第 2 章有导体时的静电场

第2章 有导体时的静电场

第2章有导体时的静电场 目录 §1 静电场中的导体 §2封闭金属壳内外的静电场 §3 电容器及电容 §4 静电演示仪器 §5 带电体系的静电能量

以静电场基本规律为依据，讨论有导体存在时对静电场的影响。静电场中放入导体后，导体和电场相互影响，相互制约,经历一个极短暂的时间，达到平衡状态。我们研究的前提：假定导体在电场作用下已处于平衡，结合基本规律分析，解决问题。以静电场基本规律为依据，讨论有导体存在时对静电场的影响。静电场中放入导体后，导体和电场相互影响，相互制约,经历一个极短暂的时间，达到平衡状态。我们研究的前提：假定导体在电场作用下已处于平衡，结合基本规律分析，解决问题。

本章研究的问题仍然是静电场 场量仍是电场强度和电势电场的基本性质方程仍是

§1 静电场中的导体 一、导体和绝缘体 1.导体存在大量的可自由移动的电荷 2.绝缘体理论上认为无自由移动的电荷也称电介质 3.半导体介于上述两者之间本章讨论金属导体对场的影响

+ + + + + + + + + 感应电荷二、导体的静电平衡 1．静电感应

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + 导体内电场强度外电场强度感应电荷电场强度

2、静电平衡： 定义：导体内部和表面都没有电荷作宏观定向运动的状态。 3、静电平衡条件：导体内部任何一点处的电场强度为零电荷不动

注意： （1）“点”指导体内部宏观的点（物理无限小体元）。（2）平衡条件中，根本的是（若有非静电力时，例导体接了电池，平衡时静电力、静电场不等于零)。

导体导体三、导体静电平衡的性质 1.导体为等势体，表面为等位面证明：导体内部任取两点a、b

证明：在导体内任取体积元 由高斯定理 2.导体内部没有电荷，电荷只分布在导体表面 体积元任取电荷只能分布在导体表面！

3. 导体表面附近的电场 ①

写作外法线方向 ② E 与σ 的关系 ΔS 取扁柱面为高斯面

设是导体表面含P点的小面元， 是P点的电荷面密度，则受到的静电力是除外所有电荷在P点贡献的场强导体表面附近的场强为可以分为两部分四、带电导体所受的静电力其中是在P1的场强，是除

外的电荷在P1的场强。 P1点在导体附近，所以 代入前式可得最后可得：

对导体表面作积分，可得整个导体所受的静电力。对导体表面作积分，可得整个导体所受的静电力。由上述讨论可知：导体表面稍微往外的P1处的总场强为它由两个部分构成，即

其中如果考虑导体表面稍微里面一点P2，则而的连续性保证于是故场强在导体表面一点p的突变完全是由含小面元的场强的突变引起的。

五、孤立导体形状对电荷分布的影响 1.孤立导体的电荷分布由自身的形状和电荷总量决定表面突出的尖锐处（曲率为正且较大）:电荷面密度较大比较平坦地方（曲率较小）:电荷面密度较小

尖端放电 表面凹进部分（曲率为负）：电荷面密度最小实验给出了一个尖形导体的等势面、电力线和电荷分布，如图。＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋

2、尖端放电现象 由于带电导体尖端附近的电荷密度最大，按照导体表面电场公式，该处的场最强。在尖端处的空气可能被电离而出现尖端放电现象，如图。

尖端放电现象的利与弊 尖端放电会损耗电能, 干扰精密测量还会对通讯产生危害。然而，尖端放电也有很广泛的应用。例如：静电加速器、感应起电机、避雷针等。

+ + + + + + + + + + < 电风实验 > 将带电的尖端物体接近火苗，由于尖端放电，电离空气，将发现火苗被吹偏，称为电风实验。

3.避雷针 高层建筑物上的避雷针也是利用导体的尖端放电现象。 ﹢ ﹢ ﹢ ﹢ ﹢ 尖端处：曲率大，电荷面密度　大，导体表面的场强　　　　也大；这个电场击穿空气，产生电子和离子并加速它们；加速的电子和离子与空气分子碰撞，进一步产生大量的电子和离子，被电离的空气成为导体。　　 ﹢ ﹢

雷雨时节，大块的云层顶部带正点，底部带负电，在接近地面时，地面感应产生正电荷。云层与地面距离在３-４Km，其电荷大到足以使云层与地面产生一个20-30MV甚至100MV的电势差。如果没有避雷针地面与云层就会遭受雷击；当装上避雷针由于尖端放电，率先把周围空气击穿，使云与地面电荷不断中和，将大规模的放电变为小规模的放电，从而避免电荷积累和大规模放电带来的危害。因此，避雷针实际上是“引雷针”。

闪电 闪电

金属尖端 荧光质导电膜接地 4.金属尖端的强电场的应用-场离子显微镜(FIM) 原理：样品制成针尖形状，针尖与荧光膜之间加高压，样品附近极强的电场使吸附在表面的原子电离，氦离子沿电力线运动，撞击荧光膜引起发光，从而获得样品表面的图象。接真空泵或充氦气设备 + 高压

六、导体静电平衡问题的讨论方法 困难：因为电场影响导体，使导体电荷发生重新分布；反过来，重新分布的电荷，又会改变电场的分布，这使得问题陷入了循环的地步，在数学上有相当的困难。原则: 1.静电平衡的条件

或电力线的 两条性质 2.基本性质方程 3.电荷守恒定律

例1：证明如图的静电感应现象中，A是带正电 的点电荷，B是中性导体，试证导体B左端的感应负电荷绝对值小于施感电荷。证：根据电力线的性质1,B的左端一定有电力线终止。

这些电力线的发源地为： （1）A上的正电荷。（2）B上的正电荷。（3）无限远。 ∵沿电力线方向电位降低，与导体平衡时等势体矛盾∴（2）不可能。

B右端的正电荷发出的电力线又终止于无穷远处, ,所以（3）不成立。 ∴终止于B左端的电力线全部来自A上的正电荷，而A的电力线有可能终止于感应电荷，也可能终止于无穷远，即感应电荷一定不大于施感电荷。

讨论 （1）接地时导体上不能有正电荷，若B上有正电荷，发出电力线可能： ①到无穷远:沿电力线电位降低 ②到本身的负电荷:与导体是等位体矛盾,所以唯一可能是导体B上没有正电荷。（2）接地只能说明电位为零，只提供了当地交换电荷的可能性。

例2：中性封闭金属壳内有正点电荷q，求壳内外壁感生电荷的数量。例2：中性封闭金属壳内有正点电荷q，求壳内外壁感生电荷的数量。解：根据电场线的性质，由q发出的电力线的条数正比于q；这些电力线不会在无电荷处中断，也不能穿过导体（因导体内场强为0），它只能止于壳的内壁，所以壳内壁的总电荷为-q；又因壳为中性，内外壁电荷的代数和为0，故外壁总电荷为q。 +q

例3. 把例1的导体B接地,试证B上不再有 的点。证：选择地与无限远电势相等，即。设B上某点有，它所发出的电力线只能延伸到无限远，故。另一方面，B导体接地要求，这与矛盾。所以B导体上不能有的点。

说明： 1）导体B右则的正电荷在接地后不存在可以认为它们沿着接地线流入了大地（实际是大地的电子流向导体中和了正电荷）。而且，即使接地线在导体B左侧结论仍然成立。 2）接地不但使B右侧的正电荷流光，而且改变了导体B左端的负电荷分布。

例4 接地导体球附近有一点电荷q, 如图所示。求导体上感应电荷的电量。解: 导体接地，即设感应电量为Q 由于导体是个等势体，可知 o点的电势为0 ; 由电势叠加原理有关系式：

例5 两块平行放置的面积为S 的金属板，各带电量Q1、 Q2 , 板距与板的线度相比很小。求： S S ① 静电平衡时, 金属板电荷的分布和周围电场的分布。 Q2 Q1 ②若把第二块金属板接地，以上结果如何？ EI EII EIII

Q1 Q2 • • EI EII EIII P1 P2 解：电荷守恒无限大带电平面：静电平衡条件

Q1 Q2 • • EI EII EIII P1 P2 取向右为正解得：

Q1 Q2 • • EI EII EIII P1 P2 电场分布：

Q1 Q2 EI EII EIII 如果第二块坂接地，则 4 = 0 • P 电荷守恒高斯定理解得：静电平衡条件

腔外腔内外表面内表面 §2 封闭金属壳内外的静电场导体壳的结构特点：两区域：腔内、腔外两表面：内表面、外表面

结论理论上需说明的问题是： 1)腔内、外表面电荷分布特征 2)腔内、外空间电场分布特征基本思路: 从特例开始-然后得出结论一、腔内无带电体时场的特征内表面处处没有电荷腔内无电场

S 即或者说腔内电势处处相等证明: 在导体壳内紧贴内表面作高斯面S。因为导体内场强处处为零，所以

因为导体体内场强处处为零， 由高斯定理得高斯面内电量代数和为零，即由于空腔内无带电体，所以

1）处处不带电，即处处无净电荷 2）一部分带正电荷，一部分带等量负电荷还需排除第2种情况，用反证法证明假设：内表面有一部分带正电荷一部分带等量的负电荷。

则电力线从正电荷向负电荷。 ? 这与导体是等势体矛盾。故说明假设不成立！证明了：腔内无带电体时内表面处处没有电荷腔内无电场

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