x ； 通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：

  25. 凑微分公式 ； ； ； 回主视图

  26. 第二类换元法 令 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 再用“凑微分” 难 易

  27. 第二类换元法 定理2 证：只要证右端的导数等于左端的被积函数 由复合函数与反函数的导数，有

  28. 注意 注：1）保证代换x=(t)的单调连续（有反函数）； 第二类积分换元公式 代换 x=(t)，一起换。 利用第二类换元法求不定积分的关键 在 于选择适当的变量代换．第二类换元法常用 于求无理函数的积分.

  29. 有理根式积分 Ⅰ． 被积函数含有根式 解: 注:一般地说，当被积函数含有形如: 的根号时，可作代换

  30. 例题 解: 设 ，于是 该例可利用凑微分法求解，而且更简洁：

  31. 二次根式 Ⅱ． 被积函数含有 或 例18 : 求 解:被积函数含有 ,为此可令 化去根式． 此时 于是

  32. 例题 a x t 由于 ，故 故 也可用图解法(右图)直接得到:

  33. 例题 令 例19求 解

  34. 例题 令 例20:求 解

  35. 例题 令 例18求 解

  36. 说明 说明(3): 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令

  37. 例题 例19求 令 说明(2) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. （三角代换很繁琐） 解

  38. 例题 令 例20求 解

  39. 例题 例21求 令 说明(3) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 解

  40. 例题 令 例22求 （分母的阶较高） 解

  41. 例题 倒代换:

  42. 扩充积分公式 本节得到的一些积分结果常作公式使用

  43. 习题 习题 4－2 1． 填空：

  44. 习题 3． 设 ，求 4． 求下列不定积分： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

  45. 习题 5． 写出计算下列积分时所需之变换： (1) (2) (4) (3) 6． 求下列不定积分： (1) (2) (3) (4) 回主视图

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