Algoritmos em Grafos

Algoritmos em Grafos Celso C. Ribeiro Caroline T. Rocha

PARTE 2: CAMINHOS MAIS CURTOS Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos • Dados: grafo G=(V,A) orientado e distância cij associada ao arco (i,j)  A. Problema: Obter o caminho mais curto entre dois nós s e t. • O comprimento de um caminho é igual à soma dos comprimentos (distâncias) dos arcos que formam o caminho. A “distância” ou “comprimento” de um arco pode ter diversas interpretações dependendo da aplicação: custos, distâncias, consumo de combustível, etc. Exemplo 1: Dado um mapa rodoviário, determinar a rota mais curta de uma cidade a outra. (rota mais rápida, rota com menor consumo de combustível, ...) Algoritmos em Grafos

B E H 6 4 4 2 4 4 8 F I 5 5 2 5 K A C 4 2 4 7 4 2 4 G J D Caminhos mais Curtos Exemplo 2: Construção de uma estrada entre duas cidades A e K. O grafo abaixo representa os diversos trechos possíveis e o custo de construção de cada um. Determinar o trajeto ótimo cujo custo de construção seja mínimo (corresponde a achar o caminho mais curto de A a K em relação a estes custos). Solução: A – D – G – I – K custo = 7 + 2 + 2 + 5 = 16 Algoritmos em Grafos

k w i j Caminhos mais Curtos • Condição de existência: Caminho de i a j contendo um circuito w: Comprimento do caminho = comprimento (i  k) + comprimento (w) + comprimento (k  j) Qual é o comprimento do caminho mais curto de i a j se o comprimento do circuito w é negativo? Algoritmos em Grafos

A solução ótima (caminho mais curto) sempre será um caminho elementar (sem circuito). Caminhos mais Curtos Condição de existência: não há circuitos de comprimento negativo. Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos • Caminho mais curto: - De um nó a outro - De um nó a todos os demais - Entre todos os pares de nós de um grafo Algoritmos em Grafos

Algoritmo de Moore-Dijkstra (1957-1959) *(i) = comprimento do caminho mais curto do nó 1 ao nó i Em especial, *(1)=0 (distâncias positivas). • Algoritmo com n-1 iterações • No início de cada iteração, o conjunto V de nós está particionado em dois subconjuntos S e S, com o nó 1 em S. Caminhos mais Curtos Caminho mais curto do nó 1 a cada nó do grafo G=(V,A) Hipótese: todas as distâncias cij são positivas: cij ≥ 0, (i,j)  A Algoritmos em Grafos

cai a 1 b c i cbi cci Caminhos mais Curtos • Cada nó i  V possui um rótulo (i ), que verifica a seguinte propriedade: • dá o valor do caminho mais curto de 1 a i sob a restrição de que todos os nós utilizados (exceto o próprio i ) pertençam a S. Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Teorema: Seja o nó tal que . Então , isto é, o comprimento do caminho mais curto do nó 1 ao nó j é igual a . Demonstração: • Por construção, certamente existe um caminho de 1 até j com comprimento (j). • Suponhamos que exista outro caminho de 1 a j de comprimento menor do que (j). • Dividamos este caminho em duas partes: - P1 é a parte inicial, do nó 1 ao nó L, onde L é o primeiro nó de encontrado - P2 é a parte final, do nó L ao nó j Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos • comprimento de P1 ≥ (L) ≥ (j) comprimento de P2 ≥ 0 Logo, o comprimento de P1 + P2 ≥ (j). Algoritmos em Grafos

Inicializar S  {2,3,...,n}, S  {1}, (1) 0, (j) c1j se j1+ + caso contrário EnquantoS  faça Selecionar jS tal que (j)= miniS{(i)} S  S – {j} Para iS e ij+faça (i)  min{(i), (j)+cji} fim_enquanto Caminhos mais Curtos Algoritmo de Moore-Dijkstra O algoritmo constrói progressivamente o conjunto dos nós mais próximos de 1.  Construção de uma arborescência com raiz em 1 que define os caminhos mais curtos do nó 1 a cada nó do grafo. Algoritmos em Grafos

S = {1} S = {2,3,4,5,6} 1 1 3 3 5 4 2 6 4 5 6 2 4 4 5 5 2 2 7 7 j = 3 S = {2,4,5,6} 1 1 2 2 5 5 3 3 *(1) = 0 1 1 7 7 *(3) = 1 Caminhos mais Curtos Exemplo: (1) = 0 (2) = 7 (3) = 1 (4) = (5) = (6) = + ITERAÇÃO 1 (2) = min{7, 1+5} = 6 (5) = min{, 1+2} = 3 (6) = min{, 1+7} = 8 Algoritmos em Grafos

4 5 *(5) = 3 2 1 1 7 *(1) = 0 1 2 5 3 1 7 3 3 6 4 6 2 5 2 5 4 *(3) = 1 4 5 *(2) = 5 *(5) = 3 j = 2 S = {4,6} j = 5 S = {2,4,6} 2 7 *(1) = 0 1 2 5 3 1 7 *(3) = 1 Caminhos mais Curtos ITERAÇÃO 2 (2) = min{6, 3+2} = 5 (4) = min{, 3+5} = 8 ITERAÇÃO 3 (4) = min{8, 5+4} = 8 (6) = min{, 5+1} = 6 Algoritmos em Grafos

4 5 *(2) = 5 *(5) = 3 2 7 *(1) = 0 1 2 5 3 1 1 1 7 *(3) = 1 *(6) = 6 3 3 5 5 2 2 6 4 4 6 *(4) = 8 4 5 *(2) = 5 *(5) = 3 j = 4 S = { } j = 6 S = {4} 2 7 *(1) = 0 1 2 5 3 1 7 *(3) = 1 *(6) = 6 Caminhos mais Curtos ITERAÇÃO 4 (4) = 8 ITERAÇÃO 5 Algoritmos em Grafos

3 3 4 1 2 5 2 1 3 2 1 3 4 3 2 5 6 7 4 Caminhos mais Curtos  Iteração Início nó 0 4 2     0 4 2 5 4   0 4 2 5 4 7 7 0 4 2 5 4 7 7 0 4 2 5 4 7 7 0 4 2 5 4 7 7 0 4 2 5 4 7 7 Algoritmos em Grafos

1 2 3 3 - 8 10 Caminhos mais Curtos • Número de operações (tempo): ~ n2 n-1 iterações, cada iteração busca o mínimo em uma lista com até n-1 elementos (vetor ) • Caminho mais curto do nó 1:  ao nó j  a todos os nós Mesma complexidade, mas critérios de parada diferentes. • Distâncias negativas: 2 Caminho mais curto de 1 a 3? Resultado do algoritmo? 3 Por que? Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Extensão do algoritmo de Moore-Dijkstra para o caso com distâncias negativas (mas sem ciclos negativos) Inicializar S  {2,3,...,n}, S  {1}, (1) 0, (j) c1j se j1+ + caso contrário EnquantoS  faça Selecionar jS tal que (j)= miniS{(i)} S  S – {j} Para ij+faça Calcular *  (j)+ cji Se* < (i) então S  S  {i} (i)  * fim-se fim-para fim-enquanto Algoritmos em Grafos

3 3 4 1 2 -3 -2 1 3 2 1 3 4 S = 3 3 5 5 7 5 6 2 7 4 Caminhos mais Curtos X X X X X X X X 2 3 4 5 6 7 3 5  Iteração Início nó 0 4 2     0 4 2 5 4   0 4 2 5 4 7 7 0 4 1 5 4 7 7 0 4 1 4 3 7 7 0 4 1 4 3 6 6 0 4 1 4 2 6 6 0 4 1 4 2 5 5 0 4 1 4 2 5 5 Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos • Caminho mais curto: - De um nó a outro - De um nó a todos os demais - Entre todos os pares de nós de um grafo Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Caminho mais curto entre todos os pares de nós de um grafo • Dados: Grafo G=(V, A) orientado, |V | = n. Não há circuitos negativos. c = {cij}, j = 1,...,n, i = 1,...,n cij ≥ 0 cii = 0 cij= +, (i, j )  A Ak(i, j ) = valor do caminho mais curto de i a j podendo usar apenas nós numerados de 1 a k como nós intermediários. Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos A0(i, j ) = cij: caminho mais curto de i a j usando no máximo o nó “0” (que não existe) como nó intermediário (caminho mais curto de i a j sem nós intermediários) Ak(i, j ) : pode usar o nó k ou não. Ak+1(i, j ) : pode usar o nó k+1 ou não. A0 A1 A1 A2 ... An-1 An An(i, j ) = valor do caminho mais curto de i a j podendo usar qualquer nó de 1 a n como nó intermediário. Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos • Se Ak+1(i, j ) não usa o nó k+1 como intermediário, então: Ak+1(i, j ) = Ak(i, j ) • Se Ak+1(i, j ) usa o nó k+1 como intermediário, então: Ak+1(i, j ) = Ak(i, k+1) + Ak(k+1, j ) Ak+1(i, j ) = min { Ak(i, j ), Ak(i, k+1) + Ak(k+1, j ) } Algoritmos em Grafos

Para i = 1,...,nfaça Para j = 1,...,nfaça A0(i,j)  cij fim-para fim-para Para k = 1,...,nfaça Para i = 1,...,nfaça Para j = 1,...,nfaça Ak(i,j)  min{Ak-1(i,j), Ak-1(i,k) + Ak-1(k,j)} fim-para fim-para fim-para Caminhos mais Curtos Algoritmo de Floyd: Algoritmos em Grafos

6 0 0 0 0 4 4 4 4 11 6 6 11 0 4 11 4 1 A0 = A3 = A2 = A1 = 6 6 5 6 0 0 0 0 2 2 2 2 C = 6 0 2 3 11 2 3 3 3 3 7 7 7 +∞ 0 0 0 0 3 +∞ 0 3 2 Caminhos mais Curtos Exemplo: Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos • Algoritmo de Dijkstra: número de operações (tempo) ~ n2 n-1 iterações, cada iteração busca o mínimo em uma lista com até n-1 elementos (vetor ) • Algoritmo de Floyd: número de operações (tempo) ~ n3 Três comandos for de 1 até n um dentro do outro • Ou seja, o problema de calcular os caminhos mais curtos entre todos os pares de nós pode ser resolvido com a mesma eficiência aplicando-se n vezes o algoritmo de Dijkstra, uma vez a partir de cada nó inicial. Algoritmos em Grafos

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