Решение простейших тригонометрических уравнений

1. Решение простейших тригонометрических уравнений • Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную переменную под знаком тригонометрической функции. • Чаще всего тригонометрические уравнения (путём тождественных преобразований, замен и т. д.) сводятся к ПРОСТЕЙШИМ. • Простейшие уравнения можно разбить на четыревида:

2. Уравнение sin x = a x = π - arcsin a • а π x = arcsin a

3. Пример №1 Sin x = 0,4 π – arcsin 0,4 +2πn arcsin 0,4 + 2πn 0,4 ОТВЕТ: arcsin 0,4 + 2πn, π – arcsin 0,4 + 2πn.

4. Пример №2 Замечания: arcsin(– √3/2) = – π/3, π– arcsin(– √3/2) = π– (–π/3) = 4π/3. Ответ: х = –π/3 + 2πn, x = 4π/3 + 2πn. - √3/2 – π/3 4π/3

5. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ: sin x = 0 sin x = 1 sin x = - 1

6. Уравнение cos x = a x = arccos a • а π x = - arccos a

7. Пример №3 cos x = 0,4 arccos 0,4 + 2πn 0,4 Ответ: x = ± arccos 0,4 + 2πn. – arccos 0,4 + 2πn

8. Пример №4 cos x = – √3/2 5π/6 Замечания: arccos(– √3/2) = 5π/6, – arccos(– √3/2) = –5π/6. –√3/2 Ответ: x = ± 5π/6 + 2πn. – 5π/6

9. Особые случаи: cos x = 0 cos x = 1 cos x = - 1

10. Уравнениеtg x = a Общий ответ:x = arctg a +πn. а arctg a π arctg a + π

11. Пример №5 tg x = 2,3 2,3 arctg 2,3 Ответ: x = arctg 2,3 + πn arctg 2,3 + π

12. Пример №6 tg x = – 1 Замечания: arctg(–1) = –π/4, arctg(–1) + π = 3π/4. 3π/4 Ответ: x = –π/4+πn. –π/4 – 1

13. Уравнение сtg x = a а arcctg a π arcctg a + π Общий ответ:x = arcctg a +πn.

14. Пример №7 ctg x = – 2,3 – 2,3 arcctg(– 2,3) Ответ: x = arcctg(– 2,3) + πn. arcctg(– 2,3) + π

15. Пример №8 ctg x = √3 √3 Замечания: arcctg√3 = π/6, arcctg√3 + π = 7π/6. π/6 7π/6 Ответ: x = π/6 + πn.